kolmogorov-gdz-11-№326-580 и 1-281 (991264), страница 18
Текст из файла (страница 18)
а) 2 sin 2 x ≤ 1, sin 2 x ≤−−22.≤ sin x ≤22ππ+ πn ≤ x ≤ + πn, n ∈ Z ;44б) 3tg 2 2 x ≤ 1, tg 2 2 x ≤−1,21,333≤ tg 2 2 x ≤;33−ππ+ πn ≤ 2 x ≤ + πn ,66−π πnπ πn;+≤x≤+122122159в) 4 cos 2 x ≤ 3, cos 2 x ≤−3,433;≤ cos x ≤22π5π+ πn ≤ x ≤+ πn, n ∈ Z .66xx− 1 ≥ 0, tg 2 ≥ 1, tgx ≤ −1 и22πx πtgx ≥ 1. + πn ≤ < + πn, n ∈ Z ,42 2г) tg 2π+ 2πn ≤ x < π + 2πn, n ∈ Z ;2πx 3π+ πn < ≤+ πn, n ∈ Z ,22 4π + 2πn < x ≤3π+ 2πn, n ∈ Z .2π2Ответ: x ∈ [ + 2πn; π + 2πn) U ( π + 2πn;161.1212а) |cosx – 1| ≤ 0,5, – ≤ cosx – 1 ≤ ,0,5 ≤ cosx ≤ 1,5, 0,5 ≤ cosx ≤ 1;−ππ+ 2πn ≤ x ≤ + 2πn, n ∈ Z ;33б) sinx < cosx, sinx – cosx < 0,ππ2 sin( x − ) < 0, sin( x − ) < 0 ;44π− π + 2πn < x − < 2πn, n ∈ Z ,43ππ−+ 2πn < x < + 2πn, n ∈ Z ;441603π+ 2πn], n ∈ Z .21212в) | sin 2 x + |≤ , −11 1≤ sin 2 x + ≤ ,22 2−1 ≤ sin2x ≤ 0, − π + 2πn ≤ 2x ≤ 2πn, n ∈Z ,π+ πn ≤ x ≤ πn, n ∈ Z .2πОтвет: x ∈ [− + πn; πn], n ∈ Z .2−г) tgx + ctgx > 0, tgx +tgx > 0, π < x <tg 2 x + 11> 0,> 0, tg2x + 1 > 0 – при всех х;tgxtgxπ+ πn, n ∈ Z .2162.
а) sin x − 3 cos x > 3 ,Ответ: x ∈ ( πn;π+ πn), n ∈ Z .2133sin x −cos x >,222π3π3− cos( + x) >, cos( + x) > −;62625ππ7π+ 2πn < + x <+ 2πn, n ∈ Z ,6662π+ 2πn < x < π + 2πn, n ∈ Z ;3б) log 0,5 sin x > 1, log 0,5 sin x > log 0,5 0,5;y = log 0,5 t – убывает, sinx < 0,5.Ответ: x ∈(−π7π+ 2πn; + 2πn), n ∈Z .66в) sinx + cosx < 1,222sin x +cos x <,222π2;cos( x − ) <42ππ 7π+ 2πn < x − <+ 2πn, n ∈ Z ,444ππ+ 2πn < x < 2π + 2πn, n ∈ Z .
