24-25 (Методичка)
Описание файла
Файл "24-25" внутри архива находится в следующих папках: metoda, Text. Документ из архива "Методичка", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МАИ. Не смотря на прямую связь этого архива с МАИ, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "книги и методические указания", в предмете "математический анализ (высшая математика)" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "24-25"
Текст из документа "24-25"
Из этих двух условий и условия, что v 0, получаем условие на параметр k (а значит, и на параметр ):
Заметим, что v С , Im v 0 .
Таким образом, в случае С, Im 0 краевая задача (2.2.10), (2.2.11) имеет нетривиальные решения тогда и только тогда, когда имеет нетривиальные решения система линейных алгебраических уравнений относительно С1 и С2
k cos kc + H sin kc = 0.
(2.2.12)
О чевидно, что на решениях последнего (трансцендентного) уравнения при >0 cos kcO. Следовательно, при >0 это уравнение равносильно уравнению
Г рафически легко видеть, что последнее уравнение имеет счетное множество положительных решений k1, k2 ,… (как, очевидно, и уравнения (2.2.12) при =0).
Так как
собственные значения данного оператора L . Из ДУ v" + k2 v=0 и кра
евых условий (2.2.11) теперь получаем соответствующие собственные
функции
Отсюда получаем условие на v :
,
v ch vc + H sh vc = 0, vC, Im v 0.
Так левая часть последнего (трансцендентного) уравнения представляет собой целую комплексную функцию относительно v, то по теореме Руше оно имеет счетное множество решений vi, i=1, 2,... .
Следовательно, — собственные значения данного оператора L. Соответствующие собственные функции очевидно будут определяться по формуле
где С т — произвольная ненулевая вещественная постоянная.
Р ассмотрим теперь случай, когда С, Im 0. Решая методом характеристического уравнения ДУ
получим его общее решение
где v — один из корней квадратного уравнения
Таким образом, все собственные значения и соответствующие собственные функции оператора L являются определенными выше последовательностями
vm(x), m = l, 2, ... , , i=1,2,...,
3. Функция Грина G (x, , ) оператора L-I при (- ,b2) находится так же, как и функция Грина G (х,) оператора L (см. п. 1.). В результате имеем
(2.2.13)
24
25