kolmogorov-gdz-11-№326-580 и 1-281 (991264)
Текст из файла
А.С. Рылов,А.А. СапожниковДомашняя работапо алгебреи началам анализаза 11 класск учебнику «Алгебра и начала анализа: Учеб.для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений /А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин идр.;Под ред. А.Н. Колмогорова, — 12-е изд. —М.: Просвещение, 2002 г.»ГЛАВА III. ПЕРВООБРАЗНАЯ И ИНТЕГРАЛ§ 7.
Первообразная26. Определение первообразной326. а) F(x) = x5 – первообразная для f(x) = 5x4 на R;б) F(x) = x-3 – первообразная для f(x) = -3x-4 на (0;∞);17в) F(x) = x7 – первообразная для f(x) = x6 на R;г) F(x) = −1 -6x – первообразная для f(x) = x-7 на (0;∞).6327. а) F′(x) = –cosx ≠ cosx, F(x) = 3 – sinx на R;б) F′(x) = (5 – x4)′ = –4x3 для любого x∈R, таким образомF(x) = 5 – x4 является первообразной для f(x) = -4x3 на R;в) F′(x) = (cosx – 4)′ = -sinx для любого x∈R, таким образомF(x) = cosx – 4 является первообразной для f(x) = -sinx на R;г) F′(x) = (x-2 + 2)′ = −2x3для любого x∈(0;∞), таким образомF(x) = x2 + 2 не является первообразной для f(x) =12 x3на (0;∞).328.
а) F(x) = 3,5x + 10, т.к. F′(x) = f(x) для любого x∈R;б) F(x) = sinx + 3, т.к. F′(x) = f(x) для любого x∈R;в) F(x) = x2 + 2, т.к. F′(x) = f(x) для любого x∈R;г) F(x) = 8, т.к. F′(x) = f(x) для любого x∈R.329. а) F(x) = cosx + 4, т.к. F`(x) = f(x) для любого x∈R;12б) F(x) = 3 – x2, т.к. F′(x) = f(x) для любого x∈R;в) F(x) = 4(5 – x), т.к. F′(x) = f(x) для любого x∈R;г) F(x) = 1 – sinx, т.к.
F′(x) = f(x) для любого x∈R.330. а) F′(x) = (sin2x)′ = 2sinxcosx = sin2x для любого x∈R,1212б) F′(x) = (cos2x)′ = (-2)sin2x = -sin2x для любого x∈R,в) F′(x) = (sin3x)′ = 3cos3x для любого x∈R;′x⎞2⎠⎛г) F′(x) = ⎜ 3 + tg ⎟ =⎝⎛12 cos 2′x⎞2⎠x2для любого x∈(-π;π).12331. а) F′(x) = ⎜ 2 x + cos ⎟ = 2 − sin⎝2x= f ( x ) для любого x∈R;2′x⎠4 − x2б) F′(x) = ⎛⎜ 4 − x 2 ⎞⎟ = −⎝= f ( x) для любого x∈(-2;2);′2⎛ 1 ⎞= − 3 для любого x∈(0;∞);⎟2⎟x⎝x ⎠′⎛ 3⎞′3 1⎜ 2⎟г) F′(x) = 4 x x = 4⎜ x ⎟ = 4 ⋅ x 2 = 6 x = f ( x) для любого x∈(0;∞).2⎜ ⎟⎝ ⎠в) F′(x) = ⎜⎜( )332. а) F(x) = 1 x2 + 2x + 8, т.к. F′(x) = f(x) для любого x∈R;2⎛x2x⎞2⎠2б) F(x) = x + cos x + 2, т.к. f(x) = ⎜ sin − cos ⎟ = 1 − sin x на R и⎝F′(x)=1 – sinx для любого x∈R;в) F(x) = x – 12, т.к. f(x) = sin2x + cos2x = 1 на R и F′(x) = f(x) для любого x∈R;г) F(x) = x3 + x = 5, т.к.
