kolmogorov-gdz-11-№326-580 и 1-281 (991264), страница 25

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 25)

f′(x)=2x–3, f ( x) = x 2 − 3x + c . Найдем с: f (2) = 2, откуда с = 4.Ответ: f ( x) = x 2 − 3x + 4 .271. F(x) = x3 + C, значит при х = 2 и у = 3. Получаем 3 = 23 + С,С = –5; у = х3 – 5.1214272. x′(t ) = sin t cos t = sin 2t , поэтому x(t ) = − cos 2t + c .3 = –0,25cosπ+ c, откуда с = 3; x(t ) = −0,25 cos 2t + 3 .225. Интеграл3π⌠2273. а) ⎮⎮⌡πcos(1,5π + 0,5 x) dx = 2 sin(1,5π + 0,5 x)= 2 sin(1,5π +⌠2216=π3ππ3π2) − 2 sin(1,5π + ) = −2 cos − 2 sin 2π = 2 ⋅−0 = 2 ;4242⎛ 1⎝ xб) ⎮ ( x − 2 + x 2 )dx = ⎜ − +⎜⎮⌡13π2x33⎞2⎟ = − 1 + 8 + 1 − 1 = 17 = 2 5 ;⎟12 33 66⎠ππ⌠6⎮1⎛1⎞6в) ⎮ (cos 3 x − sin 2 x)dx = ⎜ sin 3 x + cos 2 x ⎟ =2⎝3⎠ π⎮π12⌡121 3π 1π 1 ⎛ 3π ⎞ 12π 1 12 1 3723= sin + cos − sin⎜ ⎟ − cos = + −− ⋅= −− ;36 23 3 ⎝ 12 ⎠ 212 3 4 6 2 212 64−2⌠⎛x3 ⎞ −28125г) ⎮ (5 − 6x − x2 )dx = ⎜ 5x − 3x2 − ⎟ = −10 − 12 + − (−25 − 75 + ) =⎜⎟ −5⎮333⌡−5⎝⎠− 22 +8125+ 100 −= 78 − 39 = 39 .33⌠axax274. а) ⎮ cos dx = 2 sin22⌡0= 2 sin0aa− 2 sin 0 = 2 sin ;221) наибольшее значение: 2 при а = π + 4πn – интеграл равен 2,2) наименьшее значение: –2 при а = –π + 4πn – интеграл равен –2.a+⌠б) ⎮⎮⌡0=π2πcos 2 xdx =a+11πsin 2 x 2 = (sin 2(a + ) − sin 2 ⋅ 0) =222011sin( π + 2a) = − sin 2a ;221π; а = – + πn;241π2) наименьшее значение: – ; а = + πn.241) наибольшее значение:275.

а)Пределы интегрирования:0,5 x 2 − 2 x + 3 = 7 − x , 0,5x2 − 2x + 3 + x − 7 = 0 , x 2 − 2 x − 8 = 0 , х1=–2, х2=4;21744⌠⎛⎞4⌠x2 ⎞ 4 ⎛ x3⎮S=(7 − x)dx − ⎮ (0,5x2 − 2x + 3) = ⎜ 7x − ⎟ − ⎜ − x2 + 3x ⎟ =⎜⎟ −2 ⎜ 6⎟ −2⎮2⎮⎝⎠⎝⎠⌡−2⌡−2648= 28 − 8 + 14 + 2 − ( − 16 + 12 + − 4 + 6) = 10 ;66⎛⎜⎝б) S = ⎜ 4 x −= 8−⎞2x3 ⎞⎟ 2 ⎛⎜ x3−− 2 x2 + 4 x ⎟ =⎟0⎟⎜3 ⎠0 ⎝ 3⎠8 ⎛8162⎞− ⎜ − 8 + 8⎟ = 8 −=2 ;333 ⎝3⎠в) Пределы интегрирования:x 2 − 3x + 4 = x + 1,x 2 − 4 x + 3 = 0,x1 = 3,x2 = 1 ;33⌠⎛ x2⎞ 3 ⎛ x3⌠⎞3x2S = ⎮ ( x + 1)dx − ⎮ ( x 2 − 3x + 4)dx = ⎜ + x ⎟ − ⎜ − 3 + 4 x ⎟ =⎜⎟⎜⎟1⎮2⎮⎝ 2⎠1 ⎝ 3⎠⌡1⌡1=191271 32⎛⎞+ 3 − −1 − ⎜9 −+ 12 − + − 4 ⎟ = 6 − 4 = 1 ;2223 233⎝⎠г) Пределы интегрирования:x2 − 2 x + 2 = 2 + 4 x − x2 , 2 x2 − 6 x = 0, 2 x( x − 3) = 0, x1 = 0, x2 = 3 ;21833⌠⎛⎞3⌠ 2x3 ⎞ 3 ⎛ x32⎮S = (2 + 4x − x )dx− ⎮ (x − 2x + 2)dx= ⎜2x + 2x2 − ⎟ − ⎜ − x2 + 2x⎟ =⎜⎟0 ⎜ 3⎟0⎮3⎮⎝⎠ ⎝⎠⌡0⌡0= 6 + 18 − 9 − (9 − 9 + 6) = 15 − 6 = 9 .Ответ: S = 9.276.44⌠⌠S 1 = ⎮ 8dx − ⎮ ( x + 4) dx = 8 x⎮⎮⌡− 2⌡− 44−4⎛ x2⎞−⎜+ 4x ⎟⎜ 2⎟⎝⎠4−2== 32 + 32 − (8 + 16 − 2 + 8) = 64 − 30 = 34 ;44⌠⎛ x3 ⎞ 4⌠ 1 2⎛ 64 8 ⎞S2 = ⎮ (x + 4)dx − ⎮x dx = 30 − ⎜ ⎟ = 30− ⎜ + ⎟ = 30–12=18;⎜ 6 ⎟ −2⎮ 2⎮⎝ 6 6⎠⎝ ⎠⌡−2⌡−2−2⌠ 1 2x3S3 = ⎮x dx =6⌡−4 2−2−48 64 561=− +==9 ;6 66312SIчасти = 34 − 9 = 24 , SIIчасти = 18.33277.

