kolmogorov-gdz-11-№326-580 и 1-281 (991264), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Ответ: (7; 3); (–7; –3).⎧⎪ x 3 + y 3 = 7, ⎪⎧ x 3 = 7 − y 3 ,7y3 − y6 + 8 = 0 ,⎨333 3⎩⎪ x ⋅ y = −8; ⎪⎩ 7 − y y = −8;y 6 − 7 y 3 − 8 = 0 . у3 = z, z 2 − 7 z − 8 = 0 ,(183. а) ⎨)z1 = 8, z2 = –1; y3 = 8 или у3 = –1, у1 = 2, у2 = –1;x13 = 7 − 8, x23 = 7 + 1, x1 = −1; x2 = 2 .Ответ: (–1; 2); (2; –1).⎧ 44⎪ 4 + y = 5,y⎪⎧⎪ x 2 + y 4 = 5, ⎪24б) ⎨ 24 + y8 − 5 y 4 = 0 . y = z,⎨x = 2 ,⎪⎩ xy = 2;y⎪⎪ y ≠ 0;⎪⎩2z − 5 z + 4 = 0, z1 = 4, z 2 = 1; y 4 = 4, y 4 = 1, y1 = 2 ,y 2 = − 2 , y 3 = 1, y 4 = −1; x1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 2, x 4 = 2 .Ответ: (1;2 ); (1; –2 ); (2; 1); (2; –1).⎧ 83⎪ 3 + y = 9,⎪y⎧ x 3 + y 3 = 9, ⎪28 + y 6 − 9 y 3 = 0 .
у3 = z,в) ⎨⎨x = ,xy=2;y⎩⎪⎪ y ≠ 0;⎪⎩174z 2 − 9 z + 8 = 0, z1 = 8, z 2 = 1; y13 = 8, y 23 = 1, y1 = 2, y 2 = 1 ;х1 = 1, х2 = 2.Ответ: (1; 2); (2; 1).1⎧1⎪x = 5− y ,⎧1 1⎪2⎪ x + y = 5,1⎞110 11⎪⎪⎪⎛⎜⎜ 5 − ⎟⎟ ++= 13 ,г) ⎨ 1= 13, 25 − +⎨122yyyyy2⎠⎪+= 13; ⎪⎝⎪⎩ x 2 y 2⎪ x ≠ 0, y ≠ 0;⎪⎪⎩2 101− + 12 = 0 ;=z,2yyyz 2 − 5 z + 6 = 0, z1 = 2, z 2 = 3; y1 =1111, y 2 = , x1 = , x 2 = .3322⎛1 1⎞ ⎛1 1⎞⎝3 2⎠ ⎝ 2 3⎠Ответ: ⎜ ; ⎟; ⎜ ; ⎟ .⎧ x − 5 y = 7,⎨− 5ax + 5 y = 15;3;ax−y=−⎩⎩x − 5 y = 7,184.
а) ⎧⎨при a ≠x − 5ax = 22, x(1 − 5a ) = 22 ;11– 1 решение; при a = – нет решений;55x + 2 y = a,б) ⎧⎨⎩2 x + 4 y = 5;если а = 2,5 – бесконечное множество решений;если а ≠ 2,5 – нет решений;⎧−3 x − 3ay = −6,− 3ay − 2 y = 0, y (3a + 2) = 12 ;⎨⎩3 x − 2 y = −6; ⎩3 x − 2 y = −6;22если а= − – бесконечное множество решений; если а≠ − – одно33x + ay = 2,в) ⎧⎨решение;x − y = 2,г) ⎧⎨при а = 2 – бесконечно много решений;⎩2 x − 2 y = 2a;1при а ≠ – нет решений.2185.13x − 2⎧⎪⎪2 x > 3 − 11 ,⎧22 x > 33 − 13 x + 2,а) ⎨⎨3 x + 12( x − 7) < 2(3x − 20);−2320xx⎪ + ( x − 7) <; ⎩⎪⎩ 6 39175⎧ x > 1,⎧35 x > 35, ⎪⎨9 x < 44; ⎨ x < 44 .⎩⎪⎩98Ответ: x ∈ (1; 4 ) .9⎧x +1x+4x −112 x − 6( x + 1) − 4( x + 4) ≤ 3( x − 1) − 24,⎪б) ⎨ x − 2 − 3 ≤ 4 − 2, ⎧⎨⎩1,5 x − x < 2,5;⎪⎩1,5 x − 2,5 < x;⎧12 x − 6 x − 6 − 4 x − 16 ≤ 3 x − 3 − 24, ⎧− x ≤ −5, ⎧ x ≥ 5,⎨ x < 5.⎨ x < 5;⎨0,5 x < 2,5;⎩⎩⎩Ответ: нет решений.⎧ x +1xx −16( x + 1) − 4 x ≥ 3( x − 1) − 12 x − 24,⎪в) ⎨ 2 − 3 ≥ 4 − x − 2, ⎧⎨⎩0,5 x + x < 2;⎪⎩0,5 x < 2 − x;⎧6 x + 6 − 4 x ≥ 3x − 3 − 12 x − 24,⎨1,5 x < 2;⎩⎧11x ≥ −33,⎪⎨ x < 20 ;⎪⎩15⎧ x ≥ −3,⎪⎨x < 4 .⎪⎩31Ответ: x ∈ [−3; 1 ) .32(3 x − 1) < 3(4 x + 1) + 16, ⎧6 x − 2 < 12 x + 3 + 16, ⎧−6 x < 21,г) ⎧⎨⎨⎨⎩8 + 4 x < 3x + 8;⎩4(2 + x) < 3 x + 8;⎧ x > −3,5,Ответ: х ∈ (–3,5; 0).⎨ x < 0.⎩⎩ x < 0;17.
