IV Канатников А.Н., Крищенко А.П. Линейная алгебра (Зарубин В.С., Крищенко А.П. - Комплекс учебников из 21 выпуска), страница 7

< Согласно определению 1.6 матрицы перехода, имеем равенства с=ьи, 4=с1, откуда 1=с1 =(Ьи)1~=Ь(И~), т.е. УУ вЂ” матрица перехода от базиса Ь к базису д. ~ Рассмотрим теперь, как преобразуются координаты произвольного вектора в линейном пространстве при переходе от старого базиса к новому.

Выберем произвольный вектор х Е х, и разложим его в старом базисе: х = Ьх, (1.8) хп Разложение того же вектора в новом базисе имеет внд х1 ! х = 1 х„ 1.8. Преобразование иоординат нри замене базиса Найдем связь между старыми координатами х вектора х и новыми его координатами х'. Иэ соотношений (1.8), (1.9) следует, что Ьх = сх'.

Учитывал, что с = ЬУ, получаем Ьх = (ЬУ)х', или Ьх = Ь(Ух'). Последнее равенство можно рассматривать как запись двух разложений одного и того же вектора х в данном базисе Ь. Разложениям соответствуют столбцы координат х и Ух', которые, согласно теореме 1.2 о единственности разложения вектора по базису, должны быть равны: или х'=У 1х. и= Ух', Итак, чтобы получить координаты вектора в старом базисе, необходимо столбец координат этого вектора в новом базисе умножить слева на матрицу перехода из старого базиса в новый.

Матрица перехода из старого базиса в новый позволяет пересчитывать новые координаты в старые. Пример 1.16. Рассмотрим в Ъэ ортонормированный базис Ь= (в у) из векторов в, у. Обозначим через е = (е1 еэ) новый базис, который получается поворотом старого базиса Ь на заданный угол ео. Исходя из заданного угла поворота мы можем найти координаты векторов е1, еэ нового базиса относительно старого (рис. 1.2): Рис. 1.2 Эти разложения позволяют составить матрицу перехода У из старого базиса Ь в новый е, а также обратную матрицу: (сое8о — ап~р ') 1 ( со81р вшу'( 1,81пф сов~0 /' 1 -Вшф созф,/ Найденные матрицы перехода У (из старого базиса в новый) и У ' (из нового базиса в старый) позволяют записать соотно- 46 1.

ЛИНЕННЬП ПРОСТРАНСТВА шения между старыми Х1, хз и новыми х1, хз~ координатами проювольного вектора х ю У81 Х1 =, 81~ СО39) — Хзвш9Р, хг = х'13шу+х~со81р. Х1 = Х1 Совф+ Х831пф~ Х~~ — — Х1 31пф+ Хз СО8 ф, Например, вектор х = 4+ у' в старом базисе имеет координаты Х1 = 1, хз = 1, а в новом базисе — Х1 = сов р + впар, х~з —— = — вш81+ сов <Р. Пример 1.17. Пусть в линейном пространстве У8 заданы два правых ортонормированных базиса: старый (й у Й) н новый (8',у' Й').

Тогда старый базис можно преобразовать в новый при помощи трех поворотов вокруг координатных осей прямоугольной системы координат, определяемой ортонормнрованным базисом. Рассмотрим единичный вектор 8, который одновременно лежит в плоскостях пар векторов 8,,1 и 8', у'. Повернем базис (й у Й) вокруг оси вектора Й на некоторый угол ф так, что вектор й совпадет с вектором 8. Отметим, что вектор 8 ортогонален и вектору Й, и вектору Й', твк как является линейной комбинацией и пары 8,.8, и д пары 8,,у . Значит, поворотом вокруг '/ '/ осн вектора 8 на некоторый угол д можно добиться совмещения вектора 1 Й с вектором Й'.

Наконец, поворотом Ф 8 вокруг оси вектора Й' на некоторый Рис. 1.8 угол у совместим вектор 8 с вектором 88 (рис. 1.3). Матрица перехода, соответствующая первому повороту вокруг оси вектора Й, имеет вид С08 1р — 81П1р О У1 = 31пф Соеф О О О 1 47 Д.1.1. Линейное простраастео аад пелен Р Матрица перехода Аг, соответствующая повороту уже нового базиса вокруг оси вектора в на угол д, похожа на предыдущую: 1 О О Ув = О совд -в1пд О япд совд Наконец, матрица перехода, соответствующая третьему пово- роту вокруг оси вектора Й' имеет вид соз~р -в1п~р О Уз = 81пф соз 1е О О О 1 Согласно свойству 4', матрица перехода У из старого базиса (в 7 й) в новый базис (ве,у' й') равна У=У1УзУз и может быть записана в виде < совФсов1е — зшфсовдя1п1е — совдз1п~р — япФсовдсовр в1пфв1пд в!пфсову+совфсоядв1пяе — я1пфз1п~р+созфсоздсов1р -совфв1пд япдяпу вшдсову созд Дополнение 1.1.

