kolmogorov-gdz-11-№326-580 и 1-281 (991264), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Прогрессииa1 + a 20⋅ 20 , a 7 = a1 + 6 d , 20 = 2 + 6d, d = 3,22 + 59= a1 + 19d = 2 + 57 = 59, S 20 =⋅ 20 , S 20 = 61 ⋅10 = 610.228. S 20 =a 2029. а1 = 4, а6 = 40,а6 = а1 + 5d, 40 – 4 = 5d, d = 7,2;а2 = 11,2, а3 = 18,4, а4 = 25,6, а5 = 32,8.1= log23,log 3 230.1= log26 = log23 + log22 = log23 + 1,log 6 21= log212 = log23 + log24 = log23 + 2. Значит, числа log23;log12 2log23 + 1; log23 +2 образуют арифметическую прогрессию.⎧а + а = 26, ⎧а + а + 4d = 26,⎧а = 13 − 2d ,11131.
⎨ 1 5⎨ 2⎨2⎩а 2 ⋅ а 4 = 160; ⎩(a1 + d )(а1 + 3d ) = 160; ⎩а1 + 4а1d + 3d = 160;⎧а1 = 13 − 2d ,⎨22⎩(13 − 2d ) + 4 ⋅ (13 − 2d ) ⋅ d + 3d = 160;169 – 52d + 4d2 + 52d – 8d2 + 3d2 – 160 = 0, –d2 + 9 = 0, d1 = 3, d2 = –3,a1 = 7, a1 = 19. a6 = 7 + 15 = 22 или a6 = 19 –15 = 4.S6 =7 + 2219 + 4⋅ 6 = 29 ⋅ 3 = 87 или S6 =⋅ 6 = 23 ⋅ 3 = 69 .2232. Пусть a =b1, тогда b = b1 ⋅ q, c = b1⋅ q2, d = b1⋅ q3.22 2(b1 – b1q2)2 + (b1q – b1q2)2 + (b1q – b1q3)2 – (b1 – b1q3)2 = b1 − 2b1 q ++ b12 q 4 + b12 q 2 − 2b12 q 3 + b12 q 4 + b12 q 2 − 2b12 q 4 + b12 q 6 − b12 + 2b12 q 3 − b12 q 6 = 093133.:2− 22 +12 −1=2 −1=( 2 − 2 )( 2 + 1)Произведение второго числа2 −12 ( 2 − 1)( 2 + 1)на12+ 2=12+ 2.111⋅= .2− 2 2+ 2 2:Получили третье число. Значит эти числа образуют геометрическуюпрогрессию.3⎧b − b = 24, ⎧⎪b1 q − b1 q = 24, ⎧b1 q (q 2 − 1) = 24,⎨⎨2⎪⎩b1 q + b1 q = 6; ⎩b1 q (1 + q ) = 6;34.
⎨ 4 2⎩b2 + b3 = 6;6(q − 1) = 24 , q − 1 = 4 , q = 5, 5b1 =35. b1 = 3, b2 = 12, bn = 3072; q =6, 5b1 = 1 ,1+ 5b1 =1.5b2= 4, bn = b1 ⋅ q n −1 ,b13072 = 3 ⋅ 4n-1, 4n-1 = 1024; n – 1 = 5, n = 6.36. b4 =111 113, q = , b4 = b1 ⋅ q , b1 = b4 : q3 =:= ,54 27 25431⎞1⎛⎜1 − ⎟1⎞1 121⋅ 4b1 ⋅ (1 − qn ) 121 2 ⎜⎝ 3n ⎟⎠ 121 3 ⎛= ⎜⎜ 3 − n ⎟⎟ , 1 − n ==,,,Sn =116241− q1623 162⋅ 3⎝ 3 ⎠1−311121 ⋅ 4=−=−1 ,, n = 5.3 n 2433 n 162 ⋅ 3137. Пусть искомые числа b1, b2, b3, b4. По условию имеем⎧b2 + b3 = 12,⎨b + b = 14, и b4 = b3 + (b3 – b2).⎩ 1 4⎧b1 ⋅ q + b1 ⋅ q 2 = 12,⎨⎩b1 + b3 + (b3 − b2 ) = 14;b1 =1421 + 2q − q=⎧b1 ⋅ q(1 + q ) = 12,⎨b + 2b − b = 14;32⎩ 1⎧b1 ⋅ q (1 + q ) = 12,⎨2⎩b1 (1 + 2q − q = 14;12, 14q + 14q 2 = 12 + 24q 2 − 12q ,q (1 + q )10q 2 − 26q + 12 = 0 , 5q 2 − 13q + 6 = 0 ,q1 = 2, q2 = 0,6, b1 = 2 или b1 = 12,5, или b2 = 4, b2 = 7,5, b3 = 8, илиb3 = 4,5, b4 = 12, или b4 = 1,5.Ответ: 2; 4; 8; 12 или 12,5; 7,5; 4,5; 1,5.9438.