Системы иррациональных уравнений⎧⎪− 2 x + 2 y = −8,5 y = 10,⎨⎪⎩2 x + 3 y = 18.⎧⎪ x − y = 4,⎪⎩2 x + 3 y = 18;186. а) ⎨x – 2 = 4,y = 2, у = 4,x = 6, х = 36. Ответ: (36; 4).⎧⎪ x + y = 8, ⎧⎪ x = 8 − y ,8 y − y − 15 = 0 .⎨⎪⎩ x ⋅ y = 15; ⎪⎩ 8 − y y = 15;2y = z, z – 8z + 15 = 0, z1 = 3, z2 = 5,б) ⎨y1 = 3,()y 2 = 5, y1 = 9, y2 = 25,x1 = 25, x2 = 9.176x1 = 8 – 3,x 2 = 8 – 5,Ответ: (25; 9); (9; 25).⎧⎪3 x − y = 8,⎧⎪6 x − 2 y = 16,7⎨⎪⎩ x + 2 y = 19; ⎪⎩ x + 2 y = 19.в) ⎨5 + 2 у = 19, 2 у =14,у = 7, у = 49.12⎧,⎪ x=y⎪⎨ 12⎪+ y − 7 = 0.⎪ y⎩⎧⎪ xy = 12,г) ⎨⎪⎩ x + y = 7;x = 35, х = 25,y = z,12+ z − 7 = 0, 12 + z 2 − 7 z = 0, z1 = 3, z 2 = 4,zу1 = 9, у2=16,x1 = 7 − 3,187.⎧⎪ x y + y x = 30,⎪⎩ x + y = 5;а) ⎨x=6y,y ≠ 0,x 2 = 7 − 4,(y1 = 3,x1 = 4,)y1 = 2,y 2 = 4,x 2 = 3, x1 = 16 , х2 = 9.⎧⎪ xy x + y = 30,xy ⋅ 5 = 30,⎨⎪⎩ x + y = 5;6y+−5 = 0 .y = z,yz 2 − 5 z + 6 = 0, z1 = 2, z 2 = 3,x1 = 5 − 2, x1 = 9,Ответ: (25; 49).xy = 6,y 2 = 3, y1 = 4, y 2 = 9 ,x 2 = 5 − 3, x 2 = 4 .
Ответ: (4; 9), (9; 4).⎧⎪ x + y − xy = 7 ⎧ x + y = 7 + 3,⎧б) ⎨ x + y − xy = 7, ⎨⎨⎩ xy = 9;⎩ xy = 9;⎪⎩ xy = 3;⎧ y1 = 9, ⎧ y 2 = 1,⎧ x = 10 − y,2⎨(10 − y ) y − 9 = 0; y − 10 y + 9 = 0, ⎨ x = 1; ⎨ x = 9.⎩⎩ 1⎩ 2⎧⎪ x + y = 6,⎧в) ⎨ x + y = 6, ⎨⎩ x − y = 12;(⎪⎩ x − y⎧⎪ x − y = 2,2 x = 8,⎨⎪⎩ x + y = 6;)(()⎧⎪ x − y ⋅ 6 = 12,⎨x + y = 12; ⎪⎩ x + y = 6;)x = 4, x = 16, 4 + y = 6,y = 2, y = 4 .⎧ xy = 64,⎧ xy = 8,⎧(12 + y ) y = 64,г) ⎨⎨⎨⎩ x − y + xy = 20; ⎩ x − y + 8 = 20; ⎩ x = 12 + y;12 y + y 2 − 64 = 0,⎧ y1 = 4,⎨ x = 16; и⎩ 1⎧ y 2 = −16,⎨ x = −4.⎩ 2177⎧⎪ x + y = 26,⎪⎩ x + 4 y = 6.188.
