XI Волков И.К., Канатников А.Н. Интегральные преобразования и операционное исчисление (Зарубин В.С., Крищенко А.П. - Комплекс учебников из 21 выпуска), страница 8

И так же как двусторонний несобственный интеграл сводится к рассмотрению двух односторонних интегралов (для левого и правого концов), двусторонняя сингулярная задача сводится к двум односторонним сингулярным задачам, Выберем точку а б (Ь>, Ья) и рассмотрим два частных решения ф1 (ж, А), фя (х> Л) уравнения (3.4), удовлетворяющие граничным условиям 3.$. Двусторонняя сингулярная задача Тогда ряд Фурье для ~ по собственным функциям 1)), преобра- зуется к виду 7(*)=К(Ул) а= а=о (~,сц,ф1(,А~)+ си$з( "~)) х 1=О сю 2 2 =ЕХХс3,съиА,(, ха )ь(х М = А=о 1=1 р=1 ~~) ~ с.~сц,Р; (А~)ф (а, А~).

1=О 1=1 ь=1 Рассмотрим четыре функции скачков о~,~Л), имеющих в точках Л1, скачки: ю11 величинои с1~,с1/, = )с1)ь~, Р12 и ~т21 вели" чиной 0,5(с1)(,с~~+ с2~с1ь) = Йе (сц,с21,), о22 величиной с21,с~м = = ~с21,~2. Тогда получим 2 2 + у(,) =~) / г;.'р)~ь,(л)и,',(1), *~ [ь„ь,). ° -1 2-1 — сФ В пределе, когда 61 -+ -оо, 62 -+ +ос по некоторым последовательностям, функции о4' Я сходятся к некоторым монотонным функциям о;,. (Л), функции ~~(Л) сходятся к функциям Дх)Щ(х, Лфж = (У,4;(., ЛО, 1 = 1,2. (3.27) Теорема 3.9. Если,~ б Ь2( — оо, +со), то 3.

Сингулярная задача Штурма — Лиувилля где функции Е;(Л) определяются по формулам (3.27) при условии, что иитегралы в (3.28) справа сходятся абсолютно и равномерно. $~ Для построения функции Грина и резюльвенты для регулярной задачи на отрезке ~6~, Ь|~ мы использовали функции и~ (х, Л) и ир(х, Л), первая из которых удовлетворяет граничному условию в точке 61, а вторая — в точке Ьр, Их можно представить в виде и1 (х, Л) = 4г1 (х, Л) + т1 (6~, Лф~(х, Л), и~(х, Л) = ф1(х„Л) — т~(Ь~, Л)фз(х, Л). Таким образом, мы получаем функции т1(61, Л) и т2(6г, Л) со значениями на окружностях С1(Л) и СЯЛ). При 61 -+ — оо функция т1«Ь~,Л) дает предельную функцию т (Л), при 62 -+ +со функция т~ «62, Л) переходит в функцию т (Л). Обе зти предельные функции являются функциями Вейлл — Титчмарыа соответствующей односторонней сингулярной задачи.

Множества С,(Л) и С„(Л), на которых лежат значения предельных функций, могут быть либо точкой, либо окружностью н определяют тип сингулярного конца. Рассмотрим четыре функции 1 т~~(Л) =— т «Л) +т ,(Л)' т (Л) — т (Л) т1~(Л) = т~1(Л) = — 0,5 т (Л) т (Л) т, (Л)+т, «Л) Опять, как и в случае односторонней задачи, сравнивая два представления резольвенты (первое — через спектральные функции, аналогичное (3.21), и второе — через решения Вейся при помощи функций т (Л) и т (Л)), можно получить формулы связи спектральных функций с функциями Вейля— Титч марша, 3.6, Контрадьные вопросы и упрежиения 'Хеорема 3.10.