q =S=23 +1b1,1− q: 3=331−1+32( 3 + 1) 3=23+ 3= 3 . Ответ: 1−=2(3 − 3 ) 3 − 33;== 1−9−3333; 3.3⎧ b1 ⋅ (1 − q3 )= 10,5,⎪⎧b1 ⋅ (1 + q + q2 ) = 10,5,⎪39. ⎨ 1 − q12(1 – q)(1 + q + q2) = 10,5,⎨=12(1−);bqb⎩1⎪ 1 = 12;⎪⎩1 − q112(1 – q3) = 10,5, 1 – q3 = 10,5 : 12, q3 = ,8111q = ; b1 = 12 ⋅ (1 – ) = 6. Ответ: b1 = 6; q = .22240.Если b > 0, b ≠ –1 и an, an+k, an+2k –геометрическая прогрессия, то logban,logban + k = logban + logba2k, logban + 2k = logban + logbak = logban + 2logbak;значит, logban; logban + logbak; logban + 2logbak – арифметическаяпрогрессия.§ 2. Тождественные преобразования4.
Преобразования алгебраических выражений2222241. a) a + b + 2a − 2b − 2ab = a 2ab + b + 2(a − b) = (a − b) + 2(a − b) == (a − b)(a − b + 2);б) x3 + ( y − 1) x + y = x3 + xy − x + y = x( x 2 − 1) + y ( x + 1) == ( x + 1)( x 2 − x + y );в) a6 − 8 = (a2 )3 − 23 = (a2 − 2)(a4 + 2a2 + 4) = (a + 2)(a − 2 )(a4 + 2a2 + 4);г) x4 − x2 ( y 2 + 1) + y2 = x4 − x2 y 2 − x2 + y2 = x2 ( x2 − 1) − y2 ( x2 − 1) == ( x2 − 1)(x2 − y2 ) = ( x + 1)(x − 1)(x + y)(x − y).42.a) n 4 + 2n 3 − n 2 − 2n = n 2 (n 2 − 1) + 2n(n 2 − 1) = (n 2 − 1)(n 2 + 2n) == (n 2 − 1) ⋅ n ⋅ (n + 2) = (n − 1) ⋅ n( n + 1)(n + 2)произведение четырех последовательных натуральных чиселделится на 2, 3, 4, а значит, делится и на 24 при n = 2, 3, ...;б) (n 2 + 4n + 3)(n 2 + 6n + 8) = ( n + 3)(n + 1)(n + 2)(n + 4) == (n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4)это произведение четырех последовательных натуральных чисел,которое делится на 2, 3, 4, а значит, делится и на 24;95n 3 − n = n( n 2 − 1) = ( n − 1)n(n + 1)в)–произведениетрехпоследовательных натуральных чисел, которое делится на 2 и на3, а значит, делится и на 6 при n = 2, 3, ...;г) n 3 − 4n = n(n 2 − 4) = n(n − 2)(n + 2) = (n − 2)n ⋅ (n + 2) .
