10-11 (Методичка)

системы. Поскольку интервал интегрирования может во много раз ее превосходить, то необходимое число шагов интегрирования может оказаться чрезвычайно большим.

Для того чтобы устранить это ограничение, были предложены численные методы, допускающие значительное увеличение шага ин­тегрирования вне пограничного слоя, однако в настоящее время про­блема численного решения жестких уравнений является актуальной. Дело в том, что первоначальное отношение к жестким системам как к некоторой частности основывалось на быстродействии будущей вы­числительной техники. Однако увеличение классов решаемых задач, общность их постановки и разнообразие численных методов, которые стали возможными благодаря именно применению высокопроизводи­тельных вычислительных машин, позволили установить, что явление жесткости в исследованиях динамических моделей различных систем и процессов скорее правило, чем исключение.

Так, известно, что необоснованное пренебрежение «малыми вели­чинами» при математическом моделировании реальных процессов мо­жет существенно исказить истинную картину явлений. Поэтому в си­стемах уравнений, описывающих еще не изученный процесс, нужно учитывать большое количество, на первый взгляд, второстепенных факторов. Следствием этого, как правило, является, с одной стороны, относительно высокий порядок системы уравнений, а с другой — ее жесткость.

Следует также отметить и скрытые формы проявления жесткости. Так, большой класс гладких оптимизационных конечномерных задач с трудом поддается решению традиционными методами из-за овражного рельефа поверхностей уровня. Изучение этого явления показало, что трудности связаны с жесткостью системы дифференциальных уравне­ний, описывающих траекторию наискорейшего спуска, и поэтому ес­тественно строить овражно-ориентированные алгоритмы с учетом это­го факта.

Выделим следующие характерные свойства жестких линейных си­стем:

— почти всегда существуют два участка решения с существенно различными характерами поведения. Почти всегда — потому что можно подобрать начальные условия с целью устранения погранично­го слоя, хотя специфика уравнений не изменится;

— собственные числа λ_i матрицы Якоби J=df/dy полностью оп­ределяют характер решения;

— из жесткости неоднородной системы

(2.1.3)

следует жесткость системы однородной. Это подтверждает, что жес­ткость является внутренним свойством и не может появиться только благодаря изменениям функции g(t);

— вне пограничного слоя между компонентами вектор-функции у(t) можно установить линейные соотношения, число которых равно количеству быстро осциллирующих частных решений системы (2.1.3), т.е. вне пограничного слоя решение жесткой системы может быть опи­сано решением системы меньшей размерности, уже не являющейся жесткой.

Несмотря на большое число публикаций по данной проблеме, до сих пор не существует общепринятой концепции жестких систем. Бо­лее того, нет даже общепринятого определения жесткости.

Так, понятие жесткости связывается с понятием устойчивости и под жесткой задачей понимается задача, не имеющая неустойчивую компоненту решения (у матрицы Якоби системы уравнений (2.1.1) от­сутствуют собственные знания с большими положительными действи­тельными частями), но имеющая несколько очень устойчивых компо-нент (по крайней мере одной компоненте соответствует собственное значение с большой отрицательной величиной действительной части).

Часто придерживаются следующего определения.

Задача Коши (2.1.1), (2.1.2) называется жесткой на некотором ин­тервале I [ t₀, Т], если для tI:

где _i — собственные значения матрицы Якоби J=df/dy, в кото­рую подставлено решение задачи у =у(t) при значении аргумента, равного t.

В [1] проводиться подробное критическое обсуждение наиболее известных определений жестких систем уравнений, при этом сами ав­торы отдают предпочтение следующему определению.

Система обыкновенных дифференциальных уравнений

(2.1.4)