III Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия (2 изд. 2000) (Зарубин В.С., Крищенко А.П. - Комплекс учебников из 21 выпуска)

А.Н. Канатникон, А.П. Крищенко АНАЛИТИ'ЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Под редакцией д-ра техн. наук., профессора Б.С. Зарубина и д-ра физ.-мат. наук, профессора А.П. Крищенко Допущено Министерствон образовиния Российской Федерации в качестве учебника для студентов высших технических учебных заведений 2-е издание Ясап Рйа~ Москва Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана 2000 УДК 517 1(075 8) ББК 22.151.5 К19 Рецензенщы: проф. В.И. Елкин, проф. Е.В. Шикин К19 Канатников А.Н., Крищеико А.П. Аналитическая геометрия: Учеб. для вузов.

2-е изд. / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крипйенко. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000.— 388 с. (Сер. Математика в техническом университете; Вып. 1П) . 18ВГч' 5-7038-1671-8 (Вып. П1) 18Вг1 5-7038-1270-4 Кинга является третьим выпуском учебного комплекса „Математика в техническом университете", состоящего из двадцати выпусков, н знакомит читателю с основнымн понятиями векторной алгебры н ее приложений, теории ыатрнц н определителей, систем линейных алгебраических уравнений, кривых и поверхностей второго порядка Материал изложен в объеме, необходимом на начальном зтапе подготовки студента технического университета.

Содержание учебника соответствует курсу лекций, который авторы читают в МГТУ им. Н.Э. Баумана Для студентов технически» университетов. Может быть полезен преподавателям н аспирантам. Ил.111. Библиогр. 2б назв. Выпуск книяи финансировал Московский еосударспоеенный щохнический униоерсищеьч им. Н.Э. Баумана УДк б12.1(орала) ББК 22.151.б © А.Н. Канатников, АЗБ Крищенко, гооо © Московский государственный технический университет нм.

Н.Э. Баумана, 2000 1ЯВХ 5-7038-1671-8 (Вып. ГП) 18В)ч 5-7038-1270-4 © Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000 ПРЕДИСЛОВИЕ Эта книга — третий выпуск комплекса учебников „Математика в техническом университете". Ее содержание выходит эа рамки аналитической геометрии и отражает тот курс, который стал уже традиционным во многих вузах технической ориентации. В этом курсе можно выделить три раздела: векторную алгебру, аналитическую геометрию и теорию матриц и систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Векторная алгебра, составляющая первую часть книги (главы 1, 2), тесно переплетается с элементарной геометрией и представляет собой, по-существу, современный язык той части геометрии, которая связана с понятиями параллельных прямых и подобия. Мы предполагаем, что читатель хорошо знаком с такими терминами, как точка, прямая, плоскость и знает их свойства (в частности, признаки параллельности прямых, признаки равенства и подобия треугольников, признаки параллелограмма и т.д.).

Аналитическая геометрия, основным методом которой является метод координат, составляет вторую часть книги. Понятие системы координат, так.же как и многие факты аналитической геометрии, известно любому начинающему студенту со школьной скамьи.

Изучение этого раздела геометрии в техническом вузе отличается ббльшей строгостью и систематичностью. В книге изложение аналитической геометрии, в частности введение декартовой системы координат, опирается на векторную алгебру. Ей посвящены главы 3 — 5. Основное внимание уделено теории прямых и плоскостей, а также кривых и поверхностей второго порядка (главы 11 и 12).

Предисловие Третья часть книги посвящена основам матричной алгебры (главы б — 8) и системам линейных алгебраических уравнений (главы 9 и 10). Нри отборе и изложении материала авторы стремились предусмотреть возможные различия в объеме его изучения. Сложные и второстепенные вопросы, обычно пе входящие в программу, даны в виде дополнений в конце соответствующей главы. Книга, как и другие выпуски комплекса учебников, имеет развитый аппарат для поиска нужной информации, позволяющий использовать книгу как справочник. Ключевые понятия, которые должны быть известны читателю, в тексте книги выделены курсивом.