Так как n = 2k,k ∈ N, то (n − 2)n(n + 2) = (2k − 2)2n(2k + 2) = 2(k − 1)2n ⋅ 2(k + 1) == 8 ( k − 1) k ( k + 1) – это произведение делится на 8, на 3, на 2, азначит, делится на 48.a 3 + a 2 − a −143. а)a 2 + 2a + 1x 2 + x − 12б)x 2 + 8 x + 16a 2 (a + 1) − (a + 1)(a + 1) 2( x − 3)( x − 4)( x + 4) 2==(a + 1)(a 2 − 1)( a + 1) 2= a −1 ;x−3;x+42 a 2 − 5a + 2(a − 2)(2a − 1)(a − 2)(2a − 1) 2a − 1;===ab − 2b − 3a + 6 a (b − 3) − 2(b − 3)(a − 2)(b − 3)b−3в)x 3 − 27г)2x y + 3 xy + 9 y⎛44.
a) ⎜ m + n −⎝:===( x − 3)( x 2 + 3x + 9)2y ( x + 3 x + 9)x−3.y4mn ⎞ ⎛ m2mnn−−⎟:⎜m + n ⎠ ⎜⎝ m + n n − m m 2 − n 2nm − m 2 − mn − n 2 − 2mnm2 − n2=−=( m − n) 2 ( m 2 − n 2 )(m + n)(m + n)2=−=⎞ (m + n) 2 − 4mn⎟⎟ =:m+n⎠( m − n) 2 − ( m + n) 2=:m+nm2 − n2( m − n )3( m + n) 2;2baba 2 − ab + b 2 2b(a − b)a3 + b3−=+−: (a 2 − b 2 ) +a+ba + b a2 − b2a2 − b2a2 − b2б)−ab2a −b2=a 2 − ab + b 2 + 2ab − 2b 2 − ab2a −b2=a2 − b2a2 − b2= 1;8 ⎞ x2 − 2x x + 8 ( x2 − 8x + 16) x( x − 2) x + 8⎛ xв) ⎜⎜ 2− 2+=⋅+=⎟⎟ ⋅4− xx+2x+2x( x2 − 4)⎝ x − 4 x + 2x ⎠ 4 − x=96( x − 4)2 ( x − 2)( x 2 − 4)(4 − x)+12x+8 4− x x+8;=+=x+2 x+2 x+2 x+2212c1⎛⎞ (с − 3)2 + 12сг) ⎜⎜ 2+ 2+ 2=⎟⎟ ⋅2⎝ c + 3c + 2 c + 4c + 3 c + 5c + 6 ⎠2⎛⎞ с 2 − 6с + 9 + 12с12с1⎟⎟ ⋅= ⎜⎜++=2⎝ (с + 1)(с + 2) (с + 1)(с + 3) (с + 2)(с + 3) ⎠2⎛ с + 3 + 2с (с + 2) + с + 1 ⎞ (с + 3) 2⎟⎟ ⋅= ⎜⎜=2⎝ (с + 1)(с + 2)(с + 3) ⎠2⎛ 2(с + 1)(с + 2) ⎞ (с + 3) 2 4 ⋅ (с + 3) 2⎟⎟ ⋅= ⎜⎜== 2.2(с + 3) 2 ⋅ 2⎝ (с + 1)(с + 2)(с + 3) ⎠⎛ 6x + 3 y − 4x + 2 y321 ⎞4 y21 ⎞⎟⎟⎟ ::=⎜−−−22 ⎜22222525 y ⎟⎠−x−yx+yx−yx4x − y⎝⎠ 4x − y⎝⎛45.