Если Функция сг;.(Л) непрерывна в точках иЛ~,то Ля а;,(Л~) — о; (Л1) = — 1пп Ьп т,,(ц+ Ы)сЬ~, ~г7 +о л где 'у = Р(а)(о: + 8 ). 3,6. Контрольные вопросы и упражнения 3.1. Что такое сингулярная задача Штурма — Лиувилля ? Приведите примеры. 3.2. В чем различие между односторонней и двусторонней сингулярными задачами Штурма.

— Лиувилля ? 3,3. Что такое предельная окружность (точка) в сингулярной задаче? Что называется: а) функцией Вейля — Титчмарша; б) решением Бейля? 3.4. Докажите, что в следующих случаях сингулярная задача Штурма — Лиувилля имеет тип предельной точки: а) д(х) > — Й, х ~ 1а, +со), где В > О, интеграл Их) расходится; б) р(х) = — О, а д(х) > -йх~, х б ~а, +оо), где й > О; в) р(х) .= О и йгп о(х) = оо. х-++со 3.5.

И случае сингулярной задачи на промежутке ( — оо,а] определим функцию ю (х, Л) вида а (х, Л) = Ях, Л) — ш(6„(', Л)ф(х, Л) так, чтобы она удовлетворяла в точке 6 < а граничному условию (3 8) (здесь ~ и ~ — функции, введенные в 3.2). а) Убедитесь, что для функции т(6„~, Л) остаются в силе утверждения теорем 3.1 и 3.2," 3. Саигуаирнаа задача Штурма — Лнувквы б) пусть щ(Л) — предельная функция для иг(6,~,Л) при Ь -+ -ас; убедитесь, что для этой функции остаются в силе утверждения теорем 3.6 и 3.7.

3.6. Найдите разложение по собственным функциям для сингулярной задачи -~" ~х) = Ас~х), х б ~0, +ою), '~О) — Р~(О) = О ~рассмотрите частные случаи: 1) о = О, 8 = 1; 2) о = 1, ~3 = О; 3) е„В > О„ '4) а > О, Д < 0 ). 4. РАЗЛОЖЕНИЯ ПО ФЪ'НКЦИЯМ БЕССЕЛЯ Цтиинорическиа функции дают хорошую иллюстрацию для теоретических результатов (см. гл. 2 и 3).

Эти функции тесно связаны с задачей на собственные значения для оператора Лапласа в областях со сферической нли круговой симметрией. Уравнение х и ( )+хд'(х)+(е2хэ — 2)р(х) — ц в результате замены независимой переменной 8х = я сводится к уравнению Бесселя (1.1). Это значит, что функции Х„(вх) и У„(вх) образуют фундаментальную систему решений уравнения (4.1). С другой стороны, это уравнение можно интерпре-. тировать как уравнение на собственные функции: -у" (х) — — р'(х) + — у(х) = Лр(х), х2 где Л = в~.

Заменой зависимой переменной и(х) = ~ДУ(х) дифференциальный оператор в левой части (4,2) приводится к самосопряженному виду -и (х)+ и — — — и(х) = Ли(х) и 1 1 4 х2 или 4 Разложения па функцияы Бесселя 4.1. Разложение на промежутке [а, +со) Для упрощения результатов ограничимся случаем, когда граничное условие в регулярном конце является условием 1 рода: и(ц) = О, т.е. о1 — — О, Д = 1. Тогда рассмотренные функции ~(ж, Л) и ф(х, Л) (см. ЗЛ) должны удовлетворять условиям ф(а,Л) = О, Ф'(а,Л) = 1. я(а,Л) = 1, ~'(а,Л) =О, «4.4) Пользуясь этими условиями, мы можем выразить функции 1 и ф ЧеРЕЗ фиНКиии БЕССелЯ..