Ответ: x ∈ ( + 2πn; 2π + 2πn), n ∈ Z .22161г)log2cos x > −1, logу = log22⎛ 2⎞⎜⎟,⎟⎝ 2 ⎠cos x > log2⎜2.2t – возрастает, cos x >π4π4Ответ: x ∈ (− + 2πn; + 2πn), n ∈ Z .14. Показательные уравнения и неравенства163. а) (0,2) х2−16 х −37,5= 5 5 , 5− х22+16 х + 37,5= 5 5,2− х + 16 х + 37,5 = 1,5, х − 16 х − 36 = 0, х1 = 18,б) 2 х210 хв) 2 х−322⋅5х−32−3= 0,01 ⋅ (10 х −1 ) 3 , 10 х2−3х 2 = −2 ;= 10 −2 ⋅10 3 х −3 ,= 10 −2+3 х −3 , х 2 − 3 = 3 х − 5, х 2 − 3 х + 2 = 0, х1 = 2, х2 = 1;− 6 х + 0,5=116 2, 2х2− 6 х + 0,5= 2 − 4,5 , х 2 − 6 х + 0,5 = −4,5 ,х2 – 6х + 5 = 0, х1 = 1, х2 = 5;г)6х2−15=3 −1512 −12 х2, 6 х ⋅ 612 −12 х = 2 −15 ⋅ 3 −15 , 6 х2−12 х +1226х 2 − 12 х + 12 = −15, х 2 − 12 х + 27 = 0, х1 = 3, х 2 = 9 .25164.
а) 53х – 2 ⋅ 53х–1 – 3 ⋅ 53х–2 = 60, 5 3 х − ⋅ 5 3 х −5 3 х (1 −= 6 −15 ,3 3х⋅ 5 = 60 ,252 312− ) = 60, 5 3 х ⋅= 60, 5 3 х = 125 , 5 3 х = 5 3 , 3х = 3, х = 1;5 2525б) 4 х − 3 х −0,5 = 3 х −0,5 − 2 2 х −1 , 4 х −3х3= 3 ⋅3х −х4х,2х⎛3⎞⎛3⎞2 ⋅ 3 ⋅ 4 х − 2 ⋅ 3 х = 2 ⋅ 3 ⋅ 3 х − 4 х ⋅ 3 , 2 3 − 2⎜ ⎟ = 6 ⎜ ⎟ − 3 ,⎝4⎠⎝4⎠хх⎛3⎞⎛3⎞⎛3⎞8 ⋅ ⎜ ⎟ = 3 3, ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟⎝4⎠⎝4⎠⎝4⎠1,5в) 2 5 х −1 + 2 5 х − 2 + 2 5 х −3 = 896,2 5х =162, х = 1,5 ;2 5х 2 5х 2 5х7++= 896, 2 5 х ⋅ = 896 ,2488896 ⋅ 8, 2 5 х = 1024, 2 5 х = 210 , х = 2 ;752х+ 2 2х = 52х − 4 ⋅ 2 2х ,5г) 5 2 х −1 + 2 2 х = 5 2 х − 2 2 х + 2 ,⎛5⎞5 2 х + 5 ⋅ 2 2 х = 5 ⋅ 5 2 х − 20 ⋅ 2 2 х , ⎜ ⎟⎝2⎠⎛5⎞4⋅⎜ ⎟⎝2⎠2х⎛5⎞= 25, ⎜ ⎟⎝2⎠2х2х⎛5⎞+ 5 = 5⋅⎜ ⎟⎝2⎠2х− 20,2⎛5⎞= ⎜ ⎟ , х =1.⎝2⎠2165. а) 9 х22−1− 36 ⋅ 3х2−3+ 3 = 0,29х36 х 2−⋅9 + 3 = 0 ,92723 ⋅ 9х − 36 ⋅ 3х + 81 = 0 .
Пусть 3 х = у , тогда 3 у 2 − 36 у + 81 = 0 ,22у2 – 12у + 27 = 0, у1 = 3, у2 = 9; 3 х = 3 или 3 х = 3 2 , х2 = 1,х2 = 2, х1 = 1, х2 = –1; х 3 = 2 , х 4 = − 2 ;б) 5 3 х +1 + 34 ⋅ 5 2 х = 7 ⋅ 5 х , 5 ⋅ 5 3 х + 34 ⋅ 5 2 х − 7 ⋅ 5 х = 0 . 5 х = у ,5у3 + 34у2 – 7у = 0, у(5у2 + 34у – 7) = 0, у = 0155у2 + 34у – 7 = 0, у = –7 и у = ; 5 3 х = 0 – нет корней;135 3 х = −7 – нет корней; 5 3 х = 5 −1 , 3х = –1, х = − ;в) 16 х − 50 ⋅ 22 х = 896, 42 х − 50 ⋅ 4 х − 896 = 0 ; 4 х = у,у2–50у–896=0, у1=64, у2 =–14; 4 х =64 или 4 2 х =–14 – нет корней; х=3.г) 7 4х− 8⋅74х+ 7 = 0, 7 42х− 8⋅72у – 8у + 7 = 0, у1 = 7, у2 = 1; 72 х = 1, 2 х = 0, х1 =2 хх+ 7 = 0 .
