kolmogorov-gdz-11-№326-580 и 1-281 (991264), страница 14
Текст из файла (страница 14)
а) может, например: у = х2, у =c;б) может линейная функция, например у = aх; в) не может.94. а) y =в) y =1x; б) y = (3) + ( x 3 − x | x |) ;+|x| |x|x2x4 − 1+x3 − xx4 − 1; г) y = ( x 4 + 8) + (2 x5 − 3x) .12395. а) y (− x) = 5 ⋅ (− x) 6 − 2(− x) 2 − 3 = 5 x 6 − 2 x 2 − 3 = y ( x) – четная;б) y(− x) = 4(− x) 5 − 2(− x) 3 + (− x) = −4 x 5 + 2 x 3 − x = − y( x) – нечетная;в) y (− x) =3=3= y ( x) – четная;(− x) + 1 x + 122г) y (− x) = −== − y ( x) – нечетная.3x3(− x)229. Тригонометрические функции96. а) cos2x ≠ 0, x ≠π+ πn, n ∈ Z ;2б) 1 + 2 sin 2 x ≠ 0, sin 2 x ≠ −x ≠ ( −1) k +1π πk+,12 233 cosx − ≠ 0,2в)1⎛ π⎞, 2 x ≠ (−1) k ⎜ − ⎟ + πk , k ∈ Z ,2⎝ 6⎠k∈Z ;333π3 cosx ≠ , cosx ≠, cosx ≠, x ≠ ± + 2πn, n∈Z ;2262 3xxxx≠ 0, sin ≠ 0 или cos ≠ 0 ,2222x πk≠+ πn, k ∈ Z , x = πk , k ∈ Z .22г) sin ⋅ cossin x ≥ 0,97.
а) sin x ⋅ cos x ≥ 0, ⎧⎨sin x ≤ 0,или ⎧⎨⎩cos x ≥ 0Ответ: x ∈ [ πn;π+ πn],2⎩cos x ≤ 0.n∈Z .⎧ x ≥ 0,⎪б) ⎨n – целые положительные числа.π⎪ x ≠ + πn.⎩2в) sin 2 x − cos 2 x ≥ 0, cos 2 x ≤ 0,124π3π+ 2πn ≤ 2 x ≤+ 2πn ,22π3π+ πn ≤ x ≤+ πn, n ∈ Z .44π3πОтвет: x ∈ [ + πn;+ πn], n ∈ Z .44n ∈ Z,sin x ≥ 0,г) ⎧⎨⎩cos x ≥ 0.Ответ: x ∈ [2πn;π+ πn; ], n ∈ Z .298. а) E ( y ) : y ∈ [−2; 4];в) E ( y ) : y ∈ [−1; 5];б) E ( y ) : y ∈ (−2; 2);г) E ( y ) : y ∈ [−1; 1] .1299.
а) E ( y ) : y ∈ [ ; + ∞);б) y = 1 − cos 4 x , –1 ≤ cos4x ≤ 0, 0 < y ≤ 2 , E ( y ) : y ∈ [0; 2 ];в) y =−33==−cos x − 1 1 − cos x33, E ( y ) : y ∈ [−∞; − ];x22 sin21a + ≥ 2 , E ( y ) : y ∈ ( −∞; − 2] U [ 2; + ∞ ) .a2г) y = tgx + ctgx = tgx +1,tgx100. а) у > 0 при −ππ π+ 2πn < x + < + 2πn,24 2n∈Z ,3ππ+ 2πn < x < + 2πn, n ∈ Z ;44ππ 3πy < 0 при+ 2πn < x + <+ 2πn, n ∈ Z ,242π5π+ 2πn < x <+ 2πn, n ∈ Z .443ππОтвет: y > 0 при x ∈ (− + 2πn; + 2πn), n ∈ Z ;44π5πy < 0 при x ∈ ( + 2πn;+ 2πn), n ∈ Z .44ππб) y < 0, если 1 – tg3x < 0, tg3x >1 при + πn < 3x < + 2πn, n ∈ Z ,42π πnπ πn+<x< +, n ∈ Z ; y > 0 , если 1 – tg3x > 0,12 36 3−125π πn5π πnπ5π+ πn < 3x < + πn, n ∈ Z , + < x < + , n∈Z .246 312 3⎛ π πn π πn ⎞Ответ: y < 0 при x ∈ ⎜ + ; + ⎟, n ∈ Z ;⎝ 12 3 6 3 ⎠tg3x < 1 при⎛π⎝6y > 0 при x ∈ ⎜ +πn 5π πn ⎞;+ ⎟, n ∈ Z .3 12 3 ⎠x2,<22x ⎛ 5πππ⎞⎛ 5π⎞∈⎜−+ 2πn; + 2πn ⎟ , x ∈ ⎜ −+ 4πn;+ 4πn ⎟ ;2 ⎝ 442⎠⎝ 2⎠в) y > 0, если siny < 0, если sin3πx2⎞⎛π, x ∈ ⎜ + 4πk;+ 4πk ⎟, k , n ∈ Z .>2222⎠⎝г) у > 0, если 1 + 2 cos 2 x > 0, 2 cos 2 x > −1, cos 2 x > −2π2π+ 2πn < 2 x <+ 2πn, n ∈ Z ,331,2ππ+ πn < x < + πn, n ∈ Z ;331у < 0, если 1 + 2 cos 2 x < 0, 2 cos 2 x < −1, cos 2 x < − ,22π4ππ2π+ 2πn < 2 x <+ 2πn, n ∈ Z ,+ πn < x <+ 2πn, n ∈ Z .3333ππОтвет: у > 0 при x ∈ (− + πn; + πn), n ∈ Z , y < 033π2πпри x ∈( + πn; + πn), n∈Z .33−x2−x2101.
