12-13 (Методичка)

называется жесткой на отрезке изменения независимой перемен­ной [а,b], принадлежащем интервалу существования ее решений, ес­ли при любом векторе начальных значений (y₀,t₀)Г и на любом отрезке [t₀,t₀+T]  [а,b] найдутся такие числа , L, N, удовлет­воряющие неравенствам

<<b-a и (2.1.5)

где (f/y) — максимальный модуль собственных чисел матрицы Якоби (спектральный радиус), ||  ||— принятая норма матрицы, что справедливы неравенства

Если начальные условия таковы, что пограничный слой явно при­сутствует, то величина N дает представление о том, во сколько раз уменьшились производные после его прохождения.

Авторы считают, что важным моментом введенного определения является неразрывная связь понятия жесткости системы (2.1.4) с вели­чиной промежутка наблюдения решения [а,b], заложенная в нера­венстве (2.1.5). Если жесткую на [а,b] систему рассматривать лишь на промежутке [а,с][а,b], включающем только пограничный слой =с-а, то на [а,c] ее нельзя считать жесткой, так как ника­кого различия в характере поведения решения не наблюдается.

Рассмотрим сингулярно-возмущенные уравнения.

Уравнения, содержащие малый параметр при старшей производ­ной, называются сингулярно-возмущенными. Они образуют класс же­стких систем, на котором удобно проводить теоретические исследова­ния с целью определения возможностей численных методов, предназ­наченных для интегрирования жестких систем уравнений. Это возмож­но благодаря достижениям в асимптотической теории, теории разно­стных схем и простоты анализа качественного поведения траектории задачи.

Изучим простейшее сингулярно-возмущенное уравнение вида [1]:

Рассмотрим случай, когда вырожденное уравнение, соответствую­щее уравнению (2.1.6)

f (x,t) = 0 ,

имеет единственное решение x = x(t) и в окрестности этого решения величина (f/y) отрицательна. Последнее условие является доста­точным для устойчивости решения х =х(t) .

Характер поведения решения уравнения (2.1.6) следующий. Для достаточно малого  касательные к интегральным кривым даже при небольшом отклонении от функции х (t) почти параллельны оси у. И чем меньше величина , тем быстрее осуществляется сближение ин­тегральной кривой и решения х (t) вырожденного уравнения.

Эта ситуация может быть описана следующим образом. У любой интегральной кривой из рассматриваемой области выделяются два участка с существенно различным поведением решения, причем продолжительность первого участка значительно меньше второго. Первый участок с быстрым изменением искомой функции отражает стремление интегральной кривой к графику функции х (t) и называ­ется пограничным слоем. На втором участке производные решения значительно меньше, а интегральная кривая практически совпадает с графиком х (t). Пограничный слой всегда будет иметь место, кроме случая, когда начальное условие является корнем вырожденного урав­нения, т.е. y₀=x(t₀). Различный характер поведения решения на обо­их участках проявляется тем отчетливее, чем меньше величина пара­метра .

Таким образом, вне пограничного слоя для описания решения дифференциального уравнения (2.1.6) может быть использовано ре­шение вырожденного уравнения. То, что даже при небольшом откло­нении начальных условий от графика функции х (t) в любой его точке производная решения dy/dt резко возрастает по сравнению с произ­водной dx/dt и определяет сложность численной реализации задач рассматриваемого типа.

Численное решение задачи (2.1.1), (2.1.2) находим при помощи методов Рунге—Кутты. Известно [2], что эти методы относятся к классу одношаговых. Для того чтобы определить решение y=y_{m + 1} на (m+1)-м шаге, т.е. при t = t_m+1, достаточно знать решение у =у_m, найденное на предыдущем шаге, т.е. при t=t_m.

С огласно методу Эйлера, решение задачи (2.1.1), (2.1.2) на (т+1)-м шаге будет определяться по формуле

(2.1.6)

(2.1.7)