kolmogorov-gdz-11-№326-580 и 1-281 (991264), страница 10
Текст из файла (страница 10)
а) нет; б) нет; в) нет; г) да, т.к. x ≥ 0 и min f ( x) = f (0) = 0x≥044. Понятие о дифференциальных уравнениях568. а) y`(t) = -6sin(2t + π), y``(t) = -12cos(2t + π);-12cos(2t + π) = -12⋅cos(2t + π);⎛1⎝2π⎞3⎠⎛1⎝2π⎞3⎠б) y`(t ) = 2 cos⎜ t − ⎟, y``(t ) = − sin⎜ t − ⎟;π⎞π⎞1⎛1⎛1− sin ⎜ t − ⎟ = − ⋅ 4 sin ⎜ t − ⎟ ;3⎠3⎠4⎝2⎝283в) y`(t) = -8sin4t, y``(t) = -32cos4t; –32cos4t + 32⋅cos4t = 0;г) y`( t ) =−11cos(0,1t + 1), y ``(t ) = −sin(0,1t + 1);303001 11sin(0,1t + 1) +⋅ sin(0,1t + 1) = 0 .100 3300569. y`(x) = 15e3x, 15e3x = 3⋅5⋅е3x.570. y`(x) = -14e-2x, -14e-2x = -2⋅7e-2x.571. y`(x) = -21e-7x, -21e-7x = -7⋅3e-7x.572.
а) очевидно, что y = Asinkx – решение;y`(x) = A⋅kcoskx, y``(x) = -Ak2sinkx;y`` + 25y = 0 ⇒ -Ak2sinkx + 25Asinkx = 0, sinkx(25 – k2) = 0; k = ±5;y(x) = Asin5x, где А – const;б) очевидно, что y = Asinkx – решение;1A2y``+4 y = 0 ⇒ − k 2 sin kx + 4A sin kx = 0, sin kx(36 − k ) = 0, k = ±6;99y(x) = Asin6x, А – const;в) очевидно, что y = Asinkx – решение;4y`` + 16y = 0 ⇒ -4Ak2sinkx + 16Asinkx = 0, sinkx(4 – k2) = 0, k = ±2;y(x) = Asin2x; А – const;г) очевидно, что y = Asinkx – решение;y``= −11⎛1⎞1y ⇒ − Ak 2 sin kx + A sin kx = 0, sin kx⎜ − k 2 ⎟ = 0, k = ± ;2444⎝⎠y( x ) = A sinkx2; A – const.573.
а) x` = -4sin(2t – 1), x`` = -8cos(2y – 1);-8cos(2t – 1) + 4⋅2cos(2t – 1) = 0 или x`` + 4x = 0;π⎞7⎠⎛⎛π⎞7⎠б) x`= −0,64 sin⎜ 0,1t + ⎟, x``= −0,064 cos⎜ 0,1t + ⎟;⎝⎝π⎞π⎞⎛⎛− 0,064 cos⎜ 0,1t + ⎟ + 0,01 ⋅ 6,4 cos⎜ 0,1t + ⎟ = 07⎠7⎠⎝⎝или x`` + 0,01x = 0;⎛π⎞4⎠⎛π⎞4⎠в) x = 4 sin⎜ 3t − ⎟; x′ = 12 cos⎜ 3t − ⎟;⎝⎝π⎞π⎞π⎞⎛⎛⎛x``= −36 sin ⎜ 3t − ⎟; − 36 sin ⎜ 3t − ⎟ + 9 ⋅ 4 sin ⎜ 3t − ⎟ = 04⎠4⎠4⎠⎝⎝⎝или x`` + 9x = 0;г) x` = 0,213cos(0,3t – 0,7), x`` = -0,0639sin(0,3t – 0,7);-0,0639sin(0,3t – 0,7) + 0,09⋅0,071sin(0,3t – 0,7)=0 или x`` + 0,09x = 0.84574.а) Пусть x(t) = x1(t) + x2(t) = A1cos(ω1t + ϕ1) + A2cos(ω2t + ϕ2) –периодическая функция с наименьшим положительным периодом Т.x(t + T) = A1cos(ω1t + ω1T +ϕ1) + A2cos(ω2t + ω2T + ϕ2) ==A1cos(ω1t + ϕ1) + A2cos(ω2t + ϕ2) = x(t).Если это выполнено при любых t и ϕ, тоω1 k⎡ω1T = 2πk,⎢ω2T = 2πn, n и k ∈ Z; ⇒ ω = r = r – рациональное число при n и k ∈ Z.⎣2575.
