X Морозова В.Д Теория функций комплексного переменного (Зарубин В.С., Крищенко А.П. - Комплекс учебников из 21 выпуска), страница 2

Перечислите свойства суммы и частичной суммы сходящегося числового ряда. Сформулируйте необходимое условие сходимости числового ряда и достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов: признаки сравнения, Даламбера и Коши (радикаяьный и интегральный). [1Х] 13. Выясните, примевйм ли к числовому ряду 1 1 1 1 1 1 1 1 — — + — — — + — — — +". + — — — + °" 2 2 4 3 6 п 2п признак сходимости Лейбница. [1Х] 14. Сформулируйте теорему Абеля дяя степенных рядов с действительными членами. Как может вести себя такой ряд в граничных точках интервала сходимости? [1Х] 15.

При каких условиях функцию 1(х) можно представить в виде суммы ряда Тейлора? Запишите ряды Тейлора для е*, соя х, ашх, 1п(1+ х), (1+ х)"' и укажите их радиусы сходимости. Сформулируйте критерий Коши и признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда.

[1Х] ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ ~ и ~ — начало и окончание доказательства ф — окончание примера, замечания, теоремы без доказательства а Е А — элемент а принадлежит множеству А 1-1.1 А С В вЂ” множество А включено в множество В 1-1.2 А = (а, Ь, с) — множество А состоит из элементов а, 6, с 1-1.1 А = (х: ...) — множество А состоит из элементов х, обладающих свойством, указанным после двоеточия 1.1 — пустое множество 1.1 А =~  — из высказывания А следует В 1-1.5 А с=~  — высказывания А и В равносильны 1-1.5 1Ч вЂ” множество натуральных чисел 1-1.3 У. — множество целых чисел 1-1.3 Я вЂ” множество рациональных чисел 1-1.3 К вЂ” множество действительных чисел 1-1.3 С вЂ” множество комплексных чисел 1.1, 1-4.3 (а, 6) — отрезок с концами в точках а и Ь 1-1.3 (а, Ь) — интервал с концами в точках а и Ь 1-1.3 (а, Ь), (а, Ь] — полуинтервалы с концами в точках а и 6 1-1.3 оо — бесконечно удаленная точка расширенной комплексной плоскости 1-1.3 ~; аь — сумма и слагаемых а1, ..., аь, ..., а„1-2.6 я=1 П а~ — произведение п сомножителей а1, ..., а„„..., а„ 1-2.6 11 и'.

включительно 1-2.6 й = 1, п — число Й принимает последовательно все значения из М(т; у) — точка М плоскости с координатами х (абсцисса) и у (ордината) 1-2.5, 1.1 Кег, 1шг — действительная и мнимал части комплексного числа г 1.1, 1-4.3 Я((, о, д) — стереографическая проекция комплексного числа я 1.3 дР граница области Р 1.4 — замыкание области Р 1.4 1пп ㄠ— предел последовательности (я,Д 2.1 1иа я„, 1пп г„— верхний и нижний частичные пределы пои-Фоо я ~со следовательности (я„) 2.4 (я) !4 Агбл произведение всех натуральных чисел от 1 до и множества натуральных чисел от 1 до и включительно 1-2.6 упорядоченная пара действительных чисел х и у 1.1, 1-4.3 декартово произведение И х Ж (множество упорядо- ченных пар действительных чисел) 1-2.5 мнимая единица 1.1, 1-4.3 число, комплексно сопряженное числу г 1.1, 1-4.3 комплексная плоскость 1.1, 1-4.3 модуль комплексного числа я 1.2, 1-4.3 аргумент комплексного числа я 1.2, 1-4.3 главное значение аргумента комплексного числа г 1.2, 1-4.3 расширенная комплексная плоскость бесконечная последовательность элементов г„ Е С 2.1 12 ОСНОВНЫЕ ОБОЗНА ЧЕНИЯ у(а) = Дг) ~ — значение функции у(г) комплексного переменного з в точке г = а 3.1 0(Й вЂ” область определения (существования) функции Дг) комплексного переменного г 3.1 — область значений функции Дз) комплексного переменного г 3.1 110) 3.2 (д 0 ~) (г) — композиция функций комплексного переменного у(я) и д(ю), т.е.