а) y (− x) = tg (−3x) − ctg(− ) = −tg 3x + ctg = − y( x) – нечетная;б) y (− x) =sin( − x) ⋅ cos 2 (− x) − sin x ⋅ cos 2 x= y ( x) – четная;=(− x)−x⎛ (− x)3 − (− x) ⎞⎛ 3⎞⎛ 3⎞⎟ = sin⎜ − x + x ⎟ = sin⎜ − x − x ⎟ =⎜ (− x)2 − 1 ⎟⎜ x2 − 1 ⎟⎜ x2 − 1 ⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠в) y(−x) = sin⎜= − sinx3 − x= − y ( x) – нечетная;x 2 −1sin(− x)− sin xsin x− cos(− x) =− cos x =− cos x = y( x) – четная.г) y(− x) =−x−xx126102. а) Периодическая c периодом T =2π; б) непериодическая;5в) периодическая, период T = 2π ;22г) y = sin x + 2 sin x ⋅ cos x + cos x = 1 + sin 2x , периодическая, T = π .103.π6а) Производная функции: cos( x − ) = y ′ππ πcos( x − ) = 0 , x − = + πn,66 22πx=+ πn, n ∈ Z .3y′ > 0 на (−π+ 2πn;3n∈Z ,2π+ 2πn),3n ∈ Z , значит,на этом промежутке функция возрастает;2π5π+ 2πn;+ 2πn), n ∈ Z , значит, функция на этом проме332πжутке убывает.
В x =+ 2πn, n ∈ Z , производная меняет знак с35π«+» на «–», это точка максимума; в x = + 2πn, n ∈ Z , производ3y′<0 на (ная меняет знак с «–» на «+», значит, это точка минимума.π32π+ 2πn], n ∈ Z ;35π⎡ 2π⎤убывает на ⎢ + 2πn; + 2πn⎥, n ∈ Z ;3⎣ 3⎦2π5πx max =+ 2πn, n ∈ Z , x min =+ 2πn, n ∈ Z .33x− cos− 2(sin x)2, y ′ = 0.=б) y′ =(1 − cos x) 2 2 sin 3 xОтвет: возрастает на [− + 2πn;xcos = 0,22x = π + 2πn, x ≠ 2πk ,k, n ∈ Z ;y ′ > 0 x ∈ (π + 2πn; 2π + 2πn), n ∈ Zy ′ < 0 x ∈ (2πn; π + 2πn), n ∈ Z.
Таким образом,функция возрастает при x ∈ [π + 2πn; 2π + 2πn), функция убывает при x ∈ [2πk; π + 2πk), следовательно, в точке x = π + 2πnпроизводная меняет знак с «–» на «+», значит, это точка минимума, а точки максимума нет, т.к. x ≠ 2πk .127π3π3π3в) y ′ = 0,5(− sin( − 2 x)) ⋅ (−2) = sin( − 2 x) = − sin( 2 x − ) ,π− sin(2 x − ) = 0,3π2 x − = πn, n ∈ Z ,3π2 x = + πn, n ∈ Z ,3π πnx= +, n ∈ Z . у′(х) > 0 при6 27π2π7π⎡ 2π⎤+ πn ⎥( + πn;+ πn) , n ∈ Z, значит, при x ∈ ⎢ + πn;636⎣ 3⎦π2πфункция возрастает, у′ < 0 на ( + πn;+ πn), n ∈ Z , значит,632π⎡π⎤+ πn ⎥ функция убывает;при x ∈ ⎢ + πn;63⎣⎦π5πx max = + πn, n ∈ Z ; x min =+ πn, n ∈ Z .63г) y ′ =12(−2 sin x ⋅ cos x) = −2 1 − sin xФункция возрастает на⎡⎢ πn;⎣sin 2 x.2 | cos x |⎛π⎤⎜ + πn; π + πn ⎥ , n ∈ Z ,⎦⎝2убывает наπ⎞+ πn ⎟, n ∈ Z , хmax = πn, n ∈ Z; точек минимума нет.2⎠104.