Линейное пространство над полем Р Мы ввели понятие линейного пространства как множества произвольной природы, на котором заданы две операции: сложение элементов множества и умножение элемента множества на число. Согласно замечанию 1.1, под числами можно понимать как действительные числа, так и комплексные. Обе операции должны подчиняться аксиомам линейного пространства, при этом происхождение этих операций совершенно несущественно. Этот подход можно развивать, давая понятию „число" расширительное толкование. Само понятие числа характеризуется в первую очередь тем, что над числами можно выполнять четыре арифметические операции.

Если наличие четырех 1. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 48 арифметических операций взять за основу, мы придем к алгебраической структуре, называемой полем. Напомним, что в самом широком толковании алгебраическал структура (алгебраическая система) — это некоторое множество, на котором задана одна или несколько алгебраических операций, подчиняющихся некоторому набору аксиом. Алгебраическая операция (внутренний закон композиции, 11-4.1]) на множестве Х вЂ” это такой закон, или правило, который любому упорядоченному набору хп ..., х„элементов множества Х (операндов) ставит в соответствие единственный элемент того же множества (результат этой операции).

Наиболее распространены бинарные алгебраические операции, имеющие два операнда (т.е. п = 2). Определение 1.7. Полем называют множество Р произвольной природы, на котором заданы две бинарные алгебраические операции, условно сложение (+) и умножение (), подчиняющиеся следующим акснома.н полл: а) сложение коммутативно: а+ Ь = Ь+ а; б) сложение ассоциативно: (а+ Ь) + с = а+ (Ь+ с); в) существует такой элемент О Е Р (нулевой элемент, или нуль), что а+ О = а для любого элемента а Е Р; г) каждый элемент а Е Р имеет нротнвоноложный (симметричный) эленент ( — а), такой, что а+ ( — а) = О; д) умножение коммутативно: а Ь = Ь а; е) умножение ассоциативно: (а Ь) с=а (Ь с); ж) существует такой элемент е Е Р (единнчный), что а е = а для любого а Е Р; з) каждый элемент а Е Р, а ф О, имеет обратный элемент а ~,такой,чтоа а ~=е; и) умножение дистрибутивно относительно сложения: (а+ + 6) с = (а с) + (Ь с).

Отметим, что первые четыре аксиомы поля, относящиеся к операции сложения, совпадают с соответствующими аксиомами 49 ДЛЛ. Линейное простраыство пел полем Р линейного пространства. Так же как и в линейном пространстве, исходя из аксиом в) н г) строим операцию вычитания, полагая, например, что, по определению, а — 6=а+( — 6). Аксиомы ж) и з), относящиеся к умножению, аналогичны аксиомам в) и г). Они позволяют определить операцию деления: а/Ь= а Ь ~, 6ФО.

Сложение и умножение задаются в поле априори, их называют основными операциями, а вычитание и деление, которые базируются на свойствах основных операций, называют дополнитпельнылеи операциями. Аксиомы поля позволяют с его элементами оперировать так же, как и с числами. Сохраняются основные правила преобразования выражений. В записи выражений используют те же соглашения, что и в записи числовых выражений. Знак операции умножения опускают, если сомножители обозначены буквами, т.е. вместо а. Ь пишут аЬ. В выражениях действует приоритет операций умножения и деления по отношению к сложению и вычитанию.

Если в выражении записаны несколько операций подряд, то сперва выполняются более приоритетные операции. Операции одного приоритета выполняются в порядке слева направо. Например, в выражении а+ Ьс — И// сперва следует операция умножения 6с, затем деления д//, затем сложения,последней выполняется операция вычитания. Операция умножения на число в линейном пространстве на самом деле не опирается на специфические свойства действительных чисел.

Важно лишь, что числа можно умножать (используется в аксиомах д) и е) линейного пространства) н складывать (аксиома ж)). Операция сложения вообще оперирует только элементами линейного пространства. Поэтому можно, опираясь на то же определение 1.1, ввести линейное простпранств о над произвольным полем Р. Такое линейное 50 Ь ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА пространство определяют как множество произвольной приро- ды, на котором заданы две операции: сложение, подчиняю- щееся аксиомам а)-г) линейного пространства, и умножение элементов линейного пространства на элементы поля Р, подчи- няющееся аксиомам д) — з) линейного пространства.

В качестве поля Р чаще всего рассматривают поле действи- тельных чисел й и поле комплексных чисел С. Это объясняет введенную ранее терминологию („линейное пространство над полем действительных чисел", „линейное пространство над по- лем комплексных чисел", см. замечание 1.1).

Пример 1.18. Рассмотрим однородную СЛАУ < (2+ г)х~ + (3 — 21)хэ — 7хз = О, (1 — г)х~ + хз — (3 — 21)хз = О, 31х! + (1 — 21)хг — (1+ 41)хз = 0 с комплексными коэффициентами. Множество ее решений представляет собой комплексное линейное пространство. Раз- мерность и базис этого пространства мы определим, если най- дем фундаментальную систему решений этой СЛАУ. Решаются системы с комплексными коэффициентами по той же схеме, что и СЛАУ с действительными коэффициентами. Записываем матрицу СЛАУ и при помощи элементарных преобразований строк приводим ее к ступенчатому виду.