сложная функция д®г)) 3.2 е' — экспоненциальная функция (экспонента) аргумента з Е С 3.3 1пх — натуральный логарифм числа х ) 0 (по основанию е) 7.8 1 пг — логарифм комплексного числа з 3.5 1пг — главное значение логарифма комплексного числа г 3.5 вЬг, сЬг, 1Ьз, с1Ьг — гиперболические функции синус, косинус, тангенс и котангенс комплексного переменного 3.3 Агсзшз, Агссозз, Агс~8з, Агссф8г — функции комплексного переменного, обратные функциям ешг, созг, $8я, с$8 г 3.5 з = ~ ~(ю) — функция, обратная к функции и = у(з) 3.1 и(х, д), е(х, у) — действительная и мнимая части функции и = у(з) комплексного переменного з = х+ гу 3.1 Щге) — окрестность точки зе Е С 3.2 Щзр, е) — е-окрестность точки ге Е С 1.4 Щоо, Е) — Е-окрестность бесконечно удаленной точки 1.4 о Ч(эе) — проколотая окрестность точки зе Е С 3.2 1пп Дг) — предел функции ~(з) в точке зе е С (при з -+ ге) ~-+~0 13 у(я) у(г) — функции )'(г) и д(г) являются эквивалентными при я -+ а 1-10.2 у'(я) = — производная функции Дг) комплексного пере- Ф(я) «Ь менного я 4.1 ди(х, у — частная производная функции и(х, у) по переменному х 4.2 ~7~ = — + — — оператор Лапласа 4.9 д~ о' Дх~ Ду~ д | Дх) ах — определенный интеграл от функции у (х) действительного переменного х с нижним пределом а и верхним пределом Д ~1 у(г) ~Ь вЂ” интеграл от функции Дг) комплексного переменного г по ориентированной кривой у 5.1 Дг) Нг — интеграл от функции у(я) комплексного перемен- Ь ного я по замкнутому контуру Ь при его обходе против хода часовой стрелки В 5.1 ~в | Х(г) оя — интеграл от функции Дя) комплексного переменного г по кривой между точками гл и гв, не зави- ~А сящий от пути интегрирования 5.3 ВезДг) — вычет функции Дя) комплексного переменного я в точке а Е С 8.1 Кев" — логарифмический вычет функции Дг) комплекс- У'(я) ного переменного г относительно замкнутого контура А 8.6 Р„(я) — многочлен степени и Е М 8.6 Ь Аг8г — приращение аргумента комплексного числа я при 7 перемещении на комплексной плоскости по кривой у 3.4 14 ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ Буквы латинского алфавита Представлен наиболее употребительный (но не единственный) вариант произношения (в частности, вместо „йот" иногда говорят „жи").

Буквы греческого алфавита Наряду с указанным произношением также говорят „лямбда", „мю" и „ню". 1. КОМПЛЕКСНАЯ ПЛОСКОСТЬ Начнем с описания комплексных чисел и действий над ними. Полагая, что этот материал уже известен [1-4.3), даем лишь краткое описание с акцентом на те особенности, которые будут существенны в дальнейшем изложении. 1.1. Алгебраическая форма записи комплексного числа Рассмотрим множество И2 упорядоченных пар х = (х, у) действительных чисел х,у Е В.

На этом множестве введем совокупность операций, превращающих его в поле [1-4.2), обозначаемое, как правило, с и называемое иолем (мнохеесп2вом) комплексных чисел, а каждый его элемент — комплексным числом. Суммоб 21 + 22 двух комплексных чисел х1 = (хм У1) и 22 = = (х2 у2) называют комплексное число 21+22 = (х1 У1)+ (х2> У2) = (х1+х2, У1+У2), (1.1) а произведением 2122 этих комплексных чисел — комплексное число 2122 = (хы У1) (х2> У2) = (х1х2 — У1уг> х1У2+х2У1).

(1 2) Элемент О = (О, О) поля комплексных чисел является нейпьральным относительно операции сложения, и его называют нулевым злеменепом этого поля. На плоскости хОу он совпадает с началом координат. Элемент (1, О) является нейтральным относительно операции умножения, и его называют единицеи поля комплексных чисел. 16 ЬКОМПЛЕКСНАЯПЛОСКОСТЬ Особую роль играет комплексное число (О, 1), которое обозначают 1 и называют мнимой единицей. Согласно (1.2), имеем та = (О, 1) (О, 1) = ( — 1, 0), 1(у, 0) = (О, 1) (у, 0) = (О, у). (1.3) Каждую упорядоченную пару (х, 0) е 1~~ сопоставим с числом х Е К.

Возникает взаимно однозначное соответствие между множеством К действительных чисел и множеством упорядоченных пар вида (х, 0), при котором сумме и произведению действительных чисел отвечают сумма и произведение соответствующих им упорядоченных пар. Поэтому каждую упорядоченную пару вида (х, 0) отождествляют с числом х. В этом случае каждую упорядоченную пару можно представить в виде » = (х, у) = (х, 0) + (О, у) = (х, 0) + (О, 1) (у, 0) = х + 1у.

(1.4) Выражение» = х+ 1у представляет собой алгебраическую (или декартову) форму записи (представления) комплексного числа. В этой записи х и у — действительные числа, причем х называют дейстпвитпельной частою комплексного числа» и обозначают В.е», а у называют мнимой частпью комплексного числа» и обозначают 1тп». Таким образом, в записи (1.4) (1.5) х = В.е» и у = 1тп». Комплексное число равно нулю (» = 0) в том и только в том случае, когда его действительная и мнимая части одновременно равны нулю. Элементы поля С комплексных чисел можно отождествить с точками плоскости, рассматривая действительную х и мни- мую у части комплексного числа х+ ту как ~=х+'Р координатпы пточки М((х; у) в некоторой фиксированной прямоугольной систпеме ко- О ~ х ординапт Оху (рис.