~(" ) = -2~-[ -(-)'(-) - '(-) -(-Н (4.5) ~(х, Л) = — ~ах [УДЫ),7 (м) —,7„'(м)У (8х)]— ка,, ф(ж, Л) 2а где 8 — одно из значений /Л (в дальнейшем под з мы будем подразумевать то значение, для которого — т~2 < агни < н~2). Из асимптотических представлений для фригий Гаккеля (см. упр 1 11) следует, что при 1тп Л > О /,;Н(1)(8 ) Е Х,2[ +,) / о(2)( ) ~ р2[ + где р = 1„0 = (и~ — О, 25)х 2. Фундаментальную систему решений уравнения (4.3) образуют, например, функции ~/ж/„(ъ%ж) и „~жУ„(~Ля). Единственной особой точкой уравнения (4.3) является х = О, причем эта особая точка является сингулярной. В зависимости от выбора интервала для этого уравнения мы можем получить регулярную задачу (отрезок [а,6], О < а < 6 < +со), одностороннюю сингулярную задачу (промежутки (О, а~ и [а, +со)), двустороннюю сингулярную задачу (интервал (О, +ос)).

Не останавливаясь на регулярном случае (он достаточно прост), рассмотрим различные варианты сингулярной задачи. ФЛ. Разаакение кв иронежутке «а, +ос) Поэтому рассматриваемая задача относится к типу предель- ной точки, а решением Вейн для нее будет (1) х Н (зх) а НМ(8,~) (с учетом того, что коэффициент при функции Л в представлении для ю должен равняться 1„это равносильно условию и(а, Л) = 1). Используя формулы (4.5), находим фуикцяю Вейяя — Тиичмарша: т«Л) = И~~Л'«.,Л);э(., ЛИ(а) = 8 ~ц + —. (НР)'(ла) НМ(~п) 2а Если Л вЂ” действительное положительное, то, имея в виду, что функции Бесселя 1 и П рода принимают действительные значения при действительном аргументе, находим У„',У„+ У„'У„, ЩХ;У„1 где все значения берутся в точке 8а.

Отсюда, в частности, следует, что ти(Л) не имеет особых точек на положительной части действительной оси. При этом 1щ ~и(Л) = 2 ~гаЯ (8а) + У~ (ы)) ' так как Щ,У; У ](л) = 2/(~гз). По теореме 3.7 заключаем, что спектпральыая функция о(Л) дифференцируема и 2 ИЛ и'Аг«йв) + ~йМ) При Л < 0 величина л является чисто мнимой, з = Ы.

Поэтому ти(Л) =Ы ", + — — ы (Н„, )'(аыа) 1 К„' «иа) 1 Н4'1 «„.,щ) 2а Кд(~а) 2а ' 4.2. Разложаане на промежутка (О, а) принимают действительные значения при действительном аргументе. Если Л < О, то з — чисто мнимое, з = ы». Но тогда ,7»(за) . У' (ыа) 3„(за) Х„(»»а) ' и снова 1т ш(Л) = О при Л < О. Остается посмотреть особые точки функции Бейля — Титчмарша. Иэ представления (4.7) видим, что особые точки ти(Л) — это простые полюсы, совпадающие с нулями функции Х„(за).

Так как нули функции ~„(л) простые, находим вычеты 3„'(зла) 2з», 2Л», гев(т(А),А= Ад~ = -8~ —" ,7» (зу,а) а а Таким обраэом, функция»у(Л) — это функция скачков, которая в точках Л~ — Ц„»,/а)~ (у„~ — нули функции,7„Щ имеет скачок, равный -ген(фи(Л),Л = Л~) = 2Л~/а. Соответственно интеграл Римана — Сии.4ьтвьеса, определяемый функцией а(Л), превращается в ряд. В этот ряд войдут значения функции 4(х,Л) лишь при Л = Л»,. Но в этих точках У„(з»»а) = О, так что ф(х, Л»,) = — — У„(з~»а)Л„(з»,а) 7Г~~ ах 2 или с учетом, что н точках з»,а = аъЯ~ определитель Врон- ского функций »„и У„, дает Щ7„; уЯз~а) = —.»„'(з~а)У„(з»„а) =— 7Гзда (см.