Зависимость массы вещества от времени: m(t) = m0e-kt.1m= kt , k = (ln m − ln n); период полураспадаntmрадия Т находим из условия: = me − kT ,2r ln 2ln 2ln 2=или T =.T=1km− ln nln(ln m − ln n)tПо условию n = me-kt, ln576. m1 = m0e − kt ⇒ t = 1 ln m0 ;km1k=mT13ln 2, t=⋅ ln= 9 мин.ln 0 =T0,125ln 2 m1 ln 21577. m1 = m0e − kt , t = T ⋅ ln m0 ; при m0 = 10, Т = 1 ч.: t =ln 10 = 3,3 ч.;m1ln 2m1=m0ln 2t−e T ,ln 2m11000− ln 2если t = 100 лет и Т = 1500 лет, то m1 = e 1500 ≈ 0,64.m0578.T′ = –k(T – T1), T1 = 0.Решение этого уравнения T(t) = T0e-kt, где k > 0 – const.Для первого тела T (1) ( t ) = T0(1) e − k1t , для второго тела T (1) ( t ) = T0(1) e −k 2 t ;через время t1 температура 1 тела была T1(1) , температура 2 тела T1( 2) :T1(1) = T0(1)e− k1t1 , k1t1 = lnT0(1)T1(1), k1 =( 2)(1)1 T1 T0( 2)( 2) − k tln (1) : T1 = T0 e 2 1 , k 2 = ln 0( 2) ;t1 T1t1 T1момент времени t, когда температуры тел сравняются, находим изусловияT (1) (t ) = T ( 2) (t ) : T0(1)e−(1)t T0lnt1 T1(1)= T0( 2)e−( 2)t T0lnt1 T1( 2 ),T0(1)T0( 2)=( 2)T (1) ⎤t ⎡ T− ⎢ln 0( 2 ) − ln 0(1) ⎥t1 ⎢⎣ T1T1 ⎥⎦e,85T ( 2)= ln 0(1)T0T ( 2) ⋅ T (1)t⋅ ln 0(1) 1( 2)t1T0 ⋅ T1при t1 = 10 мин, T0(1)ln, t = t1lnT0(1);T0( 2)T1(1)T0(1)T1( 2)( 2)= 200°C, T0T0( 2)( 2)= 100°C, T1(1)= 80°C, T1= 100°C ;1ln 22= 10≈ 14,75 мин.t = 10 ⋅ln 1,6⎛ 1 10 ⎞ln⎜ ⋅ ⎟⎝2 8 ⎠ln579.См.
задачу 578.T (1) (t ) = T0(1)e−(1)t T0ln (1)t1 T1и T ( 2) (t ) = T0( 2)e∆T = T (1) (t ) − T ( 2) (t ) = eT0(1)при ∆T = 25°C ,25(1)t Tln T0(1) − ln 0(1)t1 T1= T0( 2)= 100°C ,−( 2)t T0ln ( 2 )t1 T1−eln T0( 2 ) −T1(1)t 10− ln108= 100e2t10(0,8);( 2)t T0lnt1 T1( 2 )= 80°C ,T1( 2)( )⎝( )⎠(( )tln 0,5≈ 31,08 мин.= log 0,8 0,5; t = 10 log 0,8 0,5 = 10ln 0,810580.53Т.к.
v′(t ) = −kv(t ) = − v(t ) , и v(0) = v0, то5− t3 ; при v05− tv(3) = 500 ⋅ e 386= 64°C ; t1 = 10 мин;t 100− lntt1064 ; 25 = 100 ⋅ 0,8− 100e10 − 100 ⋅ 0,64 10 ;2ttt⎛⎞= 0,5;⎜⎟10 + 0,25 = 0, ⎜ 0,8 10 − 0,5 ⎟ = 0; 0,8 10− (0,8)v(t ) = v0e;= 30км, t = 3 мин;ч= 500e − 5 ≈ 3,4м.мин)ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ§ 1.