a) так как y = cos2x – sin2x + sin2x, y = cos2x, ymax = 1, ymin = 0;б) ymin = –3, ymax = 5; в) ymin = – 2 , ymax = 2 ;г) ymin = 1, ymax не существует.105. а) y = 2sin2128x= 1 – cosx;2б) y = 1 − cos 2 x =| sin x | ;в) y = 1+ 2 cos 2 x ;⎛π⎞3⎠г) y = sin⎜ x − ⎟ − 2 .⎝106.а) y =| x | sin x,xпри х>0 у = sinx,при х < 0 у = –sinx;б)y = (sin x − cos x) 2 = 1 − sin 2 x ;ππ+ 2πn;+ 2πn), n ∈ Z ,22π3πy = 2 cos x ; при x ∈ ( + 2πn;+ 2πn), n ∈ Z , у = 0;22в) y = cos x + | cos x | , при x ∈ (−129г) y = sinx ⋅ ctgx = sin x ⋅cos x= cos x, x ≠ πn, n ∈ Z .sin x107.a) y =1π⎞⎡ 1 1⎤⎛+ sin ⎜ x − ⎟ . 1) D ( y ) : x ∈ (−∞; ∞) .
2) E ( y ) : y ∈ ⎢− ; 1 ⎥ .26⎠⎣ 2 2⎦⎝11π⎞π⎞⎛⎛+ sin ⎜ x − ⎟ = 0, sin ⎜ x − ⎟ = − ,26⎠6⎠2⎝⎝ππππ⎛⎞x − = (−1) k ⎜ − ⎟ + πk , k ∈ Z , x = (−1) k +1 + + πk , k ∈ Z .66 6⎝ 6⎠3) Нули:4) Промежутки знакопостоянства:ππ 7π+ 2πm < x − <+ 2πm, m ∈ Z ,6664π5πππ2πm < x <+ 2πm, m ∈ Z ; y < 0, − + 2πm < x − < − + 2πm, m ∈ Z ,3666π2π−+ 2πm < x < + 2πm, m ∈ Z .36y > 0,−5) Функция ни четная, ни нечетная.π6⎛π⎞6⎠6) y ′ = cos( x − ), cos⎜ x − ⎟ = 0 ,x−x=−⎝π π= + πn, n ∈ Z ,6 2π+ πn,32π⎡ π⎤n ∈ Z ; возрастает на ⎢− + 2πn;+ 2πn⎥, n∈Z ,3⎣ 3⎦⎡ 2π5π⎤убывает на ⎢ + 2πn;+ 2πn⎥, n ∈ Z ,3⎦⎣ 31305π2π+ 2πn, n ∈ Z , xmin =+ 2πn,33хmax =n∈Z .7) Периодичная с периодом 2π.12⎛x⎝2π⎞3⎠б) y = tg⎜ − ⎟ .1) D( y) :x π π− ≠ + πm, m ∈ Z ,2 3 2x 5π5π≠+ πm, m ∈ Z , x ≠+ 2πm, m ∈ Z ,2 632) Е(у): у ∈ (–∞; ∞).3) Нули:x π⎛ x π⎞− = πk , k ∈ Z ,tg⎜ − ⎟ = 0,2 3⎝2 3⎠2πx=+ 2πk , k ∈ Z .31 ⎛ x π⎞tg⎜ − ⎟ = 0,2 ⎝2 3⎠x π= + πk , k ∈ Z ,2 34) Промежутки знакопостоянства:2π5π+ 2πn;+ 2πn), n ∈ Z ,33π2πу < 0, x ∈ (− + 2πn;+ 2πn), n ∈ Z ,63у > 0, x ∈ (5) Функция ни четная, ни нечетная.126) y ′ = ⋅111⋅ =>02xπ⎛⎞⎛ x π⎞cos 2 ⎜ − ⎟4 cos 2 ⎜ − ⎟⎝2 3⎠⎝2 3⎠при всех х ∈ D(y), функция возрастает, экстремумов нет.7) Периодичная, период 2π.131π412π412в) у = 1 + cos( − x) = 1 + cos( x − ) .1) D(y): x ∈ (–∞; ∞).⎡11⎤2) E(y): y ∈ ⎢ ; 1 ⎥ .2⎦⎣23) Нулей нет.4) у > 0 при всех х ∈ D(y).5) Ни четная, ни нечетная.6) Периодичная, период 2π.7)1 ⎛π⎞π⎞⎛sin ⎜ x − ⎟, sin ⎜ x − ⎟ = 0 ,2 ⎝4⎠4⎠⎝ππx − = πn, n ∈ Z .
