XI Волков И.К., Канатников А.Н. Интегральные преобразования и операционное исчисление (Зарубин В.С., Крищенко А.П. - Комплекс учебников из 21 выпуска), страница 7

Построенная таким образом функция на множестве В будет монотонной и может быть доопределена до монотонной функции о(Л) на всей оси. При этом последовательность г»(Л) будет сходиться к функции о(Л) в каждой точке ее непрерывности. ф Полученная таким образом монотоннал функция с(Л) называется спектральной функцией оператора Штурма— Лиувнлля в сингулярном случае. Аналогично введенная нами функция скачков еь(Л) называется спектральной функцией оператора Штурма — Лнувилля в регулярном случае, действующего на отрезке (а,Ь~. Из вышеизложенного не ясно, является ли спектральная функция а(Л) однозначно определенной. Позже мы увидим, что она определяется неоднозначно и что это впрямую связано с типом сингулярной задачи. Функция п(Л) оказывается тесно связанной с обратимостью оператора Цп) — Ле.

Если для некоторого Л этот оператор имеет непрерывный обратный, то в некоторой окрестности точки Л функция е(Л) постоянна (локально постоянна в точке Л). Точки разрыва спектральной функции соответствуют собственным значениям оператора Штурма — Лиувилля, т.е. ситуации, когда уравнение (3.4) имеет нетривиальные решения в классе ~Р~а, +ос). Множество собственных значений оператора называют его тпочечньик спектром. Точки же, в которых о(Л) непрерывна, но не является локально постоянной, 3.

Сннгулярнаа задача Штурыа — Лиувилла образуют непрерьыкьМ сиекшу оператора Ь. Наличие непрерывного спектра — главное отличие сингулярной задачи от регулярной. Для точки Л непрерывного спектра оператор А[и] — Ли имеет обратный в соответствующем пространстве функций, но этот оператор не является непрерывным. Иначе говоря, решение уравнения Цы] — Лн = О не является устойчивым относительно нормы функционального пространства. Для спектральной функции в сингулярном случае сохраняется разложение вида (3.17).

Н регулярном случае спектральная функция — зто функция скачков, и разложение (3.17) сводится к ряду, в сингулярном же из-эа наличия непрерывного спектра зто разложение выражается интегралом. Сформулируем точный результат без доказательства. Теорема 3.5. Пусть ~ (= Аз[а, +со) непрерывна и Тогда Дх) = Е(Л)фх, Л) сЬ(Л), (3.2О) если интеграл в правой части сходится абсолютно и в каждом конечном интервале равномерно по х. Заыечание 3.3. Условие абсолютной и равномерной сходи- мости позволяет утверждать, что (3.2О) выполняется для любого х Е [а, +ао). Это условие можно опустить, но в таком случае равенство (3.20) нужно понимать как равенство элементов функционального пространства, т.е. как равенство функций почти всюду на [а, +со) относительно меры йт(Л). ф Если Л комплексное, не являющееся действительным, то оператор ٠— Лю обратим, и обратный оператор может быть представлен в виде интегрального оператора (Š— ЛЕ) 1[Л(х) = у(х,б Л)И)сК.

а 3.3. Разложение ао собственным функциям Функция у(я),~, Л), определяющая этот оператор, называется резодьееято4 оператора Е. При Л = О, если это значение не принадлежит точечному или непрерывному спектру, мы получаем функцию Грина для задачи. В регулярном случае мы видели, что функция Грина уь(з,~,О) для отрезка [а, Ь~ представляется в виде уь(и,~,О) = ) и~(и)иЩ), где (~ф — ортормнрованная система собственных функций. Можно показать, что для произвольного комплексного Л резолъвента задачи на [а, Ь1 имеет вид ( ~ 1) ~ "а(4"аИ) Аь(Ь) — Л или, если использовать спектральную функцию аь(Л), Переходя к пределу при Ь -+ +со (когда о~(Л) -Ф о'(Л)), мы получим резольвенту для сингулярной задачи ( Л) + Й~ 1)Ф(~ ~)(~ ( ) Теперь воспользуемся результатами из ЗД.