F′(x) = f(x) для любого x∈R.333. а) F1(x)=x2+7 и F2(x)=x2+13 – первообразные для f(x)=2x на R;б) F1(x) = x + cosx + 12 и F2(x) = x + cosx – 1 – первообразные дляf(x) = 1 – sinx на R;1313в) F1(x) = x3 +3 и F2(x) = x3 + 4 – первообразные для f(x)=x2 на R;г) F1(x) = sinx + 2x + 2 и F2(x) = sinx + 2x – 7 – первообразные дляf(x) = cosx + 2 на R.334. а) g(x) = −f′(x) = −б) f(x) =2x311– первообразная для f(x) = 2 на (-∞;0) ∪ (0;∞),xx= h(x);x2– cosx – первообразная для h(x) = x + sinx на R,2h′(x) = 1 + cosx = g(x);в) h(x) =x2+ 2 x – первообразная для g(x)=x + 2 на R, g′(x)=1=f(x);2г) g(x) = 3x + 2cosx – первообразная для f(x) = 3 – 2sinx на R,f′(x) = –2cosx = h(x).327. Основное свойство первообразной335.
a) f(x) = 2 – x4;б) f(x) = x + cosx;1F(x) = 2x – x 5 + C ;5F(x) = x 2 + sin x + C ;12в) f(x) = 4x; F(x) = 2x2 + C;г) f(x) = -3; F(x) = -3x + C.1336. а) f(x) = x6; F(x) = x7 + C ; б) f(x) =1в) f(x)=1–x4337. а) f(x) =F(x) = −б) f(x) =F(x)=x +1x2713x, F(x) = −1x3− 2 ; F(x) = −53+ C ; г) f(x) = x ; F(x) =12x2− 2x + C ;1 6x +C .6⎛1⎞1+ C; F ⎜ ⎟ = −2 + C = −12, C = −10;x⎝2⎠1− 10 ;x1cos 2 x⎛π⎞, F ( x) = tgx + C ; F ⎜ ⎟ = 1 + C = 0, C = −1; F(x) = tgx – 1;⎝4⎠13x413+ C ; F (−1) = + C = 2, C = 1 ; F( x ) = x 4 + 1 ;44444в) f(x) = x3, F(x) =г) f(x) = sinx, F(x) = -cosx + C; F(-π) = 1 + C, C = -2;F(x) = -cos-2 – первообразная для f(x) = sinx; F(-π) = -1.338.
а) F′(x) = (sinx)′ - (xcosx)′ = cosx – cosx + xsinx = f(x);F(x) = sinx – xcosx + C – общая первообразная;′б) F′(x) = ⎛⎜ x 2 + 1 ⎞⎟ =⎠⎝() ( )1−′1 2x + 1 2 ⋅ x2 =2x2x +1= f ( x);F(x) = x 2 + 1 + C – общая первообразная;в) F′(x) = (cosx)′ + (xsinx)′ = -sinx + sinx + xcosx = xcosx = f(x);F(x) = cosx + xsinx + C – общая первообразная;′⎛1⎞⎝x⎠г) F′(x) = x′ − ⎜ ⎟ = 1 +1x2=1 + x2x2= f ( x);1+ C - общая первообразная.x⎛ π⎞339. а) f(x) = 2cosx, F(x) = 2sinx + C; F ⎜ − ⎟ = −2 + C = 1, C = 3;⎝ 2⎠F ( x) = x −F(x) = 2sinx + 3 – искомая первообразная;б) f(x) = 1 – x2, F(x) = x –F(x) = x –41 3x +3 –31 3x + C;3F(-3) = –3 + 9+С=6 + C = 9, C = 3;искомая первообразная;π⎞3⎠⎛⎛π⎞3⎠⎛ 2π ⎞⎟ = − cosπ + C = 1 + C = −1, C = −2;⎝ 3⎠в) f(x)=sin ⎜ x + ⎟, F(x) = −cos⎜ x + ⎟ + C; F⎜⎝⎝π⎞⎛F(x) = -cos ⎜ x + ⎟ − 2 – искомая первообразная;3⎠⎝1г) f(x) =4x1F(x) = −3x, F ( x) = −+5382⎛1⎞+ C ; F ⎜ ⎟ = − + C = 3, C = 5 ;333x⎝2⎠132– искомая первообразная.3340.