Любой определяемын термин в тексте выделен тэолуэмармььм курсивом, а номер страницы указан в предметном указателе, который находится в конце книги. Термины в предметном указателе даны в алфавитном порядке по существительному в именительном падеже. Ссылки предметного указателя разделяются на основные (даны в прямом начертании) и пеосповные (даны курсивом), которые указывают па дополнительные сведения о термине. Ссылки иа термины, введенные в других выпусках комплекса, содержат номера этях выпусков. Например, 1-215 означает страницу 215 первого выпуска, а Н вЂ” второй выпуск (соответствующее место в этом выпуске можно найти по его предметному указателю).

В тексте также имеются ссылки, облегчающие поиск нужных определений и других сведений. Такие ссылки могут относиться как к данной книге, так и к другим выпускам комплекса учебников. Например,(см. 1.2) отсылает читателя ко второму параграфу первой главы этой книги, тогда как (1-7.5) означает ссылку на пятый параграф седьмой главы в первом выпуске. Определения, теоремы, замечания, формулы и т.п.

имеют двойную нумерацию. Например, теорема 2.1 — зто первая теорема в главе 2, (2.1) — первая формула в главе 2, рис. 1.5 — пятый рисунок в главе 1. Большинство используемых обозначений помещены в перечне основных обозначений. В нем наряду с их краткой расшифровкой даны ссылки на разделы этого или других выпусков серии, в которых вводится обозначение. Приведены также нз писание и русское произношение букв латинского и греческого алфавитов. Перед чтением этой книги предлагаем в целях самоконтроля выполнить несколько несложных заданий.

В тексте каждого задания прямым полужирным шрифтом выделены ключевые термины, значение которых должно быть известно читателю, а в конце указан выпуск комплекса, в котором можно справиться об этих терминах при помощи предметного указателя выпуска. Задания для самопроверки 1. Является ли мноисество В действительных чисел упорядоченным и образуют ли натуральные числа его подмножество? Что такое абсолютное значение [модуль) числа? [Ц 2. Имеют ли операции сложения и умножения действительных чисел свойства коммутативности, ассоциативности и в чем состоит их свойство дистрибутивности? [Ц 3.

В чем выражается свойство антикоммутативности некоторой бинарной операции? [Ц 4. Что понимают под критерием некоторого утверждения? [Ц 5. Из каких этапов состоит доказательство по методу математической индукции? [Ц б. Что такое функция, алгоритм и рекуррентиое соотношение? Приведите примеры функций, заданных с помощью рекуррентных соотношений. [Ц 7. Укажите область определения (существования) и область значений и постройте графики однозначных ветвей многозначной функции уз = з. [Ц Предисловие 8. Проверьте, является ли функция у = хе1вх: а) четной; б)нечетной.

[Ц Я. Сформулируйте определение взаимно однозначного отображения двух множеств? [Ц 10. Какие свойства имеют функции, непрерывные на отрезке? [Ц 11. Что такое вертикальные и наклонные асимптоты графика функции и как их находят? [1Ц 12. На каких интервалах функция у = х+ 1/х является возрастающей (убывающей)? [П] 13. Сформулируйте достаточное условие выпуклости вверх графика функции у = /(х). [1Ц 14.