Действительные числа1. Рациональные и иррациональные числа1. а) да; б) нет; в) нет; г) да2.Обозначим три последовательных натуральных числа: а; а + 1; а + 2.Сумма: а+а+1+а+2=3а+3 – делится на три, поскольку каждое слагаемоеделится на три. Произведение этих чисел равно а(а+1)(а +2). Одно изэтих чисел делится на два, другое на три, значит, их произведениеделится на шесть.3. а) 52365; б) 52344.4.Число 1056 – 1 содержит пятьдесят пять девяток, значит, оно делитсяна 3, 9. На 11 не делится.
Поскольку, попробовав поделить на 11столбиком, получим99 99...........9 |14424439999..........55 разрядов119909...90914243 1154 разряда999909 − остаток5. 35.6.abсократима на число d, d – делитель ab,a+bзначит, существует общий делитель с или у чисел a и d, или у чисел bи d. Пусть с – делитель a и d, тогда a + b делится на с,aследовательно, b делится на с, значит, дробьсократима на с1, чтоbпротиворечит условию. В случае, если с – делитель у чисел b и d,рассуждения аналогичные.7.Предположим, числоa, при а ≥ 0,а) |a| = ⎧⎨⎩− а, при а < 0;⎧− a, при a < 0,| − a |= ⎨поэтому, | a |=| − a | ;⎩а, при а ≥ 0;87х, при х ≥ 0,б) |x| = ⎧⎨⎩− х, при х < 0;для х ≥ 0 получим|x| = x, для х < 0 получим х < |x|;⎧⎪ х 2 , если х ≥ 0,но х 2 = (− х) 2 ; значит, | x | 2 = x 2 .⎪⎩(− х )2 , если х < 0;в) |x|2 = ⎨8.5 10 5 ⋅ 3 + 10 ⋅ 2112,5 + 3+35633а);== 2 3 ==5⋅3 + 4⋅ 25 414232,5 − 0,4(−3 )2,5 ++62 3332,75 : 1,1 + 317107 71 153 : 10 + 0,175 :: 10 +:+2013232034020=== 6 ==3 ;б)3 11 517 28 ⋅ 517 31631 −1 ⋅−−4 17 564 17 ⋅ 564 2414в) (1,4 – 3,5 : 1 ) : 2,4 + 3,4 : 2⎛7⎝5= ⎜ −1⎛ 7 7 ⋅ 4 ⎞ 12 17 ⋅ 8= ⎜ −=+⎟:8⎝ 5 2 ⋅ 5 ⎠ 5 5 ⋅ 1714 ⎞ 12 87 ⋅ 5 8 −7 ⋅ 5 + 8 ⋅ 12 96 − 35 611+ ====1 ;⎟: + = −5⎠ 5 55 ⋅ 12 55 ⋅ 126060601 1⋅1+ 232 0,25== = 0,75 .г)4646 46−6−1 + 2,2 ⋅ 10231+9.0,52 − 0,5а)220,4 + 0,1 + 2 ⋅ 0,4 ⋅ 0,1=0,5(0,5 − 1)(0,4 + 0,1)2=(−0,5) ⋅ 0,50,52= −1 ;1,22 − 1,82(1,2 + 1,8)(1,2 − 1,8)3 ⋅ (−0,6)3⋅ 5== 2,5 ;==1,2 ⋅ 0,2 − 1,2 ⋅ 0,81,2(0,2 − 0,8)1,2 ⋅ (−0,6)6б)0,62 + 0,12 − 2 ⋅ 0,6 ⋅ 0,1в)1,5 − 1,52⎛ 3⎞⎝ 5⎠2⎛ 5⎝ 8=⎞ 5⎠ 8(0,6 − 0,1) 20,520,51==−=− ;1,5(1 − 1,5) 1,5 ⋅ (−0,5)1,53⎛8⎞⎝5⎠2⎛ 5⎝ 82⎞ 85⎠ 58⎛85⎝558г) ⎜1 ⎟ − ⎜ 4 − 2,4 ⎟ : = ⎜ ⎟ − ⎜ 4 − 2 ⎟ ⋅ = ⎜ − 4 +=888⎛5⎞ 8 ⎛ 5⎞⎜ 4 − 4 ⎟ = ⋅ ⎜ − ⎟ = −1 .5⎝8⎠ 5 ⎝ 8⎠12 ⎞⎟ =5⎠10.а) 3,82 ± 0,1 – верные цифры – 3 и 8;б) 1,980 ⋅ 104 ± 0,001 ⋅ 104 – верные цифры 1 и 9;в) 7,891 ± 0,1 – верные цифры – 7, 9 и 1;г) 2,8 ⋅ 104 ± 0,3 ⋅ 104 – верных цифр нет.11.