kolmogorov-gdz-11-№326-580 и 1-281 (991264), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

Поскольку3 −1 =§ 3. Функции8. Рациональные функции72. а) Пусть АВ=CВ=DC=x,тогда CF=ВЕ=S=BC + AD⋅ BE ;2S ( x) =110х 3х, АЕ=DF=.22x+x+x 3⋅2x2x + x 32⋅ =224().б) Пусть ВЕ = x, тогда АВ = ВС = CD = 2x = EF,Периметр трапеции равен:АЕ = x 3 .Р(t) = 2x + 2x + 2x + 2x + 2 3 x = 2x (4 + 3 ).73.a) Пусть АВ = х, тогда ВС = АС = АА1 = х,x 3. Объём призмы равен:21V = SАВС ⋅ AA1; SАВС = BC ⋅ AD.2AD =V(x) =x 3x3 31⋅x⋅⋅x=.224б) Если объём призмы υ, то сторона основания АВ =Sбок = PАВС ⋅ АА1; РАВС = 3 ⋅Sбок(υ) = 3 ⋅34ν3⋅34ν334ν3= 33, АА1 = АВ =34ν334ν3;16ν 216ν 2. Ответ: S(υ) = 3 3.3374. 1) x = А sin ωt + x0 ; 2) ν = x′(t ) = Аω cos ωt .75.а) I – в В в 6 ч 30 мин, II – в А в 7 часов;б) I турист – 4 ч + 1,5 = 5,5 ч, II турист – 2,5 + 2 = 4,5 ч;в) I турист – 4 ч, II турист – в 2 ч 30 мин;г) I турист – 1 час, II турист – 2,5 часа;20д) I турист до остановки двигался со скоростью ν == 5 (км/ч),4201после остановки ν == 13 (км/ч);1,53111IIтурист до остановкиν=20= 10 (км/ч);2ν=20= 8 (км/ч), после остановки2,5е) Средняя скорость движения первого туриста ν =второго туриста ν =403= 7 (км/ч),5,511408= 8 (км/ч).4976.а) 1) (–∞; –3]∪[–2; 1,5)2) [–3; –2]∪(1,5; ∞);3) хmax = –3, у(–3) = 2,5, хmin = –2, у(–2) = 0,5;4) уmax = 3,5 при х = 1,5, уmin = 0,5 при х = –2;5) в точке х = 1,5, у(1,5) = 3,5; 6) на (–∞; 1,5) и на (1,5; ∞);7) ни четная, ни нечетная.б) 1) функция возрастает в каждой точке непрерывности;2) нет; 3) нет; 4) уmax – нет, уmin = 0, при х = –2, 0, 2;5) в точках –2; 0; 2; 4; 6; 8; значения функции в них равны 0;6) на (–4; –2), (–2; 0), (2; 4), (4; 6), (6; 8);7) ни четная, ни нечетная.в) 1) возрастает на (–∞; –3]∪[–1; 0)∪(0; 1]∪[3; ∞);2) убывает на [–3; –1]∪(1; 3];3) хmax = –3, у(–3) = –1,5, хmax = 1, у(1) = 2,хmin = –1, у(–1) = –2, хmin = 3, у(3) = 1,5;4) уmax = 2 при х = 1, уmin = –2 при х = –1;112г)5) в точке х = 0, значения функции нет в этой точке;6) непрерывна на (–∞; 0)∪(0; ∞); 7) нечетная.1) возрастает на (–∞; –2,5]∪(0; 2,5];2) убывает на [–2,5; 0) ∪[2,5; ∞);3) хmax = –2,5, у(–2,5) = 2,5, хmax = 2,5, у(2,5) = 2,5,хmin = 0, у(0) = 0,5;4) уmax = 2 при х = –2 и х = 2, уmin = 0,5 при х = 0;6) непрерывна при всех х; 7) четная.77.

а) D(y) : x2 + 2x – 8 ≠ 0, x ≠ –4, x ≠ 2,D(y) : x ∈ (–∞; –4)∪(–4, 2)∪(2; +∞);б) х4 – 1 ≠ 0, (х2 – 1)(х2 + 1) ≠ 0, х ≠ 1, х ≠ –1,D(y) : х ∈ (–∞; –1)∪(–1; 1)∪(1; ∞);в) х4 –9х2 + 20 ≠ 0, х ≠ 5 , х ≠ – 5 , х ≠ 2, х ≠ –2,D(y) : х ∈ (–∞; – 5 )∪(– 5 ; –2)∪(–2; 2)∪(2; 5 )∪( 5 ; ∞);г) 3х2 –5х + 4 ≠ 0, D < 0, D(y) : х ∈ (–∞;∞).78.