Уравнение касательной:y′ = 2 − x,y′(3) = −1,y (3) = 4,y = −1( x − 3) + 4 = − x + 7.21933⌠⌠⎛ x2⎞3⎮+ 7x⎟ −S=(− x + 7)dx − ⎮ (2,5 + 2 x − 0,5x 2 )dx = ⎜ −⎜ 2⎟ −1⎮⎮⌡−1⎝⎠⌡−1⎛x3 ⎞ 3 9191⎞⎛− ⎜ 2,5 x + x 2 − ⎟ − + 21 + + 7 − ⎜ 7,5 + 9 − + 2,5 − 1 − ⎟ =⎜⎟ −1 26226⎠⎝⎝⎠= 24 − 1351= 10 (кв.ед.).66278. Уравнения касательных:y′( x) = 2 x − 4, y′(1) = −2, y (1) = 2, y1 = −2( x − 1) + 2 = −2 x + 2 + 2 = –2х + 4;323⌠⌠⌠⎛ x3⎞32⎮⎮S = ( x − 4x + 5)dx − (2x + 4)dx − ⎮ (2x − 4)dx = ⎜ − 2x2 + 5x ⎟ −⎜ 3⎟1⎮⎮⎮⌡2⎝⎠⌡1⌡1231− (− x2 + 4x) − ( x2 + 4x) = 9 − 18 + 15 − + 2 − 5 − (−4 + 8 + 1 − 4) −31222− (9 − 12 − 4 + 8) = 2 − 1 − 1 = .33279.Введем систему координат так, чтовершина параболы проходит через точку(0; 0), и уравнение параболаy = kx2,k=4;ay=4⋅ x2;aa2⌠48 x3S1 = 2 ⎮ x 2 dx = ⋅a 3⌡aa20=a28 a3⋅=;a 8⋅330S2 = a2 −220a2;3S1 a 2 31=⋅= .3 2a 2 2S2280.2⎛ x3⎞2⌠+ 2 x 2 + ax ⎟ − 4 =S = ⎮ ( x 2 + 4 x + a) dx − S OABC = ⎜⎜ 3⎟0⎮⎝⎠⌡0820208, значит, 2a +=12, поэтому а = .= + 8 + 2a − 4 = 2a +3333281.f ′( x) = a ⋅ π cos πx ;2⌠aa⎛ a⎞2⎮ (a sin πx + b)dx = ⎜ − π cosπx + bx⎟ = − π ⋅1 + 2b + π = 2b.⎝⎠0⌡0f ′(2) = 2, 2 = аπcos2π, 2 = aπ, а =2.π2⌠f ( x)dx = 4,⎮⎮⌡02b = 4, b = 2.Ответ: а =2, b = 2.π221.

Характеристики

Список файлов книги