а) 1,0025 = (1 + 0,002)5 ≈ 1 + 5 ⋅ 0,002 = 1 + 0,01 = 1,01;б) 0,9974 = (1 – 0,003)4 ≈ 1 – 4 ⋅ 0,003 = 1 – 0,012 = 0,988;в) 2,0043 = 8(1 + 0,002)3 ≈ 8(1 + 0,006) = 8,048;⎛г) 3,015 = 35 ⎜1 +⎝12.13.550,01 ⎞1 ⎞1 ⎞⎛⎛⎟ = 243 ⋅ ⎜1 +⎟ ≈ 243 ⋅ ⎜1 + ⎟ = 247,05.3 ⎠⎝ 60 ⎠⎝ 300 ⎠а) 15,3; б) 30,7; в) 43,7; г) 3,0.13а) 2,(3) = 2 ;б) 0,(66) =2;3в) 1,0(8) = 18;9013г) 1,(33) = 1 .14.а) Пусть5=pp, p ∈ Z, q ∈N,– несократимая дробь;qqpp2>0, поэтому p и q натуральные числа.
Тогда 5= 2 , то есть р2=5q2,qqоткуда следует, что р2. Таким образом, и р делится на 5, или р=5k.Подставляя р = 5k в равенство р2 = 5q2, получим 25k2 = 5q2, q2=5k2.pПолучим, что и q делится на 5. Это противоречит тому, что–qнесократима, значит предположение неверно и 5 иррационально.б) 2 7рациональное, если 7 – число рациональное. Пустьmmm7 = , m ∈ Z, n ∈ N,– несократимая дробь;> 0, поэтомуnnnможно считать, что m и n – натуральные числа. Тогда 7=m2, то естьn2m2=7n2, значит, что m2, следовательно, и m делятся на 7, то естьm=7k.
Подставляя m=7k в равенство m2=7n2, получаем 49k2=7n2, n2=7k2.89mсократима на 7.nПредположение неверно, 2 7 – иррационально.Отсюда видно, что и n делится на 7. Дробь5 + 1 = r(где r – рационально), тогдав) Пустьрационально, это противоречит иррациональности7 1=7 не рационально, т.к.33г)5 = r – 15.7 иррационально.15. а) то a + b и a ⋅ b числа рациональные.б) то a + b также число иррациональное (кроме случая a = –b), а a ⋅ bможет быть как рациональным, так и иррациональным.
(Например:2 ⋅ 7 = 14 – иррациональное, 2 ⋅ 2 – рациональное).в) a + b – иррациональное число, a ⋅ b – иррациональное число.16. а)в)3+2+5≈ 1,42 + 0,55 = 1,97; б)95≈ 1,72 + 0,83 = 2,55;9г)2≈ 2,24 – 0,29 = 1,95 ;71≈ 2,45 – 0,09 = 2,36.6−115−17.
а) –2 – рациональное, –1,7 – рациональное,π– иррациональное,33 – иррациональное;б) – 5 – иррациональное, –1 – рациональное,5– рациональное,6log23 – иррациональное;в) –75– иррациональное, 0,(2) – рациональное, – рациональное;62г) –1,(6) – рациональное, lg100 – рациональное, е – иррациональное,10 – иррациональное.18. а) 4 < 7 и lg147>< 0, поэтому;112lglg105 + 2 >0,17 > 0;22б) ( 5 + 2) = 5 + 4 5 + 4 = 9 + 4 5 > 17, ( 17 )2 = 17, значит,5 + 2 > 17 ;в) log37 > 1, log73 =9011< 1, значит, log37 >; log37 > log73;log 3 7log 7 3г) ( 7 + 3)2 = 7 + 6 7 + 9 = 16 + 6 7 > 31.