а) х3 – х ≠ 0, х(х2 – 1) ≠ 0, х ≠ 0, х ≠ 1, х ≠ – 1; промежуткинепрерывности (–∞; –1)∪(–1; 0)∪(0; 1)∪(1; ∞);б) х – 1 ≠ 0, х ≠ 1; непрерывность на (–∞; 1)∪(1; ∞);в) х ≠ 0. Функция непрерывна на (–∞; 0)∪(0; ∞);г) 3х3 – 2х2 + 5 = 0, (х + 1)(3х2 –5х + 5) = 0,х=–1, 3х2–5х+5≠0 – т.к. D<0, то функция непрерывна на (–∞;–1)∪(–1;∞).79.а) у(–х) = (–х)3 –3(–х) = –х3 + 3х = –(х3 – 3х) = –у(х) – нечетностьдоказана;б) у(–х) =5(− х) 31 − (− х) 2=− 5х 31− х 2=−− 5х 31− х2= − у ( х) – нечетная;в) у(–х) = (− х) 4 ((− х) 2 + 2) = х 4 ( х 2 + 2) = у ( х) – четная;г) у(–х) =| − x | +2(− x)2=| x | +2(− x) 2= y ( x) – четная.80.а)x −1> 0 , ( x − 1)3x > 0 ,3x1131y ( ) < 0,2у (3) > 0,y (−2) > 0;y > 0 при x ∈ (−∞; 0) ∪ (1; ∞) ,y < 0 при х ∈ (0; 1);х 2 − 4х − 5б)9 − х2> 0,( x − 5)( x + 1)> 0 , y (8) < 0, y ( 4) > 0, y (−4) < 0 ,(3 − x)(3 + x)y (0) < 0, y ( −2) > 0;y > 0 при x ∈ (−3; − 1) ∪ (3; 5),y < 0 при x ∈ (−∞; − 3) ∪ ( −1; 3) ∪ (5; ∞) ;2х − 3> 0,5− х5 − x − 2x + 3>0,5− x8 − 3x> 0, y (9) > 0, y (4) < 0, y (0) > 0; y > 0 при5− x22x ∈ (−∞; 2 ) ∪ (5; ∞), y < 0 при x ∈ (2 ; 5) ;33в) 1 −г) y = 2 x 2 − 5 x + 2, 2 x 2 − 5 x + 2 > 0,12( x − )( x − 2) > 0, y > 0 при211x ∈ (−∞; ) ∪ (2; ∞), y < 0 при x ∈ ( ; 2) .2281.а) у = 4х2 + 3х – 1.

Производная функции: у ′ = 8 х + 3 . Критическая38точка: 8х +3 = 0, 8х = –3, х = − ,y ′(0) > 0, y ′(−1) < 0,3– точка минимума; функция возрастает на833[− ; ∞) , убывает на (−∞; − ] .88значит, х = −б) у = 1 –22. Производная функции: y ′ = 2 .хxКритическая точка х = 0.y ′(2) > 0,y ′(−3) > 0;функция возрастает на D(у).114в) у = (х –1)4 – 2. Производная: y ′ = 4( x − 1) 3 .Критическая точка х = 1.y ′(3) > 0, y ′(0) < 0;х = 1 – точка минимума;функция возрастает на [1; ∞), убывает на (–∞; 1].г) у =х +12= 1+х −1x −1–Производная:( х − 1) − ( х + 1)( х − 1)2=х −1 − х −1( х − 1)2=−2( х − 1) 2.Критическая точка х = 1.