В каждой точке Ьь последовательности Щ -+ +со зададим граничные условия с помощью параметров о~~ ~ и Дя~ ~ (возможно, не меняющихся по й). Мы получим последовательность функций 3 Сннгуллрнан задача Штурыа — Лиувнлля удовлетворяющих в точках 6» граничным условиям а2~ ~ (о»)' (6», Л) + ~3~~ ~ и» (Ь», Л) = О. Функции т(6», Л) являютсл аналитическими по Л в верхней и нижней полуплоскостях в С (в силу формулы (3,9) и аналитичности по Л функций ф и ~). При этом они ограничены в совокупности на каждом эамкнутом ограниченном множестве. Иэ теории функций комплексного переменного следует, что последовательность т(6», Л) содержит некоторую подпоследовв; тельность, сходящуюся к некоторой функции т(Л).

При этом для каждого Л эначение т(Л) лежит на предельной окружности (тачке) С (Л). Следовательно, функция принадлежит А~[а,+оа) для каждого комплексного Л. Эта функция поэволяет непосредственно настроить реэольвенту оператора Х,: 1 а(я, Л) Ф(6Л), С < ж, д(м,~,Л) =— у ф(ж, Л) а(~,Л), а < з < ~, где у = р(а)(а1~ + д1). Так как е(, Л) 6 А~[а, +оа) для любого Л, то и у(-,(, Л) Е Е~[а, +ао) для любых ~ и Л.

Аналогична регулярному случаю можно проверить, что для любой функции ~ Е Х [а,+сю) есть решение уравнения Е[и1 — Ла = О, удовлетворяющее граничному условию а1и'(а) — Ди(а) = О. Ясно, что предельный переход 6 -+ +со можно выполнить так, что и последовательность пь, (Л) будет сходиться к ю(Л), и последовательность щ(Ь», Л) будет сходиться к т(Л). Но тогда 3.

сингулярная задача штурыа — лнувилля 70 3.4. Гранкчные условия для сингулярного конца о(ж, Л) = з~(ж, Л) + т(Л)4)(а, Л). Отметим„что эта функция при любом комплексном Л принад- лежит Е~~а, +со). Теорема 3.8. Если Л~ и Л2 — произвольные комплексные числа, то 1! Пг р(6) И'~0(*, Л1): и(-. Л~)](6) = О. ь-Ф+ со (3.23) 4 В силу формугы Грина РИ' [~(,Л1); ~(, Л2)1~ = / Щи~ 1~Н1~)~(~ ~з1 — ЦМ Агй(х~ю[Е,А!Дит = ь (Л1 Л2) п(~1 Л1)~-"(гз Л2)~~) и так как и(, Л) б 12~а, +ос) для любого Л, то предел в (3.23) существует. Позтому равенство (3.23) можно установить, рас- смотрев лишь некоторую последовательность 6г, -+ +Ьо. Если синедллрнал задача Жггурма -- Лиувиллл имеет тип предельной окружности, т.е, все решения уравнения Ци1 = Лп принадлежат А~~а, +оо), то спектаральнал функция а(Л) и связанная с ней Функция Нейлл — Тнтчмарыа пг(Л) определяются неоднозначно (достаточно выбором параметров а~ и,дг в точке 6 добиться, чтобы т(Л) в заданной ~очке Ло имела заданное значение на С (Ло)).

Для обеспечения единственности необходимо в сингулярном конце поставить граничное условие, которое в силу сингулярности будет слабее обычного регулярного условия. Пусть выбрана функция ог(Л). Рассмотрим функцию 3.4. 1)ми~нчные условия Ляя сингулярного конца Функция ю(Л) может быть получена как предел последовательности функций т~(Л), определяемых тем, что функции в точках Ь~ удовлетворяют условиям аь4(ЬьЛ)+Ае(ЬьЛ) =О. Воспользуемся линейностью определителя Вронского: Щю(, Л1); о(., Лг)1Щ = = И~~и~(*, Л1) + (т(Л1) — щ~(Л1))ф(,Л1); пд(., Л,)+ (т(Лг) — т,(Лг)) ф(., Лг)~ = = И ~',(.,Л,); „(,Лг)~(Ь,)+ + (т(Л1) — щ~(Л1))й~ф(.„ЛД; е~(, ЛЩЬ~)+ + ~ ~(Лг) — т~(Лг)) ИФъ(., Л,); Ф(., Лг)1(Ь~) + + (~п(Л$) пис(Л1)) (~п(Л2) ~пй(Л2)) х ИФИ.

