V Канатников и др. Дифференциальное исчисление функций многих переменных (Зарубин В.С., Крищенко А.П. - Комплекс учебников из 21 выпуска)

Комплекс учебников из 20 выпусков Под ргдакцией 8. С Зарубина и А. П. грищенко 1. Введение в анализ 11. Дифференциальное исчисление функций одного переменного 111. Аналитическая геометрия 1Ч. Линейная алгебра Ч. Дифференциальное исчисление функций многих переменных И. Интегральное исчисление функций одного переменного И1. Ератные и криволинейные интегралы. Элементы теории поля Ч111. Дифференциальные уравнения 1Х. Ряды Х. Теория функций комплексного переменного Х1.

Интегральные преобразования и операционное игчигление Х11. Дифференциальные уравнения математической физики Х1П. Приближенные методы математической физики Х1Ч. Методы оптимизации ХЧ. Вариационное исчисление и оптимальное управление ХИ. Теория вероятностей ХИ1. Математическая статистика ХИ11. Случайные процессы Х1Х. Дискретная математика ХХ. Исследование операций УДК 517.5(075.8) ВЕК 22.161 К19 Рецензенты: акад. РАН А.Т. Фоменко, проф.

В.И. Елкин 18ВХ 5-7038-1682-3 (Вып, Ч) 1БВМ 5-7038-1270-4 В пятом выпуске подробно рассмотрены основополагающие понятия предела и непрерывности функций многих переменных, свойства дифференцируемых функций, вопросы поиска абсолютного и условного экстремумов функций многих переменных. Отражена связь дифференциального исчисления функций многих переменных с дифференциальной геометрией. Рассмотрены мегоды решения систем нелинейных уравнений. Теоретический материал изложен с применением методов линейной и матричной алгебры и иллюстрирован разбором примеров н задач. В конце каждой главы приведены вопросы н задачи для самостоятельного решения, Содержание учебника соответствует курсу лекций. который авторы читают в МГТУ им.

Н.З, Баумана. Для студентов технических университетов. Может быть полезен преподавателям, аспирантам и инженерам, Ил. 71. Табл. 1. Библиогр. 41 назв. Выпуск книги угинансировал Москввскиг1 государственныб гггсяничвскиг1 универсигпеггг им. Н.Э. Баумана УДК $17.6(075.8) ББК 22.161 Ос А.Н. Канатников, А.П. Крищенко, В.Н. Четвериков, 2000 Ос Московский государственный технический университет им. Н,З. Баумана, 2000 1ЯВЖ 5-7038-1682-3 (Вып.

Ч) 1сг ВХ 5-7038-1270-4 © Издательство МГТУ им. Н.З. Баумана, 2000 К19 А.Н. Канатников, А.П. Крищенко, В.Н. 'Четвериков. Дифференциальное исчисление функций многих переменных: Учеб. для вузов / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. — М.; Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000. -456 с. (Сер, Математика в техническом университете; Вып. Ч). птдисловие Все ключевые понятия приведены в предметном указателе, помещенном в конце книги. Они следуют в алфавитном порядке по существительному в именительном падеже. Ссылки предметного указателя разделяются на основные (даны шрифтом прямого начертания) и неосновные (даны курсивным шрифтом). Основная ссылка указывает, где введено понятие, не- основная ссылка указывает место в книге или другом выпуске серии, где имеются дополнительные сведения о ключевом понятии.

Ссылки на термины, введенные в других выпусках серии, содержат номера этих выпусков. Например, ссылка 1-215 означает страницу 215 первого выпуска, а ссылка !1 — второй выпуск (соответствующее место в этом выпуске можно найти по его предметному указателю). Большинство используемых обозначений помещены в перечне основных обозначений. Для каждого обозначения наряду с краткой расшифровкой указаны разделы этого или других выпусков серии, в которых оно было введено. В книге приведены написание и русское произношение букв латинского и греческого алфавитов. Перед чтением этой книги предлагаем в целях самоконтроля выполнить некоторый набор заданий. В тексте этих заданий прямым полужирным шрифтом выделены ключевые термины, значение которых должно быть известно читателю, а в конце каждого задания указана ссылка на номер выпуска серии, в котором можно найти соответствующие разъяснения.