a) ⎜⎜⎛ 2x + 5 y1 ⎞⎟4 y24 x 2 − 25 y 2 − 4 x 2 + y 2=⎜ 2−: 2:=22⎜⎟2x − 5 y ⎠ 4x − y4x − y(4 x 2 − y 2 )(2 x − 5 y)⎝ 4x − y4 y2:2:24y224x − y2=− 24 y 2 (4 x 2 − y 2 )22(4 x − y )(2 x − 5 y )4 y2=−66=;2x − 5 y 5 y − 2x−142a ⎞ ⎛ 3 ⎞a −12⎛ 3+ 2+=⎟⎟ : ⎜⎟ −3(3 − a)⎝ a − 3 a − 5a + 6 a − 2 ⎠ ⎝ 2a +1⎠б) ⎜⎜=3a − 6 + 4 + 2a 2 − 6a 2a + 1 a − 122a 2 − 3a − 2 2a + 1 a − 12:−=:−=(a − 2)(a − 3)33(3 − a) (a − 2)(a − 3)33(3 − a)=(a − 2)(2a + 1)331a − 12a − 12 9 + a − 12a −3= ;===+−(a − 2)(a − 3)(2a + 1) 3(3 − a) a − 3 3(a − 3) 3(a − 3) 3(a − 3) 3⎞⎛ x3 − 8x −11x −1в) ⎜= ( x2 + 2x + 4 + 2 x) ⋅−=+ 2x ⎟ ⋅ (4 − x2 )−1 −2 2− x⎟⎜ x−2x2−4− x⎠⎝=( x + 2) 24− x2г)2−3x −1 x + 2 x −1;=−=2− x 2− x 2− x 2− x9 − k 2 27 + k 3k+⋅ 23 + k k − 3k3− k⎛k 2 ⎞⎟ k 2 (3 − k ) 27 + k 3: ⎜3 +:=⋅+⎜ 3 − k ⎟ 3 k (k − 3)3− k⎠⎝3⎛ 9 − 3k + k 2 ⎞⎟ = − k + ( 27 + k )(3 − k ) = − k + 3 + k = 3.:⎜2⎜ 3− k ⎟k − 3k + 9⎠⎝975.
Преобразование выражений, содержащих радикалыи степени с дробными показателями246. а)3+ 53б)5− 22в)15===2( 3 − 5)=3−56 − 1010 − 6=;223( 5 + 2 )15 + 6=;5−232 15; г)1537+ 2=3( 7 − 2 ) 3( 7 − 2 ).=7−2547. а) ( 5 − 2,5)2 − 3 (1,5 − 5)3 −1 =| 5 − 2,5| −(1,5 − 5) = 2,5 − 5 −1,5 + 5 =1 ;б)(5 3 + 50)(5 − 24( 75 − 5 2 )==(5 3 + 5 2 )2 (5 − 2 6 )=75 − 50(5 3 + 5 2 ) 2 (5 − 2 6 )= (5 + 2 6 )(5 − 2 6 ) = 25 − 24 = 1;25в) ( ( 2 −1,5)2 − 3 (1− 2)3 )2 + 0,75= (1,5 − 2 −1+ 2)2 + 0,75= 0,52 + 0,75=1 ;2 6 − 20г)2 5 + 24⋅ (11+ 2 30) =( 6 − 5)2⋅ (11+ 2 30) =6−5= (6 − 2 30 + 5)(11 + 2 30 ) = 121 − 120 = 1.48.⎞⎛a+2aa2 ⎞ a − 2 ⎛⎜ a + 22⎟×⎟⋅а) ⎜⎜=−+−+⎟⎜a( a − 2) ⎟⎠2a + 2 a − 2a ⎠ a + 2 ⎝ 2a2( a + 2)⎝ 2aa − 2 (a + 2)(a − 2) − a( a − 2) ⋅ a + 2 ⋅ 2( a + 2) a − 2==⋅×a+2a+22a(a − 2)a2 − 4 − a2 + a 2a + 2 2a + 4 a − 2 a 2a + 2 2a a − 2=⋅=⋅=a+2a+22a(a − 2)2a(a − 2)=a+2 a − 2a− 2;=⋅a−2 a+2a−222⎛ a a +b b⎞⎛ a + b ⎞⎛⎞⎟ = (a − ab + b − ab )⎜ a + b ⎟ =− ab ⎟⎜б) ⎜⎜ a+ b⎟⎜ a − b ⎟⎜ a −b ⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠=98( a − b )2 ⋅ ( a + b )2( a − b) 2=( a − b) 2( a − b) 2= 1;x +1в)1:=21+ x + x x − x2⎛ с1 ⎞⎟г) ⎜ −⎜ 2 2 с⎟⎝⎠1+ x + x2⎛ с −1 с + 1 ⎞ ⎛ с −1 ⎞⎜⎟ =⎜⎟−⎜ с + 1 с −1⎟ ⎜ 2 с ⎟⎠⎝⎠ ⎝(с − 1)2 (2 с ⋅ (−2))2=( x + 1) x ( x x − 1)4с(с − 1)=2= x ( x − 1) ;⎛ ( с −1)2 − ( с + 1)2 ⎞⎜⎟=⎜⎟с −1⎝⎠16с= 4.4с−14 34 3⎛⎞4 4 2 4k +1⎟k + kk( k + k)−14(1)49.