72= 7 или 71; х2 = 0.42 хх= у,= 1,Ответ: 0; 0,25.166. а) 3 ⋅ 4 х + 2 ⋅ 9 х = 5 ⋅ 6 х , 3 ⋅ 2 2 х + 2 ⋅ 3 2 х = 5 ⋅ 6 х ,⎛2⎞⎝3⎠х⎛3⎞⎝2⎠разделим обехчасти уравнения на 6 х ≠ 0, 3 ⎜ ⎟ + 2 ⎜ ⎟ = 5 .х22⎛2⎞– 5 = 0, 3у2 – 5у + 2 = 0, у1 = 1, у2 = ;⎜ ⎟ = у, 3у +у3⎝3⎠хх2⎛2⎞⎛2⎞⎜ ⎟ = 1 или ⎜ ⎟ = , х1 = 0; х2 = 1;333⎝ ⎠⎝ ⎠163хх⎛ 8 ⎞⎛ 18 ⎞⎛2⎞⎟ + ⎜ ⎟ = 2, ⎜ ⎟2727⎝ ⎠⎝ ⎠⎝3⎠б) 8 х + 18 х = 2 ⋅ 27 х , ⎜3хх⎛2⎞+ ⎜ ⎟ − 2 = 0.⎝3⎠х⎛2⎞33⎜ ⎟ = у, у + у – 2 = 0, у – 1 + у – 1 = 0,⎝3⎠( у − 1)( у 2 + у + 1) + ( у − 1) = 0, ( у − 1)( у 2 + у + 1 + 1) = 0 ,х⎛2⎞( у −1)(у 2 + у + 2) = 0, у = 1 или у 2 + у + 2 = 0 – нет корней; ⎜ ⎟ =1, х=0;⎝3⎠в) 2 ⋅ 25 х − 5 ⋅10 х + 2 ⋅ 4 х = 0, 2 ⋅ 5 2 х − 5 ⋅ 2 х ⋅ 5 х + 2 ⋅ 2 2 х = 0 ,ххх⎛5⎞⎛5⎞2⋅⎜ ⎟ − 5⋅⎜ ⎟ + 2 = 0 ;⎝2⎠⎝2⎠⎛5⎞⎝2⎠хили ⎜ ⎟ =11, х = log 5 2 или х1 = log 5 , х2 = – log 5 2 ;2222хх2х⎛3⎞+ 2⋅⎜ ⎟⎝2⎠хг) 3 ⋅16 + 2 ⋅ 81 = 5 ⋅ 36 , 3 ⋅ 2⎛2⎞3⋅⎜ ⎟⎝3⎠х1 ⎛5⎞⎛5⎞⎜ ⎟ = у, 2 у 2 − 5 у + 2 = 0, у1 = ; ⎜ ⎟ = 22 ⎝2⎠⎝2⎠2х4х+ 2⋅3⎛2⎞−5 = 0 .