а) ⎨4⎧(6 − v) 2 + v 2 = 26,⎨⎩u = 6 − v;y1 = 1,4y 2 = 5,⎧⎧v2 = 5,⎨u = 1;⎩ 2y1 = 1,33⎪3б) ⎨ x − y = 3 4 ,⎪⎩ xy = 1;x = и,2⎧ 2y =v, ⎨u + v = 26,4⎩u + v = 6;36 − 12v + v 2 + v 2 = 26 ,⎧v = 1,v2 − 6v + 5 = 0, ⎨ 1⎩u1 = 5;444x1 = 5,y 2 = 625 .4x2 = 1, x1 = 625, x2 = 1 ,Ответ: (625; 1), (1; 625).15⎧ 1 3⎪ 3 − y − 4 = 0,y⎪⎪1⎨x = ,y⎪⎪ y ≠ 0.⎪⎩3y = z,1115− z − = 0, 4z 2 − 15z + 4 = 0, z1 = −4, z2 = ,z44⎧ y1 = −64,⎪⎨x = − 1 ;⎪⎩ 1641⎧⎪ y2 = −,⎨64⎪⎩ x 2 = −64.Ответ: ( −⎧⎪ x − y = 5, ⎧⎪(4 x − 4 y )(4 x + 4 y ) = 5,⎨⎪⎩ x − 4 y = 1; ⎪⎩4 x − 4 y = 1;a + b = 5,y = b; ⎧⎨a = 3, b = 2.⎩a − b = 1;4y1 = −4,3y2 =1,411; –64), ( ; 64).6464⎧⎪4 x + 4 y = 5,⎨4⎪⎩ x − 4 y = 1;в) ⎨443x = 3, х = 81;44x = а,y =2, у = 16.Ответ: (81; 16).⎧⎪3 x + 3 y = −3,3⎧3г) ⎨ x + y = −3, ⎨3Пусть3⎩ xy = 8;⎧a + b = −3,⎨ab = 2.⎩⎩⎪ x ⋅ y = 2.y = −1, y = ( −1) 3 , y = −1,3y = –2, у = –8,1783x = а,3y = b;− b 2 − 3b − 2 = 0,b 2 + 3b + 2 = 0,⎧a = −b − 3,⎨(−b − 3)b = 2;⎩333x = –2, х = (–2)3, х = –8;x = –1, х = –1.
Ответ: (–8; –1), (–1; –8).18. Системы тригонометрических уравненийsin x ⋅ cos y = 0,25,189. а) ⎧⎨⎩sin y ⋅ cos x = 0,75.Сложим уравнения, затем вычтем из первого второе уравнение:⎧sin x ⋅ cos y + cos x ⋅ sin y = 1,⎪⎨sin x ⋅ cos y − cos x ⋅ sin y = − 1 ;⎪⎩2π⎧⎪⎪ x + y = 2 + 2πn, n ∈ Z ,⎨⎛ π⎞⎪ x − y = ( −1) k ⎜ − ⎟ + πk , k ∈ Z ;⎝ 6⎠⎩⎪⎧sin( x + y ) = 1,⎪⎨sin( x − y ) = − 1 ;⎪⎩22x =ππ+ 2πn + ( −1) k + πk , k ∈ Z , n ∈ Z ,26ππ πk+ πn + (−1) k+, k ∈ Z, n ∈ Z ,412 2ππ2 y = + 2πn − ( −1) k − πk , k ∈ Z , n ∈ Z ,26ππkk πy = + πn − (−1)−, k ∈ Z, n ∈ Z .412 2π πk ππ πk ⎞⎛πОтвет: ⎜ + πn + (−1)k + ; + πn + (−1)k +1 + ⎟ , k ∈ Z, n ∈ Z .41224122⎠⎝x=1⎧⎪x − y = − ,3⎪cos 2 (πx) − cos 2 (πy ) = 0;⎩б) ⎨− 2 sin1⎧⎪x − y = − ,⎨3⎪⎩(cos πx − cos πy )(cos πx + cos πy ) = 0;πx + πyπx − πyπx + πyπx − πy⋅ sin⋅ 2 cos⋅ cos=0,2222sinπ(x + y)sin(x – y)π = 0,sinπx + πyπx − πyπx + πy= 0 , или sin= 0, или cos= 0, или222cosπx − πyπx + πyπx − πy= 0;= πm, m ∈ Z,= πk, k ∈ Z,222πx + πy ππx − πy π= + πl , l ∈ Z ,= + πn, n ∈ Z .2222⎧ x + y = 2 m, m ∈ Z ,111⎪2 x = 2m − , x = m − , y = m + , m ∈ Z ;1) ⎨1xy−=−;366⎪⎩3179⎧ x − y = 2k , k ∈ Z ,⎪2) ⎨1⎪x − y = − ;⎩3⎧ x + y = 1 + 2l , l ∈ Z ,⎪3) ⎨1⎪x − y = − ;k=−1, решений нет;62x =212+ 2l , x = + l , y = + l , l ∈ Z ;3333⎩x−y=1+2 n, n ∈ Z ,⎧2⎪4) ⎨n = − , нет решений.1;x−y=−3⎪⎩32 ⎞11⎞ ⎛1⎛Ответ: ⎜ m − ; m + ⎟ , ⎜ + l ; + l ⎟, l ∈ Z ; m ∈ Z .3 ⎠66⎠ ⎝3⎝33⎧sin x ⋅ sin y = ,⎧4 sin x ⋅ sin y = 3, ⎪⎪44= 3,в) ⎨⎨ sin x ⋅ sin ycos x ⋅ cos y⎩tgx ⋅ tgy = 3;⎪= 3;⎪⎩ cos x ⋅ cos y3⎧sin x ⋅ sin y = ,1 ⎪⎪4 sin x ⋅ sin y + cos x ⋅ cos y = 1, cos(x − y) = 1 ,cos x ⋅ cos y = , ⎨4 ⎪cos x ⋅ cos y = 1 ;4⎩⎪11sin x ⋅ sin y − cos x ⋅ cos y = , − cos( x + y ) = ,22⎧ x − y = 2πn, n ∈ Z ,12π⎪cos( x + y ) = − , x + y = ±+ 2πk , k ∈ Z ; ⎨2π23⎪⎩ x + y = ± 3 + 2πk , k ∈ Z ;2ππ2x = ±+ 2πn + 2πk , k ∈ Z , n ∈ Z , x = ± + πn + πk , k ∈ Z , n ∈ Z ,33ππy = ± + πn + πk − 2πn, k ∈ Z , n ∈ Z , y = ± + πk − πn, k ∈ Z , n ∈ Z .33ππππОтвет: ( + πk + πn; + πk − πn), (− + πk + πn; − + πk − πn), k ∈Z, n∈Z .3333⎧⎪sin 2 x = cos x ⋅ cos y ,1 = cos x ⋅ cos y + sin x ⋅ sin y, cos( x − y ) = 1 ,г) ⎨ 2⎪⎩cos x = sin x ⋅ sin y;x − y = 2πn, n ∈ Z ,x = 2πn + y , n ∈ Z ; sin 2 (2πn + y ) == cos( 2πn + y ) ⋅ cos y, n ∈ Z , sin 2 y = cos 2 y , sin 2 y − cos 2 y = 0,ππ44ππππОтвет: ( + πk + 2πn; + πk ), (− + πk + 2πn; − + πk ), k ∈ Z , n ∈ Z .4444tg2y =1, cosy ≠ 0, y = ± + πk, k ∈ Z , tgy = ±1, x = 2πn ± + πk , k ∈ Z .180⎧tgx + tgy = 2,⎪190.