а) ⎜⎜ k − 4=kkk−=−+−−⎟⎜k +1 ⎟k −1k −1⎝⎠1=4k (4 k + 1)−k −1k −1=1− k4k −1=k −14k −1= −4 k − 1;⎛ ( a + b )2 − (2 b )2a − b ⎞⎟ 32b bб) ⎜−:=⎜a −ba + b ⎟⎠ a + b⎝( a + b − 2 b )( a + b + 2 b ) − ( a − b ) 2 32b b=:a−ba+ b==( a − b )( a + 3 b − a + b )( a + b )( a − b) ⋅ 32b b=4 b32b b=1;8b⎛4 3 4 3⎞⎛4⎞⎜ x − y⎟ x ⎞ ⎛ ( x − 4 y )( x + 4 xy + y 4− (4 x − 4 y )⎟⎜ 4 + 1⎟ = ⎜в) ⎜−( x + 4 y⎟ ×44⎟⎜ x− y⎟⎜⎝ y ⎟⎠ ⎜⎝ ( x − 4 y )( x − 4 y )⎠⎝⎠4×г)x +4 y4yx + 4 xy + y − x − 24 xy − y=4x +4 yа3 + ab2 − a2b − b34 54 444 54b + a b − ab − a=(a + b)( a − b )4(a + b)( b − a )50.
a)=4(xx −11x + x20,5+1:=xx +4 y4ya (a + b) − b(a + b)4b(a + b) − 4 a(a + b)(4 a − 4 b )(4 a + 4 b )x0,5 + 11,5=4⋅−14+a −4 b2x−0,5==− 4 xy (4 x + 4 y )(4 x + 4 y )4 y= −4 x ;== −( 4 a + 4 b ).( x0,5 − 1)( x0,5 + 1)( x1,5 + 1)( x + x0,5 + 1)( x0,5 + 1)+ 2 x0,5 =− 1)( x0,5 − 1)+ 2 x0,5 = ( x0,5 − 1) 2 + 2 x0,5 = x + 1;19911 ⎛1⎞ 1 1⎛ 1 1⎞⎟ 4 4⎜⎟ (ab) 4 − b 2 ⎜ 1 14)ab(abba−b⎟:⎟:б) ⎜ a 2 ⋅ b 2 −= ⎜a2 ⋅ b2 − 1 1=1 11⎜⎟a −ba −b⎜⎜⎟⎟⎜⎟a + a 2b 2 ⎠a 2 (a 2 + b 2 ) ⎠⎝⎝1 11111 1(a 2 b 2 (a 2 + b 2 ) − a 2 b)(a − b)=1(a 21 1 1+ b 2 )b 4 (a 41 1=1111a 2 b 2 ⋅ a 2 (a 2 − b 2 )1=1− b4 )1111111a 2 b 2 (a 2 + b 2 − b 2 )(a 2 − b 2 )(a 2 + b 2 )1(a 211 1 1+ b 2 )b 4 (a 41111− b4 )=1ab 2 ( a 4 + b 4 )== ab 2 (a 4 + b 4 );11a 4 −b 4−13⎞⎞ ⎛⎜ 3⎟⎟2 − y2xxy−⎜⎟=⎟ ⋅−1 11 1⎟⎟ ⎜⎟⎟ ⎜⎠ ⎝ x − x2 y2 x2 +y2 ⎠1 111⎛⎜2 y2 + y2 − y2xxx3x+= 1⋅⎜−11 ⎜11x 2 (2x 2 + y 2 ) ⎜⎝x21 1⎛⎜2 y2+2xxв) ⎜⎜3x⎜⎝1×111x + x2 y2 + y − x + x2 y21⎞⎟3x⎟=×111⎟⎟ x 2 (2x 2 + y 2 )⎠13x=111⋅11x 2 ( 2x 2 + y 2 )x21y 2 ( 2x 2 + y 2 )1= 3y 2 ;x2111⎛⎛⎞−c−2 ⎜ 1 −⎜⎟−2−22221− c2c2⎞c −c ⎟ ⎛c −2 c + cг) ⎜− 2 +⋅ ⎜⎜1 + 2 ⎟⎟ = ⎜11⎟11⎜⎜ 1 −1c2cc ⎠− ⎟ ⎝c−c−⎜⎜ c 2 −c 222ccc −c ⎠⎝⎝⎛ c2 + 2 ⎞×⎜ 2 ⎟⎜ c ⎟⎠⎝=cc2100⎛ (c 2 − 1) c 2 c (1 − c3 ) c=⎜ 2− 2 + 2⎜ c (c − 1)cc (c − 1)⎝(c + 1 − 2 − (1 + c + c 2 )) ⋅751.
