XI Волков И.К., Канатников А.Н. Интегральные преобразования и операционное исчисление (Зарубин В.С., Крищенко А.П. - Комплекс учебников из 21 выпуска)

Комплекс учебников из 20 выпусков Под редакцией В. С Зару6ина и А. П. Крищеяко 1. Введение в анализ 11. Дифференциальное исчисление функций одного переменного 111. Аналитическая геометрия 1Ъ'. Линейная алгебра У. Дифференциальное исчисление функций многих переменных И, Интегральное исчисление функций одного переменного И1. Кратные и криволинейные интегралы.

Элементы теории поля Ъ'111. Дифференциальные уравнения 1Х. Ряды Х. Теория функций комплексного переменного Х1. И нтегральные преобразования и операционное исчисление Х11. Дифференциальные уравнения математической физики Х111. Приближенные методы математической физики ХЮ. Методы оптимизации ХЪ'. Вариационное исчисление и оптимальное управление ХИ. Теория вероятностей ХЪ'11. Математическая статистика ХЧШ.

Случайные процессы Х1Х. Дискретная математика ХХ. Исследование операций УДЕ 517.3(075,8) ЬЬК 2'2 161.1 В67 РВЦВН'.тВН1е1Ы: А.А. АЛЕКСаШЕНКО, Э.М ЕартаШОВ БВ1Ч 5-7038-1273-9 (Вып, Х1) 1БВИ 5-7038-1270-4 Изложены элемен'гы теории интегральных преобразований. РассмотренЫ ОсНОвные кЛассы интеГраЛЬнЫХ Прсобрвэований, играющие важную роль в решении задач математическх>й физики, элек гротехники, ра диотех ники. Теоретический материал проиллюстрирован большим числом примеров. Отдельный раздел посвлщен операционному исчислению, имеюшему важное прикладное значение, Содержание учебника соответствует курсу лекций, который автор читает в МГТУ нм. Н.Э. Баумана.

Для студентов технических университетов и вузов. аспирантов и научных сотрудников, нспользуюших аналитические методы в исследовании математических моделей. Ил.1б. Табл.з. Еиблиогр. 29 наэв. Нмиугк книги финанси1>леал Москале>гий гогуда1>с>наемный тиеэничегкий укиее1>ситеюп и.н. Н.Э. Бауиана з'Дк 517.21075.61 ББК 22.161.1 1с1 И.К. Волков, А.Н. Каната ков, 1996 (с1 Московский государственный технический университет им. Н,З. Баумана, 199Г> 1ЯВИ 5-7038-1273-9 (Вып.

ХЦ) 1ЯВИ 5-7038-1270-4 <с1 Издательство мГТ У им. Н.Э. Баумана. 1996 В67 Волков И.1х, Кннатников А.Б. Интегральные преобразования и операционное исчисление. Учеб. для вузов. 2-е изд. / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э Баумана, 2002. — 228 с. (Сер. Математика в техническом университете; Вып.

ХЦ ПРЕДИСЛОВИЕ Содержание выпуска относится к одному нз специальных разделов высшей математики и требует хорошего знания базового курса. Мы предполагаем, что читатель умеет оперировать основными понятиями линейной алгебры, теории дифференциальных уравнений, особенно теории линейных дифференциальных уравнений, интегрального исчисления, теории .рядов, в частности, теории рядов Ф>урье, теории функций комплексного переменного. Основной теоретический материал по собственным функциям и интегральным преобразованиям уходит глубоко в дебри функционального анализа, Орнентирунсь на студентов и специалистов технических специалЬностей, мы старались вести изложение на достаточно простом уровне, отступан иногда от строгого математического стиля, если смысл происходящего интуитивно ясен. Хотя речь идет в основном о пространстве А~ функций, интегрируемых с квадратом, мы опустили такие вопросы, как, например, вопросы полноты пространства, 'н опирались на интеграл Римана нлн Римана— Стильтьеса Точно так же в книге ничего нет о таких вещах, как, скажем, дефекты симметрических операторов.

Основнан спектральная теорема в главе 3 изложена в простой формулировке с использованием интеграла Римана — Стнльтьеса Надеемся, что книга будет полезной для студентов, аспирантов и других специалистов технических специальностей. ОСНОВНЫЕ ОБОЗНА'ЧЕНИЯ Ат А~В аЛ Ь (а, Ь) значения функций Дх) и д(х) совпадают при любом значении аргумента х; норма вектора ~ в нормированном простран- стве; число, комплексно сопряженное к числу а; матрица, транспонированная к матрице А; разность множеств А и В; а ортогонально Ь в смысле некоторого скаляр- ного произведения; скалярное произведение двух векторов а и Ь в евклидовом пространстве; функция-оригинал ~ преобразования, Лапласа и его иэображение Г; свертка двух функций-оригиналов преобразо- вания Ла.пласа; функция нескольких переменных, рассматри- ваемая при фиксированном значении аргу- мента р ~в общем случае векторного).

