kolmogorov-gdz-11-№326-580 и 1-281 (991264), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Так как0 < ∠EOB <ππи при α ∈ (0; ) ; tgα22возрастает, то найдем х, при котором f(x) принимает наибольшеезначение на (0; ∞).207f ′( x) =( x 2 + 5,76) − x ⋅ 2 x2( x + 5,76)2⋅ 1,4 =1,4(5,76 − x 2 )( x 2 + 5,76)2При х ∈ (2,4; ∞) f ′( x ) < 0 , при;f ′( x) = 0 при х = 2,4.х ∈ (2,4; ∞)f ( x ) < f ( 2,4).аналогично, f ( x ) < f ( 2,4) для х ∈ (0; 2,4). Значит, fmax = f(2, 4).241.Пусть наблюдатель находится за х м отстатуи в точке О.∠АОВ = ∠АОС – ∠ВОС, ВС = 4 м.tg∠AOB = tg (∠AOC − ∠BOC ) =8 4−4x= x x == f ( x).8 4 x 2 + 321+ ⋅x x⎛ π⎞⎛ π⎞∠AOB ∈ ⎜ 0; ⎟ , а на ⎜ 0; ⎟ tgα возрастает.2⎠⎝ 2⎠⎝f ′( x) =4( x 2 + 32) − 4 x ⋅ 2 x( x 2 + 32) 2=128 − 4 x 2( x 2 + 32) 2=4(32 − x 2 )( x 2 + 32) 2f ′ = 0 при x = ± 32 = ±4 2 .
fmax = f( 4 2 ).;Ответ: 4 2 м.242. По теореме Пифагора R2 = l 2 − h2, R2 = 400− h2 , где l – образующая;R – радиус оснований; h – высота конуса. Объем конуса равен:V =113πR 2 h = π( 400h − h 3 ) (см ).33Таким образом, нужно найтинаибольшее значение функции f (h) = 400h − h 3 на [0; 20].f ′(h) = 400h − h3 ,f ′( h) = 0 при h =203. Имеем f (0) = f (20) = 0,⎛ 20 ⎞20а f ⎜⎜ ⎟⎟ > 0, поэтому наибольшее значение f (h) при h =.3⎝ 3⎠243.Из теоремы Пифагора:∆AOB : AB 2 = AO 2 − BO 2 , т.е.r2 = R2 −h2, где4r – радиус основанияцилиндра; h – высота;V = πr 2 h = π( R 2 h −208h3).4h3) на [0; 2R].42R322.V ′( h) = π( R 2 − h 2 ), V ′(h) = 0 при 3h = 4R , т.е. при h =43⎛ 2R ⎞Т.к. как V(0) = V(2R) = 0, а V ⎜⎜ ⎟⎟ = Vmax , то функция V(h)⎝ 3⎠2R2R.
Ответ:.достигает наибольшего значения при h =33Определим наибольшее значение функции V (h) = π(R 2 h −244. Пусть h высота цилиндра, тогдаПреобразовав, получимh=(R − r )H.Rrh OB AB+=+=1.R H OA OAДалее полная поверхностьцилиндра равна:r(R − r)H ⎞⎛S (r ) = 2πr 2 + 2πrh = 2π⎜ r 2 +⎟=R⎝⎠r 2 ( R − H ) + rRH= 2πRНайдем наибольшее значение S(r) при V ∈ (0; R).
Функция Sквадратичная при R ≠ H , поэтому она может достигатьнаибольшего значения, если «ветви» параболы направлены вниз иабсцисса r0 вершины параболы лежит на этом интервале.r0 = −RHRH< R , т.е. Н < 2(H – R),, и: 1) R − H < 0 и 2) −2( R − H2( R − Hзначит R <H. При R = H получаем, что S(r) = 2πrH, функция не2имеет наибольшего значения на (0; R).
Ответ: R = H.245. Пусть h и r высота и радиус основания цилиндра, соответственно,а H и R высота и радиус основания конуса. Получим:rh OB AB+=+= 1 , откудаR H OA OAH =πR 2 h1Rh., V ( R ) = πR 2 H =3( R − r )3R−2Найдемнаименьшеефункции V(R) на (2; ∞).V ′( R ) =πh( 2 R 3 − 3R 2 r )3( R − r ) 2значение;209V ′( R ) = 0 при 2 R 3 = 3R 2 r , R = 1,5r. Итак, V (1,5r ) = Vmin на(r; ∞), так как V убывает на (r; 1,5r) и возрастает на [1,5; ∞).246.Рассмотрим осевое сечение конуса.∆OEA ∝ ∆BEC .Отсюда:R=H −ROA BC, т.е.=EO EBxH 2 + x2, значит,R 2 H 2 + R 2 x 2 = ( H − R) 2 x 2 ,x2 =R2(H − R ) 2=x2H 2 + x2.x 2 (( H − R) 2 − R 2 ) = R 2 H 2 , откуда11 πR 2 H 2R2H.