а) ⎨1⎪⎩cos x ⋅ cos y = 2 ;⎧ sin( x + y )⎪⎪ cos x ⋅ cos y = 2,⎨⎪cos x ⋅ cos y = 1 .2⎩⎪Перемножив уравнения, получим:⎧sin( x + y ) = 1,⎪⎨cos x ⋅ cos y = 1 ; x + y = π + 2πn, n ∈ Z ,⎪⎩221ππx = + 2πn − y , n ∈ Z , cos( + 2πn − y ) ⋅ cos y = , n ∈ Z ,222π11cos( − y ) ⋅ cos y = , sin y ⋅ cos y = ,222ππsin 2 y = 1, 2 y = + 2πk , k ∈ Z , y = + πk , k ∈ Z ,24πx = + 2πn − πk , k ∈ Z , n ∈ Z .45π⎧5π⎧⎪⎪ x = 2 − y,⎪x + y =,б) ⎨⎨ ⎛ 5π2⎞⎪⎩sin x + cos 2 y = −1; ⎪sin ⎜− y ⎟ + cos 2 y = −1;⎠⎩⎪ ⎝ 2cos y + cos 2 y = −1, cos y + 2 cos2 y − 1 = −1, 2 cos2 y + cos y = 0 ,cos y (2 cos y + 1) = 0, cos y = 0 или cos y = −1,2π2π2π+ πn, n ∈ Z , y 2 =+ 2πk , k ∈ Z , y 3 = −+ 2πk , k ∈ Z ;3325π πx1 =− − πn, n ∈ Z , x1 = πn, n ∈ Z ,2 211π19πx2 =− 2πk , k ∈ Z , x 3 =− 2πk , k ∈ Z .662π19π2ππ11πОтвет: (πn; + πn), ( − 2πk; + 2πk ), ( − 2πk; − + 2πk), k ∈ Z , n ∈ Z .263631⎧⎪в) ⎨sin x ⋅ sin y = 4 , Перемножим уравнения:⎪⎩ctgx ⋅ ctgy = 3.1⎧⎪⎪sin x ⋅ sin y = 4 ,sin x ⋅ sin y + cosx ⋅ cosy = 1, cos( x-y) = 1 ,⎨⎪cosx ⋅ cosy = 3 ;⎪⎩4y1 =181x − y = 2πn, n ∈ Z , x = 2πn + y, n ∈ Z ,111, n ∈ Z , sin y ⋅ sin y = , sin 2 y = ,444π⎛⎞y = ( −1) k ⎜ ± ⎟ + πk , k ∈ Z ,⎝ 6⎠sin(2πn + y ) ⋅ sin y =sin y = ±1,2⎛ π⎞x = 2πn + (−1) k ⎜ ± ⎟ + πk , k ∈ Z , n ∈ Z .⎝ 6⎠πππОтвет: ((−1) k + πk + 2πn; (−1) k + πk ), ((−1) k +1 + πk + 2πn;666π(−1) k +1 + πk ) k ∈ Z , n ∈ Z .6⎧cos 2 y + cos x = 1,⎪г) ⎨π⎪⎩ x + y = 2 ;⎧⎞⎛π⎪⎪cos 2 y + cos⎜ − y ⎟ = 1,2⎠⎝⎨⎪ x = π − y;2⎩⎪cos 2 y + sin y = 1, 1 − 2 sin2 y + sin y = 1 ,− 2 sin 2 y + sin y = 0, sin y ( −2 sin y + 1) = 0, sin y = 0 или siny =y1 = πn, n ∈ Z,y 2 = (−1) k1,2ππ+ πn, k ∈ Z ; x1 = − πn, n ∈ Z ,62ππ− (−1) k + πk , k ∈ Z .26ππππОтвет: ( − πn; πn), ( − (−1)k + πk ; (−1)k + πk ), n ∈ Z , k ∈ Z .2266x2 =19.
Системы показательныхи логарифмических уравнений⎧⎪9 x + y = 729,⎪⎩3x − y −1 = 1;191. а) ⎨⎧⎪9 x + y = 93 ,⎧ x + y = 3,2х = 4, х = 2, у = 1.⎨ x − y −1⎨⎪⎩3= 30 ; ⎩ x − y − 1 = 0;y⎧ x⎧ 9 − y − 2 y = 16,б) ⎨2 − 2 = 16, ⎨2⎩ x + y = 9;у2 = z,⎩ x = 9 − y;29y− 2 y − 16 = 0.25122− z − 16 = 0, 512 − z − 16 z = 0 ,zz 2 + 16 z − 512 = 0, z1 = 16, z2 = −32 ; 2 y1 = 16, 2 y2 = −32 – решений нет.у = 4, х = 5;182Ответ: (5; 4).( )⎧⎧⎪= 25, ⎪5в) ⎨ 5⎨6 y − x −1x− y⎪⎩6x− y2= 526y−x−1⎪6= 60 ;⎩= 1;5у = 5, у = 1, х = 5.y⎧ xг) ⎨3 + 3 = 28,⎩ x − y = 3;⎧x− y⎪⎧ x − y = 4,= 2,⎨ 2⎨⎪⎩6 y − x − 1 = 0; ⎩− x + 6 y = 1;Ответ: (5; 1).⎧3 3+ y + 3 y = 28,27 ⋅ 3 y + 3 y = 28, 28 ⋅ 3 y = 28 ,⎨⎩ x = 3 + y;у = 0, х = 3.Ответ: (3; 0).⎧⎪4 log 4 2 x − y = −1 ⎧2 x − y = −1,⎧ y = 2 x + 1,⎨ −1⎨ xx2 x− yx⎪⎩5+ 5 = 5,2; ⎩5 + 5 = 5,2; ⎩5 = 5;192.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