Как вычисляется производная сложной функции у = У(р(х))? [1Ц ОСНОВНЫЕ ОБОЗНА'ЧЕНИЯ М и ~ — начало и окончание доказательства — окончание примера, замечания а Е А, А Э а — элемент а принадлежит множеству А (множество А содержит элемент а) 1-1.1 А С В, В З А — подмножество А включено в множество В ~В включает А) 1-1.2 А С В, В 3 А — подмножество А включено в множество В или совпадает с ним 1-1.2 И вЂ” множество натуральных чисел 1-1.3 Й вЂ” множество действительных чисел 1-1.3 А — отрезок, соединяющий точки А и В 1.1 ~АВ~ — длина отрезка АВ 1.1 АВ,А — геометрический вектор с началом в точке А и концом в точке В 1.1 ~АВ~, ~АВ~ — длина геометрического вектора 1.1 а,~а~ — вектор и его длина 1.1, 1,2 Π— нулевой вектор 1.1 а+Ь вЂ” сумма векторов о и Ь 1.3 Ла — произведение вектора а на число Л Е 1ь 1.3 прка — ортогональная проекция вектора а на направление вектора ! 1.4 а,Ь вЂ” угол между векторами а и Ь 1,4 о.! Ь, Ь1.1Ьл — вектор а ортогонален вектору Ь, прямая Ь1 перпендикулярна прямой Ез 4.1 айЬ, Х1(~Ь| — вектор а коллинеарен вектору Ь, прямая Ь1 параллельна прямой Ь| 4.3 ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ » ~', оь — сумма и слагаемых ам ..., аы ..., а„1-2.6 я=1 — высказывания А и В равносильны 1-1.5 — единичная матрица 6.1 — нулевая матрица 6.1 А с:» В Е,1 6 т бесА — матрица, транспонированная к А 6.3 — определитель матрицы А 7.1 ~„аьаь — линейнзл комбинация векторов ам...,аы...,а с коэффициентами а~, ..., аы ..., а 1.5 а=(х;у) (а=(х;у;х)) — задание вектора а из $'~ ('гз) с помошью его координат в фиксированном базисе в $'г Щ 1.5 рг (рг и $ з) — пространство коллинеарных векторов (комплапарных векторов и всех свободных векторов) 1.6 г (г,г и г,г, Ь) — ортонормировапный базис в К1 (правый ортонормированный базис в $'~ и Ъз) 1.6 аЬ вЂ” скалярное произведение векторов а и Ь 2.2 ахЬ вЂ” векторное произведение векторов а и Ь 2.3 аЬс — смешанное произведение векторов а, Ь и с 2.4 Оху, Огу (Охух, Оггй) — правая прямоугольная система координат на плоскости (в пространстве) 3.1 М(х; у) — точка М плоскости с координатами х (абсцисса) и у (ордината) 3.1 М(х; у; х) — точка М пространства с координатами х (абсцисса), у (ордината) и х (аппликата) 3.1 р и <р — полярные координаты (полярные радиус и угол) точки на плоскости 3.6 ~х~ — абсолютное значение числа х 1-1.3 А =~  — из высказывания А следует В ( — необходимое условие для А, а А — достаточное условие для В) 1-1,5 11 А ' — матрица, обратная к матрице А 3.1 ВЗА — ранг матрицы А 8,4 Ах = Ь вЂ” система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) 9.2 (А~Ь) — расширенная матрица СЛАУ Ах = Ь 9.3 у = Дх) — переменное у — функция переменного х 1-2.1 Да), Дх)! — значение функции Дх) в точке а 1-2.1 х =у (у) — функция, обратная к функции у = Дх) 1-2.3, 1-11.1 П а — произведение п сомножителей аы ..., а, ..., а„ 1-2.В Й = 1, о — число Й принимает последовательно целые значения от 1 до о включительно 1-2.9 Основные оооэнеченнн 12 Буквы латинского алфавита Представлен наиболее употребительный 1но не единственный) вариант произношения (в частности, вместо „йот" иногда говорят ожн").

Буквы греческого алфавита Наряду с указанным произношением также говорят „лямб- 1. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ 1.1. Векторные и скалярные величины В прикладных науках оперируют величинами различного характера. В качестве примера обратимся к величинам, встречающимся в физике и механике. Такие величины, как массу и объем, характеризуют количественным значением, которое по отношению к некоторому эталону (единице измерения) задают действительным числом. Поэтому их называют скал.вркыми. Напротив, скорость, ускорение, сила характеризуются не только количественным значением, но и направлением. Их называют векпзориыми величинами.