у ′(3) < 0, y ′(0) < 0;Функция убывает на D(y).82.а) у = 3х – 5;D ( x) : x ∈ (−∞; ∞) ; E ( y ) : y ∈ ( −∞; ∞) ;23нули: 3х – 5 = 0, x = 1 ;промежуткизнакопостоянства:2323у > 0 при x ∈ (1 ; ∞) , у < 0 при x ∈ (−∞; 1 ) ;экстремумов нет, у′ = 3 = const, функция возрастает на D.б) у = 2х2 – 7х + 3; D( x) : x ∈ (−∞; ∞) ;−871= − , y 0 = −3 ,2a481E ( y ) : y ∈ ( −3 ; ∞) ;8x0 =12нули: 2х2 – 7х + 3 = 0, x1 = , x 2 = 3 ;промежуткизнакопостоянства:1151212у > 0 при x ∈ (−∞; ) ∪ (3; ∞) ,у′ = 4х – 7, 4х – 7 = 0, х = 1у < 0 при x ∈ ( ; 3) ;3– точка минимума,431у = (1 ) = −3 ;48у′(2) > 0, у′(0) <0,34возрастает на [1 ; ∞) ,1х; D ( x) : x ∈ (−∞; ∞),41нули: 2 − х = 0,4в) у = 2 −34убывает на (−∞; 1 ] .E ( y ) : y ∈ (−∞; ∞) ;x=8;промежуткизнакопостоянства:у > 0 при x < 8, y < 0 при x > 8; у′ = −г) у = 12 – 4х – х2;D(x): x ∈ ( −∞; ∞ ) ; x0 = –2; y0 = 16;1– функция убывает на D(y);4E ( y ) : y ∈ ( −∞; 16) ; нули: 12 – 4х – х2 = 0,х2 + 4х – 12 = 0, х1 = –6,х2 = 2, у > 0 при х ∈ (−6; 2) ,у < 0 при х ∈ ( −∞; − 6) ∪ ( 2; ∞ ) ;у′ = –4 – 2х, –4 – 2х = 0,х = –2, у′(0) < 0, у′(–6) > 0, х = –2 – точка максимума,у(–2) = 16; возрастает на (–∞; –2], убывает на [–2; ∞).3,х +1D(x): x ∈ (−∞; − 1) ∪ (−1; ∞) ;83.

а) у = 2 –E ( y ) : y ∈ (−∞; 2) ∪ ( 2; ∞) ;2х + 2 − 33= 0,=0,х +1х +112х – 1 = 0, х = ;2нули: 2 –116промежутки знакопостоянства:2х − 1> 0 , (2х –1)(х + 1) > 0, у(2) > 0,х +1y(0) < 0,1212y(–2) > 0, y > 0 при х ∈ (−∞; − 1) ∪ ( ; ∞) , у < 0 при х ∈ (−1; ) ;у′ =3( х + 1) 2,у′(–2) > 0, y′(0) > 0,критическая точках = –1; экстремумов нет; функция фозрастает на (–∞; –1)∪(–1; ∞).б) у = (х – 2)3 –1; D(x): x ∈ (–∞; ∞); E(y): y ∈ (–∞; ∞); нули:(х – 2)3 –1 = 0, (х – 2 –1)(х2 – 4х + 4 + х – 2 + 1) = 0,(х – 3)(х2 – 3х + 3) = 0, х = 3 или х2 – 3х + 3 = 0 – уравнениерешений не имеет;промежуткизнакопостоянства:y(4) > 0, y(2) < 0, y > 0при х ∈ (3; ∞), у < 0при х ∈ (–∞;3);у′ = 3(х – 2)2,3(х – 2)2 = 0, х = 2,у′(4) > 0, у′(0) > 0,экстремумов нет;Функция возрастает на D(y).в) у =х 4 +1х4= 1+1x4;D(y): x ∈ (–∞; 0)∪(0; ∞);E(y): y ∈ (1; ∞); нулей нет;y > 0 при всех х ∈ D(x);х = 0 – критическая точка;у′(1) < 0, у′(–1) > 0,117возрастает на (–∞; 0),убывает на (0; ∞).г) у = 4 – (х + 2)4;D(x): x ∈ (–∞; ∞);E(y): y ∈ (–∞; 4];нули: 4 – (х + 2)4 = 0,(х + 2)4 = 4, х1 + 2 =х1 =2,2 – 2,– 2 –22–22х2 = – 2 – 2;промежутки знакопостоянства:– 2 –22 –2у(–2) > 0, y(3) < 0,y(–10) < 0;y′ = –4(x + 2)3,–4(x + 2)3 = 0,(x + 2)3 = 0, x = –2,y′(0) < 0, y′(–3) > 0, x = –2 – точка максимума, у(–2) = 4;возрастает на (–∞; –2), убывает на (–2; ∞).84.а)б)118в)г)85.а) При х ≥ 0 у = 3х + х,у = 4х, при х < 0 имеему = 2х;б) –х2 – х + 2 = 0,х2 – х + 2 = 0,х1 = –2, х2 = 1,при х ∈ [–2; 1]у = –х2 – х + 2,при х ∈ (–∞; –2)∪(1; ∞)у = х2 + х – 2;в) при х > 3 имеему = 2х – х + 3,у = х + 3,при х < 3 имеему = 2х – (–х + 3),у = 3х – 3;г) при х > 0 имеему = х2 – 4х + 3,при х < 0 имеему = х2 + 4х + 3.11986.а) При х > 0 имеем у =х +1,хпри х < 0 имеем у = −1−б) у =1х21;х+2;в) При х > 0 имеемх−22у=, у = 1− ,ххпри х < 0 имеем−х − 22у=, у = −1− ;ххг) у =2х 3 −1х3,87.