Таким образом, V = πx 2 H =.33 H − 2RH − 2RНайдем наименьшее значение V (H) на (2l; ∞).V ′( H ) =πR 2 ( H 2 − 4 RH )3( H − 2 R) 2и V ′( H ) =0 при Н=4R. V убывает приН ∈ (2R; 4R) и возрастает при Н ∈ (4R; ∞), значит V(4R) = Vmin на(2R; ∞).Ответ: 4R.247. Рассмотрим осевое сечение конуса. ∆АОС ∝ ∆ОВС, значит:x2H 2 + x2V (H ) ==RH 2R2, поэтому x 2 = 2;HH − R21 21H3;πx H = πR 2 ⋅233H − R21 2 2 2πR ((H − R )3H 2 − H3 2H )3V ′(H ) ==(H 2 − R2 )πR2 (H 4 − 3H 2R2 )=.3(H 2 − R2 )2V ′( H ) = 0 если H = R 3 , Ответ: Н = R.248.
h 2 = D 2 − b 2 . Прочность балки R выражается формулойR=kbh2. Также R(b) = kb( D 2 − b 2 ) = kb(1600 − b 2 ) . Найдем наибольшеезначение функции R(b) на промежутке [0; 40].R ′(b ) = k (1600 − 3b 2 ) и R ′(b) = 0 при b =210403.⎛ 40 ⎞⎟ > 0,R(0) = R(40) = 0, R⎜⎜⎟⎝ 3⎠достигает при b =403значит,наибольшее, при этом h = 40значениеR2.3249.Пусть периметр равен Р. Площадь окна11S ( R) = 2R ⋅ ( P − 2R − πR) + πR2 =221⎛ π⎞= PR − 2R2 − πR2 + πR2 = PR − ⎜ 2 + ⎟R2 .2⎝ 2⎠ФункцияS(R) – квадратичная а0 < 0,следовательно, имеет точку максимума:π⎞⎛S ′( R ) = P − ⎜ 2 + ⎟ ⋅ 2 R = P − (4 + π) R, S ′( R) = 02⎠⎝Pпри R =.4+π1P12+π14+π−2−πP = P⋅( P − ( 2 + π) R ) = ( P −Тогда,=224+π24+π4+πт.е.прямоугольная часть окна на самом деле имеет форму квадрата.250.Пусть ВС 2х, а АН у.
Тогда S = xy. Далее в прямоугольном ∆АВЕ,поэтому ВН 2 = ЕН ⋅ НА , или x 2 = y (2 R − y ) и S 2 = x2 y2 = y3(2R − y) .Найдем наибольшее значение функции f ( y ) = y 3 (2 R − y ) на [0; 2R].f ′( y ) = −4 y 3 + 6 Ry 2 , f ′( y ) = 0 при у = 0 иу = 1,5R. f (0) = f (2R) = 0,f (1,5 R ) =27 4R .16Такимобразом, площадь треугольниканаибольшая, если хорда проведена нарасстоянии 1,5R от точки касания.Ответ: 1,5R от точки касания.251.Если основание треугольника 2b, и угол при основании 2α, тоr = OH = HC ⋅ tgα = btgα .
Выразим b через заданную площадь Sтреугольника:S = 0,5 ⋅ AC⋅ BH = b ⋅ btgα , значит, b 2 =S. Найдемtg2αнаибольшее значение квадрата радиуса:211Stg 2 αS (1 − tg 2 α) tg 2 α.=2 tg α2tg αr 2 = b 2 tg 2 α =1 − tg 2 αПусть tgα – tg3α и(α). Найдем наибольшееπзначение функции и(α) на [0; ] .4u ′(a) =12cos α−3tg 2 α2cos αu ′( a ) = 0 при tgα = ±=1 − 3tg 2 αcos 2 α1;π6, т.е. при α = πk ± , k ∈ Z . x 0 =π,632π⎡ π⎤⎛π⎞⎛π⎞х0 ∈ ⎢0, ⎥ . Далее: и(0)=и ( ) =0 и и ⎜ ⎟ =.