⎜ ⎟⎝3⎠3у2 – 5у + 2 = 0, у1 = 1, у2 =4х= 5⋅ 22х= у, 3 у +2 ⎛2⎞, ⎜ ⎟3 ⎝3⎠22х⋅32х,2−5 = 0,у2х⎛2⎞⎝3⎠2х= 1 или ⎜ ⎟23= ,2х = 0, х = 0; 2х = 1, х = 0,5.167. а) 3 232х⋅1б) 5 sinх+ 322= 11, 3 292xх −2= 11, 3 2х11 ⋅ 9, 3211=− 25 cos x = 0, 5 sin2xх+х32 х 32 х−= 11, 3 239= 3 2 , 2 х = 2,х⎛ 1 1⎞⎜1 + − ⎟ = 11 ,⎝ 3 9⎠х = 1, х = 1 ;= 5 2 cos x , sin 2 x = 2 cos x ,1 − cos 2 x − 2 cos x = 0 ; cosx = y, y 2 + 2 y − 1 = 0 ,у1 = –1 –2 , у2 = –1 +2 ; cosx = –1 –cosx = –1 + 2 , х = ± arccos(–1 +в) 2 siny+2x+ 2 cos2x= 3, 2 sin2x+ 21−sin22 – не имеет смысла;2 ) + 2πn, n ∈ Z;x= 3.
; 2 sin2− 3 = 0, y 2 − 3 y + 2 = 0, y1 = 1, y 2 = 2; 2 siny22xx= у,= 1, 2 sin2x=2,sin2x = 0, sin2x = 1, x1 = πk, k ∈ Z; sinx = 1 или sinx = –1,164ππ+ 2πn, n ∈ Z ; x3 = − + 2πl , l ∈ Z .22ππ+ 2πn, n ∈ Z ; − + 2πl , l ∈ Z .Ответ: πk, k ∈ Z;22х2 =1112112г) 3 ⋅ 9 x + 6 x = 2 ⋅ 4 x , 3 ⋅ 3 x + 3 x ⋅ 2 x − 2 ⋅ 2 x = 0 ,1112⎛3⎞x⎛2⎞x⎛3⎞x3 ⋅ ⎜ ⎟ + −2 ⋅ ⎜ ⎟ = 0 . ⎜ ⎟ = у, 3 y + 1 − = 0 ,y⎝2⎠⎝2⎠⎝3⎠12 ⎛3⎞x3 y + y − 2 = 0, y1 = −1, y 2 = ; ⎜ ⎟ = −1 – не имеет смысла;3 ⎝2⎠21−11⎛3⎞x ⎛3⎞= −1, x = −1.⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ,x⎝2⎠⎝2⎠168. а)⎛1⎞≥⎜ ⎟32 ⎝ 2 ⎠163+ х,24522≥ 2 −3− х , 21,5 ≥ 2 −3− х ; у = 2 t – возрастает,1,5 ≥ –3 – х, х ≥ –3 – 1,5, х ≥ – 4,5.б) 3х2 + х< 10lg 9, 3х2 + х< 9, 3х2 + хОтвет: х ∈ [–4,5; ∞;).2< 3 ; y = 3 t – возрастает,x 2 + x < 2, x 2 + x − 2 < 0, ( x − 1)( x + 2) < 0, x ∈ (−2; 1) ;⎛ 1 ⎞2 −3 xв) 3 ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟⎝ 3⎠1<3− ( 2 −3 x )1−1+ x12 < 3 − 2 , 31,5 x < 3 − 2 ;, 3⋅3 2< 3 −2 , 3943y = 3t – возрастает, 1,5x < −2, x < − ;г) 4 х2+ х −11> 5log 5 4 , 4 х2+ х −11> 4;y = 4t – возрастает,x2 + x − 11 > 1, x2 + x − 12 > 0, ( x + 4)(x − 3) > 0, x ∈ (−∞; − 4) U (3; ∞) .169.
а) 0,04 х − 26 ⋅ 0,2 х + 25 ≤ 0, (0,2) 2 х − 26 ⋅ 0,2 х + 25 ≤ 0 ;0,2 х = у, то у 2 − 26 у + 25 ≤ 0, ( у − 25)( у − 1) ≤ 0, 1 ≤ у ≤ 25 ;1 ≤ 0,2 х ≤ 25, 5 o ≤ 5 − х ≤ 5 2 ;у = 5 t – возрастает, 0 ≤ –х ≤ 2.Ответ: х ∈ [–2; 0].1313б) 9 х − 84 ⋅ 3 − 2 х + > 0, 3 2 x − 84 ⋅ 3 − 2 x + > 0 . 3 2 x = у,y−84 1+ > 0,y 3y > 0, 3 y 2 + y − 252 > 0,1653( y +28)( y − 9) > 03y<−2828или y > 9, 32х < –– не имеет смысла;33или 32х > 9, 32х > 32; у = 3t – возрастает , 2x > 2, x > 1;в) 4 х − 10 ⋅ 2 х + 16 < 0 .