a)−25 2c4(c 2 + 2)24a 3 − 2a 3 b 3 + ab 35 4 122a 3 − a 3 b 3 − ab 3 + a 3 b⋅a−13=c2 cc2 + 24=2⎞ ⎛ c2 ⎞⎟ =⎟⋅⎜⎟ ⎜ c2 + 2 ⎟⎠⎠ ⎝.2 24a ( a 3 − 2a 3 b 3 + b 31524 1 2a 3 (( a 3 − ab 3 ) −( a 3 b 3 − a 3 b))=⎞⎟⎟×⎟⎟⎠222a(a 3 − b 3 ) 2=122=2 1a 3 ( a 3 − b 3 )(a − a 3 b 3 )21a(a 3 − b 3 )11= a3 + b3;1a(a 3 − b 3 )111 1 1⎛ 1⎞⎛⎞⎜ 4⎟⎜⎟4 − y4)4 )x 2 y 22(2(xy−xx−yб) ⎜=⎜− x − y⎟ ×− x − y⎟ :1 111 ⎜1 1⎟⎜ 1 1⎟⎟⎜ x− 2 y − 4 − x − 4 y − 2⎟ x− 2 − y − 2 ⎜44y−x⎝⎠⎝⎠111y2 − x2×1 1=1( y − x) x 2 y 21в)г)c −13c41+ c2⋅13(ab) 21− 3b+a −b3+1111 11⋅c4+11(a 2c −11 1c 2 (c 413− b 2 )3 + 2a 23a213a21=1a21+b21 11+1 =31112−x−12;1c2=+1 =1c2−1 +1 =1c2;+11 13b 2 (a 21(a 21⋅c41− b2 )112− b )(a 21+ b2 )+=1a −a 2b2 +b23a2−33+ b21+ 3a 2⋅1c 4 (c 4 + 1)+ 1)3+ b23+ b23= −yx2 y2a 2 − 3ab 2 + 3a 2 b − b 2 + 2a 2 + b 23b 2=−1(x 2 + y 2 )( y 2 + x 2 )x 2 y 2c2 + c41c21(2 x 2 y 2 − x − y )3+b21=13b 2 + 3a 21a21+b2= 3.6. Преобразования тригонометрических выражений52. a) tg 2 α − sin 2 α − tg 2 α ⋅ sin 2 α ==б)sin 2 α − sin 2 α ⋅ cos 2 α − sin 4 αcos 2 α=sin 2 α2cos α− sin 2 α −sin 4 αcos 2 αsin 2 α(1 − cos 2 α − sin 2 α)cos 2 α==sin 2α ⋅ 0cos 2 α= 0;sin 2 β(sin β + cos β) cos2 β(cosβ + sin β)+=sin βcos β= sin β(sin β + cos β) + cos β(cos β + sin β) =(sin β + cos β ) 2 =| sin β + cos β |;101в) (3 sin α + 2 cos α) 2 + (2 sin α − 3 cos α) 2 = 9 sin 2 α + 12 sin α ⋅ cos α ++ 4 cos 2 α + 4 sin 2 α − 12 sin α ⋅ cos α + 9 cos 2 α = 9(sin 2 α + cos 2 α) ++ 4(sin 2 α + cos 2 α) = 13;г)cos β tgβsin 2 β− ctgβ ⋅ cos β =1cos 2 β1 − cos2 β sin 2 β= sin β.==−sin β sin βsin βsin β53.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