x = + πn, n ∈ Z ,44π⎡ 3π⎤возрастает на ⎢− + 2πn; + 2πn⎥ ,4⎣ 4⎦y′ = −⎡π5π⎤n ∈ Z, убывает на ⎢ + 2πn;+ 2πn⎥, n ∈ Z ,4⎦⎣4x max =π5π+ 2πn, x min =+ 2πn .44г) у = 1 – tg2x.1) D ( y ) : 2 x ≠ππ πk+ πk , k ∈ Z , x ≠ +, k∈Z24 22) Е(у): у ∈ (–∞; ∞).3) Нули: tg2x = 1, 2 x =ππ πm+ πm, m ∈ Z , x = +, m∈Z .4824) Промежутки знакопостоянства:π2π+ πn < 2 x <4ππ πnπ πn+ πn, n ∈ Z , − +< x < + , n∈Z ,44 28 2ππ πnπ πn+ πn, n ∈ Z ,+< x < + , n∈Z .28 24 2у > 0, − + πn < 2x <у < 0,5) Ни четная, ни нечетная.1326) Периодичная с периодом7) y ′ = −2cos 2 2 xπ.2<0при всех х ∈ D(y),функция убывает.108.
Поскольку функции y1 = sinxи у2 = х3 нечетные, то10у1(х0) = –у1(–х0) и у2(х0) = –у2(–х0); значит, у1(–х0) = у2(–х0),т.е. x0 – корень уравнения.11ππ1 π3π 1 1= 2 sin( π + − ) = 2 sin( + ), <π 44 π π3π 11значит, 2 sin( + ) > 0, sin( π + )4 ππ1б) 3π < π 2 < 3 π ,411ππ− cos(π + ) sin =π44ππ 3π 1,+ < π,4 4 π1> cos(π + ) ;π109.
а) sin(π + ) − cos(π + ) = 2 (sin(π + ) cosзначит, tgπ2 < 1,а ctgπ2 > 1, тогдаtgπ2 < ctgπ2;31π4в) tg2 < –1, ctg2 > –1, значит, tg2 < ctg2;г) sin1 >22, cos1 <, значит, sin1 > cos1.22110.а) sinα + cosα > 1, если 0 < α <π; sinα + cosα > 1, sinα + 1− sin2 α > 1,21− sin2 α > 1 – sinα; возведем в квадрат обе части:1331 – sin2α > (1 –sinα)2, 1 – sin2α > 1 – 2sinα + sin2α,–sin2α > –2sinα + sin2α, –sin2α > sinα (sinα – 2),π–sinα > sinα –2, 1 > sinα, что верно на (0; );2б) Так как |sinα| ≤ 1 <π, то cos(sinα) > 0.2111.a) у1 = sinx и у2 = –х.Ответ: 0.б) у1 = tgx; y2 =2 cosx,πππ.− < x < .
Ответ:224г)у1 = cosxи y2 = 1 – x2.Ответ: 0.134в) у1 = tgx; y2 = x.Ответ: 0.10. Степенная, показательнаяи логарифмическая функции112. a) 16x − x3 ≥ 0, x(16 − x2 ) ≥ 0, x(4 − x)(4 + x) ≥ 0 .Ответ: х ∈ (–∞; –4] и [0; 4].б) х3 + 8 > 0, х3 > –8, х > –2.Ответ: х ∈ (–2; ∞).в) 5 – х –5x − x 2 − 44≥ 0,≥ 0,xх(–х2 + 5х – 4)х ≥ 0,(–х2 + 5х – 4)х ≥ 0, x(х – 1)( х – 4) ≤ 0.Ответ: х ∈ (–∞; 0) U [1; 4].г) х2 + х – 20 > 0, (х – 4)(х + 5) > 0.Ответ: х ∈ (–∞; –5) U (4; ∞).13113.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