Л) й( ЛИ(Ь). В силу выбора функций о~(ю, Л) ИЧв(,Л )„М,Лг)1(Ь~) = О, и нам остается показать, что оставшиеся три слагаемых в (3.24) стремятся к О при й -э оо. По формуле Грина р(ь.ь) ИЧиа(' Л)) Ф(' Лг)1(ЬА) — р(а) ИЧбу (* Л1) Ф(' Лг)1(а)+ + (Л~ — Лг) ~Ъ(~1Л1)4(~~ Лг)4Ь. Согласно неравенству Коши — Буняковского | и(*, Л1)Ф(*, ЛгИ~ < ~Ь(-, Л~П.,ь!1Ф(-, ЛгН,ь) а 3 5 Двусторонняя сннгулярная эддача Теорема 3.8 позволяет поставить граничное условие в со для задачи типа предельной окружности. Для такой задачи для л|обых собственных функций и1 и и2, Ь[и1~ = Л1и1, Ци2) = = Л~иг, существует Йп у(Ь)И'[и1, и~~(6) = и1(х)и~(х)сЬ согласно формуле Грина.

Пусть комплексное число Ло фиксировано. Выберем на окружности С„(Ло) число т(Ле) и определим функцию о(х, Лр) = Ях, Лв) + п~(Лр)4(х, Лв).' Существует функция Вейля — Титчмарша ш(А), имеющая в точке Ло значение т(Лр). Такая функция ыожет быть получена в результате предельного перехода 6» -+ +со по точкам Ь», граничные условия в которых подобраны так, что ш(Ь», Ло,~») -+ т(Лв) при й ~ со. Тогда по теореме 3.8 для каждого Л функция н(х, Л) = Ях, Л) + т(Л) фх, Л) находится среди множества решений уравнения Ци] = Ли, по- падающих в Х~[а, +ос) и удовлетворяющих условию 1ип р(6)И'[и; и(., ЛОИ(Ь) = О. 3.5. Двусторонняя сингулярная задача Сина упярная задача Штпурма — Аиуеиллл на ( — со, +сю) может быть получена иэ регулярной задачи на отрезке [61, Ьг) с действительными граничными условиями о1~'(61) — Ди(Ь~) = О, о2е'(бэ) + Иго(Ьи) = О 3 Сингулярная задача Штурма — Ляувилля фя(а,А) = о, ф~(а, Л) =,О, ф~ (а> Л) = >о, Ф',(а,Л) = — а, где а~ + ~Р ф О.

По теореме существования и единственности для задачи Коши зти решения существуют. Они независимы, так как их определитель Вронского в точке а не равен О. Эти функции образуют фундаментальную систему решений уравнения (3.4) на ( — оо, +оо). Б частности, собственные функции и~(ж) задачи Штурма — >Уирвилля на [61>6~~ с граничными условиями (3.26) представимы в виде ъ(я') = сиФ1 (~, Ль) + с2Ф2(~, А~), ~ = 1, 2, где Л~ — соответствующие собственные значения. для произвольной функции ~ б Ья(-оо,+ос) введем две функции ь, ~ь(~) Ь1 в результате предельного перехода Ь| -+ -оо, Ья — ~ +оо.

Собственные функции указанной регулярной задачи — это решения уравнения (3.4), зависящие от Ь1 и Ь| как параметров в силу того, что должны выполняться условия (3.26). При выполнении предельного перехода параметры а; и Д могут быть постояннымн нли изменяться вместе с изменением Ь; (конкретная ситуация не является существенной). Предельные переходы по параметрам 61 и Ья независимы, так же как и в случае несобственного интеграла с двумя особыми концами.