umax(α) = u ⎜ ⎟ . Угол446⎝ ⎠ 3 3⎝6⎠⎣⎦πпри вершине равен π − 4α = .3252.Расстояние между точкой на параболе иданнойточкойАравно:21⎞⎛r(x) = (2 − x)2 + ⎜ x2 − ⎟ .2⎠⎝f ( x) = r 2 ( x) ; так как r(x) > 0 для всех х, их минимумы должнысовпадать.1⎞⎛f ′(x) = 2(2 − x)(−1) + 2⎜ x2 − ⎟ ⋅ 2x = −4 + 2x + 4x − 2x = 4x3 − 4 = 4(x3 −1) , f ′(x) = 02⎠⎝при х = 1, причем при x < 1 имеем f ′(x) <0, при x>1 имеем f ′(x) > 0,значит х = 1 – точка минимума функции f (x) и,следовательно, функции r(x).Ответ: (1; 1).x2 3, а4253. Если сторона основания х, то площадь основанияобъем равен:4Vhx 2 3( h – высота призмы), значит h = 2.
Полная4x 3поверхность S(x)х ∈ (0; ∞). S ′( x) = x 3 −х3 = 4V. S(x) убывает при х ∈ (0;( )34V 3x2. S ′( x ) = 0 при4V ) и возрастает при х ∈ ( 3 4V ; ∞),значит S 3 4V – наименьшее значение S на (0; ∞). Ответ:21234V .23. Применения производной в физике и геометрии23254. а) x1 (t ) = 2 t 3 , x 2 (t ) = 2t − 3 ;x1′(t ) = 8t 2 , x2′ (t ) = 2, v1(t ) < v2 (t ) при8t 2 < 2, 4t 2 < 1, t 2 <x1 (t ) = 9t 2 + 1,б)111, − <t < .444x 2 (t ) = t 3 . v1 (t ) = 18t , v 2 (t ) = 3t 2 , v1 (t ) < v 2 (t )при18t < t 2 , t 2 − 18t > 0, t (t − 18) > 0, t > 0 и t > 18 .255. ϕ(t ) = 0,1t 2 − 0,5t + 0,2; ω(t ) = ϕ′(t ) = 0,2t − 0,5;⎛ рад ⎞ω(20) = 0,2 ⋅ 20 − 0,5 = 3,5⎜⎟.⎝ с ⎠256.r ′(t ) = 0,01(см/с), S (t ) = πr 2 (t ), S ′(t ) = 2πr (t )r ′(t ); при r = 2 смS ′ = 2π ⋅ 2 ⋅ 0,01 = 0,04π см 2 /с .257.s1 (t ) = 5t , s 2 (t ) = 2t 2 − t .Найдем расстояние между теламиs 2 (t ) = s12 (t ) + s 22 (t ) −− 2s1 (t ) s 2 (t ) ⋅ cos 60 o == s12 (t ) + s 22 (t ) − s1 (t ) s 2 (t ) ,s (t ) = s12 (t ) + s 22 (t ) − s1 (t ) s 2 (t ) = 25t 2 + ( 2t 2 − t ) 2 −5t (2t 2 − t ) == 25t 2 + 4t 4 − 4t 3 +t 2 − 10t 3 + 5t 2 = 4t 4 − 14t 3 + 31t 2 ;скорость удаления тел друг от друга равна:1−12(8t 3 − 21t 2 + 31t )=s′(t ) = (4t 4 − 14t 3 + 31t 2 ) 2 ⋅ (16t 3 − 42t 2 + 62t ) =22 4t 4 − 14t 3 + 31t 2=t (8t 2 − 21t + 31)=8t 2 − 21t + 31.
При t = 3:t 4t 2 − 14t + 314t 2 − 14t + 318 ⋅ 9 − 21⋅ 3 + 3172 − 63 + 3140== 8 (км/ч).=s′(3) =4 ⋅ 9 − 14 ⋅ 3 + 3136 − 42 + 3125213258.Пусть А удалена от нуля на х м,x(t) = 2t (м);Расстояние от В до начала координатy(t ) = 25 − x2 (t ) = 25 − 4t 2 .Скорость В равна:y′(t ) =−8t2 25 − 4t2−4t=25 − 4t 2;в момент, когда х = 3 (м), t =4⋅⎛3⎞значит, y ′⎜ ⎟ = −⎝2⎠3225 − 4 ⋅943(c),2=−625 − 9=−63=− .42259. x(t) = 2tВерхний конец лестницы находится на высотеy = 25 − x 2 ,y (t ) = 25 − 4t 2 ;скорость движения верхнего конца1−1(25 − 4t 2 ) 2 ⋅ (−8t ) =2−8t4t=;=−2 25 − 4t 225 − 4t 2y ′(t ) =скоростью конца лестницы является4t25 − 4t 2; Найдем ускорение:−4t4 25 − 4t 2 − 4t ⋅y′′(t ) =Ответ:25 − 4t4t25 − 4t2;25 − 4t 22=4(25 − 4t 2 + 4t 2 )2(25 − 4t ) 25 − 4t100(25 − 4t 2 ) 32.260.