2х = у, y > 0, y2 – 10y + 16 < 0,(y – 2)(y – 8) < 0, 2 < y < 8, 2 < 2x < 8, 21 < 2x < 23 ; y = 2t –возрастает, 1 < x < 3;⎛1⎞⎝2⎠г) 22 х +1 + ⎜ ⎟y+2 х +11 5− ≥ 0,y 2−5≥ 0 . 2 2 х +1 = у, y > 0,212 y 2 − 5 y + 2 ≥ 0, ( y − 2)( y − ) ≥ 0,2y≤1или21или 22x+1 ≥ 2, 22x+1 ≤ 2−1; y = 2t – возрастает,22 x + 1 ≤ −1, 2 x ≤ −2, x ≤ −1; 2 x + 1 ≥ 1, 2 x ≥ 0, x ≥ 0 .y ≥ 2, 22 x +1 ≤Ответ: x ∈ (−∞; − 1] U [0; ∞) .170. а) x 2 ⋅ 3 x − 3 x +1 ≤ 0, 3 x ( x 2 − 3) ≤ 0, 3 x > 0 при всех х, значит,[x 2 − 3 ≤ 0, − 3 ≤ x ≤ 3 .б) 3,7x + 2 x −15x−4]Ответ: х ∈ − 3 ; 3 .2> 1; y = 3,7 t – возрастает,x 2 + 2 x − 15>0,x−4( x + 5)(x − 3)> 0, ( x + 5)(x − 3)(x − 4) > 0 .
Ответ: x ∈ (−5; 3) U ( 4; ∞) .x−4в) x 2 ⋅ 5 x − 5 2+ x < 0, 5 x ( x 2 − 25) < 0, 5 x > 0 при любых х, значит,х2 – 25 < 0, –5 < x < 5;г) 2 x + 2 − 2 x +3 − 2 x + 4 > 5 x +1 , 4 ⋅ 2 x − 8 ⋅ 2 x − 16 ⋅ 2 x > 5 ⋅ 5 x − 25 ⋅ 5 x ,− 25 ⋅ 5 x , − 20 ⋅ 2 x > −20 ⋅ 5 x , 2 x < 5 x , разделим обе части неравенства⎛2⎞⎝5⎠x⎛2⎞⎝5⎠tна 5 x > 0. ⎜ ⎟ < 1; y = ⎜ ⎟ – убывает, x ≥ 0.15.
Логарифмические уравнения и неравенства171. а) log 32 x = 4 − 3 log 3 x, x > 0 ; log 3 x = у,у2 + 3у – 4 = 0, у1 = –4, у2 = 1; log 3 x = –4 или log 3 x = 1;х1 =1661, х2 = 3;81б)1⎧2 x − 1 > 0,lg(2 x − 1) = 1 − lg x − 9 ; ⎨2⎩ x − 9 > 0;1⎧⎪x > ,⎨2 x > 9;⎪⎩ x > 9;111lg(2x − 1) + lg(x − 9) = 1, lg(2x − 1)(x − 9) = 1, lg(2x − 10)(x − 9) = 2 ,222(2 x − 10)( x − 9) = 100 , 2 x 2 − 18 x − 10 x + 90 − 100 = 0 ,2 x 2 − 28 x − 10 = 0 ,x 2 − 14 x − 5 = 0 ,удовлетворяет ОДЗ.x1 = 7 + 3 6 , x 2 = 7 − 3 6 – неОтвет: 7 + 3 6 .x − 5 > 0,x>5;в) log 3 x − 5 + log 3 2 x − 3 = 1; ⎧⎨2⎩ x − 3 > 0;111log3 ( x − 5) + log3 (2 x − 3) = 1, log3 ( x − 5)(2 x − 3) = 1 ,222log 3 ( x − 5)(2 x − 3) = 2, ( x − 5)(2 x − 3) = 9 , 2x2 − 3x − 10x + 15 − 9 = 0 ,2 x 2 − 13 x + 6 = 0, x1 = 6, x 2 =1– не удовлетворяет ОДЗ.2г) 3 lg 2 ( x − 1) − 10 lg( x − 1) + 3 = 0; x > 1 .