а) х2 = х + 6, х2 – х – 6 = 0, х1 = 3, х2 = –2. Ответ: да.3б)= 4( х + 1), х ≠ 0, 3 = 4( х + 1) ⋅ х, 3 = 4 х 2 + 4 х ,х24 х + 4 х − 3 = 0,Ответ: да.120D = 16 + 48 = 64 , x1 =−4 − 811= −1 , x2 = .8224242в) x = 2 x + 1, x − 2 x − 1 = 0 .D = 4 + 4 = 8, x2 = 1 + 2 , x2 = 1 – 2 – корни есть,х2 = 1 – 2 – корней нет.Ответ: да.г)1х22= х 2 − 2, х ≠ 0, 1 = х 4 − 2 х 2 , х 4 − 2 х 2 − 1 = 0 . Пусть х = у,D = 4 + 4 = 8, x2 = 1 + 2 , x2 = 1 – 2 ,х2 = 1 + 2 – корни есть, х2 = 1 – 2 – корней нет. Ответ: да.88.

а) Функция у = х3 – 6х + 2 определена на [0; 1]. у(0)=0–0+2>0,у(1) = 1 – 6 + 2 = –3 < 0. Уравнение имеет корень на данном промежутке, т.к. функция непрерывна и она принимает значение 0.2979б) у(1)=1–3+ = − 1 <0,2929у(2)=16–12+ = 4 >0, уравнение имееткорень на [1; 2].в) у(1) = 1 + 3 – 5 = –1 < 0 для у(х) = х5 + 3х – 5 – непрерывной на I;у(2) = 32 + 6 – 5 = 33 > 0, уравнение имеет корень на [1; 2].г) у = 4 + 2х3 –х5 – непрерывна на I; у(–1) = 4 – 2 + 1 = 3 > 0,у(2) = 4 + 16 – 32 < 0, уравнение имеет корень на [–1; 2].89.а) у1 = 4 –3х и у2 = х + 2.б) у1 = х2 –2х и у2 = –х.Ответ: х ∈ [0,5; ∞).Ответ: 0; 1.1в) у1 = и у2 = 4х.хг) у1 = х2 + 2х + 2 и у2 = х + 1.Ответ: –0,5; 0,5.Ответ: х ∈ (–∞; ∞).12190.а) у1 = х3 и у2 =8.х −1б) y1 = |1–х| и у2 = 2–|х|Ответ: 2 и приблизительно –1,5.Ответ: –0,5; 1,5.1в) у1 = х и у2 = .хг) y1 = |х – 1| и у2 = 3 – |х|Ответ: –1; 1.Ответ: –1; 2.391.Из условия найдем а и b.⎧1 = 2a + b,⎨10 = 5a + b,⎩3a = 9, a = 3, b = −5Ответ: а = 3, b = –5.12292.а)б)в)г)д)е)а) а > 0, так как ветви параболы направлены вверх;b > 0, так как абсцисса вершины параболы, x 0 = −b<0;2ac < 0, так как ордината точки пересечения графика с осью Оу отрицательна;D > 0, так как парабола пересекает ось Ох в двух точках;б) аналогично а) имеем: а < 0, b < 0, c < 0, D = 0;в) а > 0, b < 0, c > 0, D < 0; г) а < 0, b < 0, c = 0, D > 0;д) а < 0, b < 0, c < 0, D < 0; е) а > 0, b > 0, c > 0, D = 0;93.

Характеристики

Список файлов книги