16-17 (Методичка)

нительные условия на искомую функцию v(x)). Все функции при этом предполагаются вещественнозначными.

В дальнейшем мы будем рассматривать только двухточечные краевые задачи, которые наиболее часто встречаются в теории и в приложениях (теоретической механике, акустике, теории упругости, теории теплопроводности, квантовой механике, математической физи­ке и т.д.).

Ниже приводятся точные формулировки соответствующих поня­тий и утверждений. Более подробное их изложение, включающее до­казательства этих утверждений, можно найти, например, в [2, 4—9].

2.2.2. Метод Грина решения линейных краевых задач

Этот метод применим для решения линейных краевых задач и со­ответствующих им задач на собственные значения и собственные фун­кции. Последние задачи играют важную роль в приложениях теории краевых задач, в частности в математической физике.

Рассмотрим линейную краевую задачу общего вида для ДУ вы­сшего порядка (краевые задачи для линейных систем решаются в ос­новном аналогично).

( 2.2.2)

(2.2.3)

Здесь р_iC[a,b], i = 0, 1,.. .,n , р_Q(x)0 при всех x[а,b], U_j(v) (j=1,..., m) — линейные формы относительно переменных v(a), v'(a),…, v^(n-1)(a),v(b),v'(b),…, v^(n-1)(b), т.е.

Обозначим через D совокупность всех функций vCⁿ[a,b], удовлетворяющих краевым условиям (2.2.3). Очевидно, что D есть ли-

нейное подпространство в С" [а,b] . Каждой функции vD поставим в соответствие функцию w(x) = l(v). Это соответствие есть линей­ный оператор вида

L : D -> C[a,b]

с областью определения D .

16

Указанный оператор L называется оператором, порожденным дифференциальным выражением l ( v ) и краевыми условиями (2.2.3).

Определение. Число С называется собственным значением оператора L тогда и только тогда, когда существует такая функция vD, v(х)0 , что

L v =  v.

Эта функция v называется собственной функцией оператора L , соот­ветствующей собственному значению .

Из этого определения непосредственно следует, что собственные значения оператора L — это такие значения параметра , при которых однородная краевая задача

и меет нетривиальные решения. Эти нетривиальные решения являются соответствующими собственными функциями.

Так как однородное ДУ L v =  v при фиксированном  имеет n ли­нейно независимых решений, то отсюда следует, что множество всех собственных функций, соответствующих собственному значению , есть конечномерное пространство размерности п . Размерность этого пространства называется кратностью собственного значения  .

В теории линейных краевых задач вида (2.2.2), (2.2.3) и в ее при­ложениях основной интерес представляет случай т=п. В дальней­шем будем рассматривать только этот случай.

Теорема 2.2.1. Пусть уравнение L v = 0 имеет только тривиальное решение. Тогда оператор L^-1: С [а ,b]D определен на С[а,b] и является интегральным оператором с непрерывным на [а,b] х [а,b] ядром G(x,).

Замечание. Указанная функция G(x,) называется функ­цией Грина оператора L .

Следствие (Метод Грина). Если уравнение Lv = 0 имеет только тривиальное решение, то для любой функции ƒС [а,b] существует и единственно решение уравнения L и =ƒ. Это решение задается фор­мулой

(2.2.4)

Функция Грина оператора L-I находится следующим образом. Пусть v_i(х)v_i(х ,) , i = 1,…, n — система решений уравне­ния l (v) =  v , удовлетворяющих начальным условиям 17