lg( x − 1) = у,3у2 – 10у + 3 = 0, у1 = 3, у2 =11; lg( x − 1) =3 или lg( x − 1) = ,33х – 1 = 1000, х = 1001; х – 1 = 3 10 , х = 1 + 3 10 .Ответ: 1 + 3 10 ; 1001.172. а) 2 log 5 (lg x) = log 5 (10 − 9 lg x), x > 0, lg x > 0, 10 − 9 lg x > 0 , т.е.x > 1, lg x <10; log5 (lg x) 2 = log5 (10 − 9 lg x ), (lg x) 2 = 10 − 9 lg x .9lgx = y, у2 + 9у – 10 = 0, у = –10 или у = 1; lgx = –10, x = 10–10 – неудовлетворяет условиям; lgx = 1, x = 10.б) lg(3 x + x − 17) = x lg 30 − x , lg(3 x + x − 17) = lg 30 x − x ,lg(3x + x − 17) − lg 30 x = − x , lg3 x + x − 1730x=110 x3 x + x − 1730 x= lg 10 − x ,, 3 x + x − 17 = 3 x , x − 17 = 0 , х = 17.⎧lg x > 0,⎪в) 2 lg(lg x) = lg(3 − 2 lg x) ; ⎨3 − 2 lg x > 0,⎪⎩ x > 0;⎧⎪ x > 1,⎪⎨ x > 0,⎪3⎪lg x < ;2⎩167lg(lg x) 2 = lg(3 − 2 lg x), (lg x)2 = 3 − 2 lg x . lgx = –3 илиlgx = 1, х1 = 0,001 – не удовлетворяет ОДЗ; х2 = 10.г) x − x lg 5 = lg(2 x + x − 3), x − lg 5 x = lg(2 x + x − 3),x = lg(2 x + x − 3) + lg 5 x , lg 10 x = lg((2 x + x − 3) ⋅ 5 x ) ,10х= (2 x +x − 3) 5х, 10х=10х+х⋅5х–3⋅5х, х⋅5х–3⋅5х=0, 5х(х–3)=0, 5х>0, х = 3.173.
а) log2 x +4= 5, х ≠ 1, x > 0, log 2 x + 4 log 2 x = 5, 5 log 2 x = 5 ,log x 2log 2 x = 1, х = 2.б) log3 x + logxx − log 1 x = 6, х ≠ 1, x > 0, log3 x + 2 + log3 x = 6 ,32 log 3 x = 4, log 3 x = 2, х = 9.в) 2 log3x + log x11= 3, х ≠ 1, x > 0, 4 log3 x += 3,3log 1 x311= 3 . log 3 x = у, 4 y − − 3 = 0 ,4 log 3 x −log 3 xy4у2 – 3у – 1 = 0, у1 = 1, у2 = −−х = 3; х = 314, х=143.11; log 3 x = 1 или log 3 x = − ,44Ответ: 3;143.1x + 4 log x 2 x + log 8 x = 16, 2 log 2 x + 2 + log 2 x = 16 , х ≠ 1,3114 ⋅ 3х > 0, 2 log 2 x = 14, log 2 x =, log 2 x = 6, x = 2 6 , х = 64.37г) log2174. а) x log 2 x − 2 = 8, x > 0, x ≠ 1 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