( 31 )2 = 31, значит,7 + 3 > 31.7 + 3 > 31.19.(а) 15log3 10 = 15log15 10б) ( 2 +( 30 –( 2 +)1log15 3= 10log3 15 , значит, 15log 3 10 = 10log 3 5 ;3 )2 = 2 + 2 6 + 3 = 5 + 2 6 < 10,3 )2 = 30 – 2 90 + 3 = 33 – 2 90 > 13, значит,3 ) < ( 30 –3 );в) 7,98 – 2π ≈ 7,98 –6,28 ≈ 1,70;⎡πππ< 2,1 < π,< 1,7 < π; поскольку22⎤на ⎢ ; π⎥ sinx – убывающая функция, то sin2,1 < sin7,98;⎣2 ⎦г) ( 8 +25 ) = 8 + 2 40 + 5 = 13 + 4 10 , ( 3 += 3 + 2 30 + 10 = 13 + 2 30 , значит, 8 +210 ) =5 >3 +10 .20.а)3+ 23− 2−2 6 =( 3 + 2 )2− 2 6 = 3+ 2 6 + 2− 2 6 = 5 ;3− 2б) ( 2 + 1)2 + (1 − 2)2 − ( 7 + 1)( 7 −1) = 2 + 2 2 + 1 + 1 − 2 2 + 2 − 7 + 1 = 0 ;в)7+ 57− 5− 35 =( 7 + 5 )2− 35 = 6 + 35 − 35 = 6 ;2г) (3 18 + 2 8 + 4 50 ) : 2 = (9 2 + 4 2 + 20 2 ) : 2 = 9+4+20 = 33.2.
Проценты. Пропорция21.320 ⋅ 2,5=8;100100 ⋅ 75= 3000 ;б) 2,5%–75, 100%–х; х =2,52,8 ⋅1001в) 84–100%, 2,8–х; х == 3 %;84335 ⋅140г) 35–100%, х–140%; х == 49 .100а) 320–100%, х–2,5%; х =9122.За 1987 год выпуск продукции составил 104%, за следующий годприрост продукции составил 8% от выпущенного за 1 год. За двагода прирост составил 8,32%+4%=12,32%, значит, среднийежегодный прирост продукции в течение двух лет составил12,32%:2 = 6,16%.23.Пусть I число–5х, II число–3х, III число–20х и IV число–20х⋅0,15=3х.По условию 5х + 20х + 3х – 3х = 375, х = 15; I число–75; II число–45;III число–300, IV число–45.24.Пусть условная цена на овощи в начале осенне-зимнего периодасоставила 1, тогда в конце этого периода она составила 1,25условных единиц.1,25–100%, 1–х%; х =1 ⋅100= 80% .
Поэтому, цену весной нужно1,25снизить на 20%.25. а) 12 :112 ⋅ 5 15405 1=х: , х=, х= , х=;86 86833б) х : (–0,3) = 0,15 : 1,5, х : (–0,3)= 0,1, х = (–0,3) ⋅ 0,1, х = –0,03;в)0,13 2613 ⋅1011=, 26х =, х=;=1х100⋅33⋅2⋅106033г)2,5(−6,2)2,5 ⋅ 6,2311х−6,2, х=, х = − = −1 .==−2,5151515303026. а)х−2 6= , х(х – 2) = 15, х2 – 2х –15 = 0, х1 = 5, х2 = –3; (–3; 5);2,5 хб)2х4,8, х = 4х + 20, –3х = 20, х = –6 ;=х + 5 1,23в)х − 3 6,5, (х – 3)3 = (х – 2)13, 10х = 17, х = 1,7;=х − 2 1,5г)4− х5=, (4 – х)(х + 3) = 6, – х2 + х + 12 = 6,1,2х+3х2 –х – 6 = 0, х1 = –2, х2 = 3;92(–2; 3).27.а) ∆АВС ∞ ∆ЕВК – по двум углам,АВ ВС, ЕВ = 22,5 –18 = 4,5,=ЕВ ВК22,5 154,5 ⋅15=, ВК == 3,4,5ВК22,5КС = 15 – 3 = 12;б) k =k2 =АВ7,57,5= 3,==ВЕ 7,5 − 5 2,5S ABC72= 9,= 9, S∆BEK = 8, S∆АЕКС = 72 – 8 = 64.S BEKS ∆BEK3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