На- пример, запись Д, у) Е ~2~и, Ь] означает, что при любом фиксированном р функция фх):— = Я~х,у) принадлежит функциональному про- странству Е2~а, Ь~; комплексная плоскость ~множество комплекс- ных чисел); функция Хевисайда; гамма-фун кция Эйлера„ ХС1] 1л) нР'~ ) К„(л) ЧЛ ЦЯ~х) Хг~а Ь] Х~~[д, Ь] Вез, 1тл И~Ь~ уг] цилиндрическая функция П1 рода ~функция Ганкеля 1 рода); цилиндрическая Функция П1 рода ~функция Ганкел» П рода); модифицированная функция Бесселя 1 рода; цилиндрическая функция 1 рода ~функция Бесселя); модифицированная Функция Бесселя П рода (функци» Макдональда); образ Функции ~ относительно оператора А; значение функции ЦД в точке х; линейное пространство функций, интегрируе- мых на отрезке ~а, Ь] с квадратом; линейное пространство функций, интегриру-- емых на отрезке ~а, Ь] с квадратом и весовой функцией р; пространство дважды непрерывно дифферен- цируемых функций, удовлетворяющих одно- родным граничным условиям Н1 рода; действительная ось ~множество действитель- ных чисел); действительная и мнимая части комплексного числа л; определитель Вронского функций у~ и ц2, зна- чение этого определителя в конкретной точке ж обозначается.Щд~., рз] ~м); цилиндрическая функция П рода (функция Неймана).

ВОПРОСЪ| ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ 1. Что такое фундаментальная система решений (ФСР) для линейной системы алгебраических уравнений? Найдите ФСР для уравнения 2х+ Зр — л = О. (Ш) 2. Как может быть записано общее решение линейного дифференциального уравнения л-го порядка? Найдите общее решение для уравнения у"' — бд'+ 9р = е~~. (ЪЧП) 3. Что такое определитель Вронского ? Выясните, являются ли линейно независимыми функции: а) е, вЬх и сЬт,; 6) е и е ~. (Ъ'Ш) 4.

При каких условиях функциональный ряд можно: а) дифференцировать, б) интегрировать почленво? (1Х) 5. Какой может быть область сходимости степенного ряда '? Найдите область сходимости ряда 6, Что такое скалярное произведение? Какими свойствами оно обладает? Какие векторы называют ортогоивльными? Л~) 7. Напишите: а) неравенство Коши — Буняковского, 6) неравенство Ъ4и н ковского. (1Ъ') Римскими циФрами обозначен номер выпуска серии, где изложен соотнетстнукнций материал.

8. Сформулируйте теорему едиыственнности для аналитической функции. Существует ли непостоянная аналитическая функция, имеющая значение 1 в точках л„= 1/'п? ~Х) 9. Перечислите виды особых изолированных точек однозначной аналитической функции, К какому виду относятся особые точки функции и = Фдл? ~Х) 10. Найдите вычет функции ы = фл в точке я = ~г/2, ~Х) 11. Что такое линейный оператор? самосопряженный линейный оператор ? ортаганальныи линейный оператор ? В пространстве Е~ рассмотрим отображение Х,, которое вектору а = (х, р, л) ставит в соответствие вектор Ха = (х, у, О). Является ли зто отображение: а) линейным оператором; б) ортогональным операторам; в) самосопряженным операторам? (И7) 12.

Найдите собственные числа и собственные векторы оператора, определенного в вопросе 11. ~ХЧ) 13. Какая система функций называется: а) ортогональной; б) полной? Приведите примеры. Как получить разложение произвольной функции по данной ортогональной системе функций ? (1Х) 14. Напишите: а) неравенства Бесселя; б) равенство Парсе- валя. При каких условиях неравенство Бесселя превращается в равенство Парсеваля? (1Х) 15.

Как ставится краевая задача для уравнения в частных производных 2-го порядка? Каки~ типы граничных условий могут использоваться в краевой задаче? Что такое смешанная задача? (ХП) ВВЕДЕНИЕ Математическая модель — это абстрактное средство приближенного отображения реального процесса, являющееся математическим описанием его причинно-следственных связей. Один и тот же процесс может описываться разными математическим моделями, которые отличаются друг от друга, с одной стороны, точностью или адекватностью по отношению к реальному природному процессу, а с другой — сложностью„определяющей трудоемкость математических вычислений. Конкретный выбор математической модели диктуется целью практического исследования и сводится к некоторому оптимальному сочетанию адекватности модели и ее сложности Основу математических моделей физических процессов во многих случаях составляют дифференциальные уравнения.

Можно выделить два основных класса таких моделей. Первый класс — это класс моделей с сосредоточенными параметрами, сводящихся к решению той или иной эадачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (задача Коши, краевая задача и т.п.). Второй класс — это класс моделей с распределенными параметрами, сводящихся к задачам для уравнений с частными производными. С математической точки эрения систему дифференциальных уравнений можно рассматривать как некоторое операторное уравнение, определяемое оператором, действующим в некотором функциональном пространстве. Элементами функци- онального пространства являются функции, удовлетворяюшие некоторым ограничениям типа непрерывности, дифференцируемости, степени роста и т.п. Во многих случаях такой оператор является линейным, т.е.