08-09 (Методичка)
Описание файла
Файл "08-09" внутри архива находится в следующих папках: metoda, Text. Документ из архива "Методичка", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МАИ. Не смотря на прямую связь этого архива с МАИ, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "книги и методические указания", в предмете "математический анализ (высшая математика)" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "08-09"
Текст из документа "08-09"
-
устойчивость решений дифференциальных уравнений и систем
дифференциальных уравнений; -
методы функций Ляпунова;
-
линейные и квазилинейные дифференциальные уравнения в
частных производных первого порядка;
а также другие теоретические и прикладные методы дифференциальных уравнений.
2. НЕКОТОРЫЕ РАЗДЕЛЫ КУРСА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ
.
В данном разделе пособия приводится теоретический материал по
ряду разделов курса дифференциальных уравнений, либо не излагав-
шийся на лекциях студентам, либо излагавшийся в недостаточной сте-
пени. Этот материал часто используется в курсовых работах и изло-
жение его в пособии окажет существенную помощь студентам при вы
полнении соответствующих заданий на курсовую работу по диффе-
ренциальным уравнениям. .
.
2.1. Численное решение жестких систем с использованием λ-преобразования
В данном разделе предполагается рассмотреть численное решение задачи Коши для специального вида жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений, которые называются сингулярно-возмущенными уравнениями, а также исследовать влияние λ-преобра-зования на численное решение задачи.
Задача Коши заключается в определении решения у =у(t) системы дифференциальных уравнений
.
удовлетворяющего начальному условию
Решение следует отыскивать на отрезке [t 0, Т] .Коротко остановимся на понятии жесткой системы уравнений.
Многие задачи моделирования процессов в аэродинамике, баллистике, динамике и управлении движением самолетов и ракет, химической кинетике, в кинетике элементарных процессов атомной, молекулярной и ядерной физики и т.д. сводятся к численному интегрированию задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Учет большого числа параметров при построении таких моделей приводит к необходимости привлечения для полного описания процессов на любом отрезке наблюдения явления двух видов функций: убывающих быстро и медленно. Функции первого вида убывают быстро, так что большую часть времени протекания процесса доступны для наблюдения только функции второго типа, которые убывают медленно. Однако в любой момент наблюдения сохраняется возможность возникновения быстрозатухающего процесса, описываемого функциями первого типа. Такое явление называется жесткостью, а системы обыкновенных дифференциальных уравнений, моделирующие процессы такого типа, называются жесткими системами уравнений.
Отметим, что жесткость задачи является свойством математической модели и не связана с используемым численным методом. Жесткость задачи является математическим отражением того факта, что в соответствующем физическом объекте протекают процессы с существенно различными скоростями.
Характерным для всех жестких систем является такое поведение решения задачи Коши, при котором компоненты первого типа претерпевают либо быстрые начальные изменения, либо значительные изменения на некотором участке наблюдения (пограничном слое).
Необходимость выделения данного вида уравнений в отдельный класс вызвана трудностями их численного интегрирования классическими методами, например явными одношаговыми и многошаговыми методами. Выяснилось, что малый шаг интегрирования, используемый для воспроизведения быстропротекающих процессов в пограничном слое, не может быть увеличен вне пограничного слоя, хотя производные становятся существенно меньше. Даже незначительное превышение некоторой величины шага, определяемой данным методом и решаемым уравнением, приводит к резкому возрастанию погрешности. В самом деле, как показано, например, в работе [1], для того, чтобы обеспечить абсолютную устойчивость задачи Коши (2.1.1), (2.1.2), необходимо использовать такой шаг интегрирования h, при котором каждое из, вообще говоря, комплексных значений Hi=hλi, (i = 1,..,п ), где λi — собственное значение матрицы Якоби ∂ƒ/∂у, лежало бы внутри области абсолютной устойчивости. Таким образом, для методов с ограниченной областью устойчивости длина шага лимитируется порядком величины наименьшей временной постоянной