Задания для самопроверки 1. Что понимают под критерием некоторого утвержде- нпЯ? 1!! 2. Из каких этапов состоит доказательство по методу математической индукции? [11 3. Сформулируйте определение взаимно однозначного отображения двух множеств. Чему равна композиция прямого и обратного отображений двух множеств? Что понимают под областью определения и областью значений отображения? [1] 4.

Может ли пересечение множеств совпадать с объединением этих множеств? [1] 5. Является ли множество натуральных чисел подмножеством множества действительных чисел? [1] 6. Что называют окрестностью точки на числовой прямой? Что понимают под проколотой окрестностью точки? [1] 7. Сформулируйте теорему о связи функции действительного переменного, ее предела и бесконечно малой. В каких случаях бесконечно малая функция является бесконеч:но малой более высокого порядка, чем другая бесконечно малая? Какова связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями? [1] Й. 1(акие свойства имеют действительные функции одного действительного переменного: а) непрерывные в точке и на отрезке; б) непрерывно дифференцируемые .в интервале? Привести пример монотонных в интервале функций, сумма которых не является монотонной в этом интервале. [1], [ !1] 9.

Составьте уравнение касательной и нормали к окружности хз+ рЯ = 25 в точке М(3; 4). [Н] !О. В чем состоит геометрический смысл производной функции д~ иствительного переменного в точке? [Н] 11. Вычислите первую и вторую производные периодической функции у = яп4а. Дифференцируема ли зта, функция в точке т. = О? в интервале ( — я., я)? Совпадают ли ве односторонние первая и вторая производные в точке з: = я'? Сформулируйте необходимые и достаточные условия дифферен ци руем ости фу н к ци и дейст в и тел ь ног о перемен ного. Приведите пример вычисления производной сложной функции.

[11] 12. Найдите направляющий вектор касательной к графику функции у = хз — Зх в точке ( — 1; 2). [11] 13. Для действительных функций действительного переменного запишите: а) теорему Лагранжа; б) формулу Тейлора; в) формулу Маклорена. Что называют остаточным членом формулы Тейлора и в каком виде он может быть записан? [И1 14. Есть ли у фун кции у = жя+ ю локальные экстремумы? В каких точках отрезка [-10,10~ эта функция достигает наибольшего и наименьшего значений? Сформулируйте необходимые и достаточные условия существования локального экстремума функции действительного переменного.

[И| 15. Может ли ранг квадратной невырожденной матрицы быть меньше количества ее базисных строк (столбцов)? [ И1) 16. Что утверждает теорема о базисном миноре? [И1~ 17. Привести пример верхней (нижней) треугольной матрицы, у которой максимальное число линейно независимых строк не равно максимальному числу ее линейно зависимых столбцов. [ИЦ 18.

Как перейти от матричной записи системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) к ее векторной и координатной записям и наоборот? Как неизвестные СЛАУ разбивают на зависимые (базисные) и независимые (свободные)? [ И Ц 19. Какие свойства имеют решения СЛАУ и решения соответствующей ей однородной СЛАУ? Что утверждает теорема Кронекера — Капелли о совместности и несовместности СЛАУ и связана ли ее формулировка с матрицей СЛАУ? [И1] 20. Что можно утверждать об определителе матрицы: а) обратной к транспонированной; б) обратной к противоположной; в) являющейся невырожденной? [И 1~ 21.

Доказать, что определитель диагональной матрицы равен произведению ее диагональных элементов. [И!1 22. Какие размеры имеют блоки блочно-диагональной матрицы? [И11 23. К какому типу матриц относятся: а) матрица-строка; б) матрица-столбец; в) квадратная матрица'? [11Ц 24. Найдите ортогональную проекцию вектора Зг— 2у+ Й на направление вектора а+у, где г, у, Й вЂ” ортонармированный базис в К~.

[11Ц 25. Составьте линейную комбинацию векторов г, р, й с коэффициентами 3, -1, 2. [Н1] 26. Перечислите свойства скалярного, векторного, сме:шанного произведений векторов в пространстве. Как проверить, являются ли два вектора коллинеарными? три нектара компланарными? [1И] 27. Как вводится декартова (аффинная) система координат на плоскости и в пространстве? Что такое прямоугольная система координат? [11Ц 28. Найдите декартовы (аффинные) координаты точки, являющейся ортогональной проекцией точки М(3; -1; 2) на плоскость, заданную общим уравнением х+ у — г+ 2 = О.