m( x) = kx 2 ; m(2) = 10 , 10 = k ⋅ 4, k = 2,5.1) m(12) = 2,5 ⋅ 144 = 360; ρ(х) = т′(х) = 5х.2) ρ(0) = 0; ρ(12) = 60.Ответ: 1) 360 г; 5х г/см; 2) 0 г/см; 60 г/см.214=100(25 − 4t 2 )3.261. ϕ(t ) = kt 2 ; при t = 8 имеем ϕ(t ) = 2π, 2π = k ⋅ 64, k =π.32Угловая скорость колеса равна:ω(t ) = ϕ ′(t ) =πππ⋅ 2t =t ; ω( 48) = ⋅ 48 = 3π .321616262. x(t ) = −g 22t + v 0 t + x 0 , v 0 = 40 (м/с), х0 = 10 м, g = 10 м/с ;2x(t ) = −5t 2 + 40t + 10 .а) х(5) = –5 ⋅ 25 + 40 ⋅ 5 + 10 = 210 – 125 = 85 (м).б) Тело в наивысшей точке при v(t) = 0,v(t ) = x′(t ) = −10t + 40, − 10t + 40 = 0, t = 4c;х(4) = –5 ⋅ 16 + 40 ⋅ 4 + 10 = –80 + 160 + 10 = 90 (м).263.
Угловой коэффициент касательной – f ′(x0) = tgα. Так какα = 45°, то tgα = 1, найдем х0, в которойа) f ′(x0) = 1 и б) f ′(x0) = –1.f ′(x0) = –х. а) –х = 1, х = –1, f (–1) = –1,5; б) –х = –1, х = 1, f (1) = –1,5.Ответ: а) х0 = –1, б) х0 = 1, М1 (–1; –1,5); М2 (2; –1,5).264. tg135° = –1.13f ′( x) = 3 x 2 + x − 1, 3x 2 + x − 1 = −1, 3 x 2 + x = 0, x1 = 0, x2 = − .265.
f ′( x) = 3x 2 + x − 1, 3 x 2 + x + 1 = 0, D < 0 , нет корней; угловойкоэффициент касательной не обращается в ноль, касательная непараллельна оси Ох, поэтому пересекает эту ось.266. f ′( x) = 5 x 4 + 2 ; f ′(x ) принимает положительные значения привсех х,значит, угловые коэффициенты всех касательныхположительны, все касательные образуют с осью Ох острый угол.267. (x+2)2 =2−x2, x2 +4x+4=2−x2, 2x2 +4x+2=0, x2 + 2x +1= 0, (x +1)2 = 0, x = −1;при x = −1 f (x) = g (x), это и означает, что точка с абсциссой х0 = –1есть общая точка для графиков этих функций.
Запишем уравнениякасательных и графиков этх функций в точках с абсциссой, равной –1.y = f ′( x 0 )( x − x 0 ) + y 0 .f ′( x) = 2x + 4, f ′(−1) = 2, f (−1) = 1, y1 = 2( x + 1) + 2 = 2x + 2 + 1 = 2x + 3 ;g′( x) = −2x, g′(−1) = 2, g (−1) = 1, y2 = 2( x + 1) + 1 = 2x + 3у1 = 2х + 3 и у2 = 2х + 3. Графики имеют общую касательную.21524. Первообразнаяx 3 x −4 x 3+ 3−++c ;343+ 3в) F ( x) = 2 x + 3 ln | x − 1 | +c ; г) F ( x) = tg2x - ctg3x + c .13268. а) F ( x) = −4 cos x + sin 3 x + c ; б) F ( x) =269. Найдем с.1eа) F ( x) = 2 ln | x | +c, 2 = 2 ln + c, 2 = −2 + c, c = 4 ; F ( x) = 2 ln | x | + 4 ;1xб) F ( x) = − + sin x + c,21π221= − + sin + c, − = − + 1 + c, c = −1 ; F ( x) = − + sin x − 1 ;ππ2ππx21123123в) F ( x) = − 3 + c, − 3 = − + c, c = −2 ; F ( x) = − 3 − 2 ;2424243x3x111г) F ( x) = − cos 2 x + c, 1 = − cos 0 + c, 1 = − + c, c = 1,5 ;2221F ( x) = − cos 2 x + 1,5 .2−270.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