а) f(x) = 2 – sinx, F1(x) = 2x + cosx и F2(x) = 2x + cosx + C;F2(x) – F1(x) = C = 4; F1(x) = 2x + cosx и F2(x) = 2x + cosx + 4 – двеискомые первообразные;б) f(x)=1+tg2x =1cos 2 x, F1 ( x) = tgx + C и F2 ( x) = tgx; F1(x)–F2(x)=C=1;F1(x) = tgx + 1 и F2 = tgx – две искомые первообразные;xx− cos 2 = − cos x, F1 ( x ) = − sin x и F2(x) = -sinx + C;221F2(x) – F1(x) = C = ;2в) f(x) = sin 2F1(x) = -sinx и F2(x) = -sinx + 0,5 – две искомые первообразные;1г) f(x) =xF1(x) = 2x, F1 ( x) = 2 x и F2 ( x ) = 2 x + C ; F2(x) – F1(x) = C = 2;и F2 ( x) = 2 x + 2 – две искомые первообразные.341. а) a(t) = -2t, v(t) = -t2 + C1, x(t) = −v(1) = -1 + C1 = 2, C1 = 3; x(t) = −1313t3+ C1t + C2 ;3t3+ 3t + C2 ,3x(1) = − + 3 + C2 = 4, C2 = 1 ; x(t) = −t34+ 3t + ;33′⎛π⎞⎝2⎠б) a(t) = sint, v(t) = -cost + C1, x(t) = -sint + C1t + C2; v⎜ ⎟ = C1 = 1;⎛π⎞⎝2⎠x(t) = -sint + t+C2, x⎜ ⎟ = −1 +πππ+ C2 = 2, C2 = 3 − ; x(t)=–sint+t+3– ;222в) a(t) = 6t, v(t) = 3t2 + C1, x(t) = t3 + C1t + C2; v(0) = C1 = 1;x(t) = t3 + t + C2, x(0) = C2 = 3; x(t) = t3 + t + 3;г) a(t) = cost, v(t) = sint + C1, x(t) = -cost + C1t + C2; v(π) = C1 = 0;x(t) = -cost + C2, x(π) = 1 + C2 = 1, C2 = 0; x(t) = -cost.528.
Три правила нахождения первообразных342. а) f(x) = 2 – x3 +1x3; поэтомуx41−+ C – общий вид первообразных для f(x);4 2 x22б) f(x) = x – 5 + cos x;xF(x) = 2x –x21++ sin x + C – общий вид первообразных для f(x);2 2x41в) f(x) = 2 − sin x;x1F(x) = − + cos x + C – общий вид первообразных для f(x);xF(x) =г) f(x) = 5x2 – 1;53F(x) = x3 − x + C – общий вид первообразных для f(x).1 16 2343.
а) f(x) = (2x – 3)5; F(x) = ⋅ (2 x − 3)6 + C =1(2 x − 3)6 + C – об12щий вид первообразных для f(x);12б) f(x) = 3sin2x; F(x) = ⋅ (−3) ⋅ cos 2x + C = −1,5 cos 2x + C — общий видпервообразных для f(x);1 15 8в) f(x) = (4 – 5x)7; F(x) = − ⋅ (4 − 5x)8 + C = −1(4 − 5x)8 + C – общий вид40первообразных для f(x);13π⎞4⎠⎛x⎝313⎛x⎝3π⎞4⎠⎛x⎝3π⎞4⎠г) f(x) = − cos⎜ − ⎟; F(x) = − ⋅ 3 ⋅ sin ⎜ − ⎟ + C = − sin ⎜ − ⎟ + C –общий вид первообразных для f(x).344. а) f(x) =3( 4 − 15 x)4; F(x) = −⎞1 ⎛⎜11⎟+C =⋅ −+C –3⎜⎟15 ⎝ (4 − 15x) ⎠15(4 − 15x)3общий вид первообразных для f(x);б) f(x) =2;⎛π⎞cos 2 ⎜ − x ⎟⎝3⎠⎛π⎝3⎞F(x) = -2tg ⎜ − x ⎟ + C – общий вид первообразных для f(x);6⎠в) f(x) =4(3 x − 1) 2; F(x) =первообразных для f(x);1 ⎛4 ⎞4⎟+C = −+ C – общий вид⋅⎜−3 ⎜⎝ (3 x − 1) ⎟⎠3(3x − 1)21;+x5 cos2 (3 x − 1)11F(x)= 4 + tg (3x − 1) + C – общий вид первообразных для f(x).32x11345.
а) f(x) = 4x + 2 ; F(x) = 2x2 – + C – общая первообразная;xx12F(-1)=2+1+C = 4, C = 1; F(x) = 2x – + 1 – искомая первообразная;xг) f(x) = −б) f(x) = x3 + 2; F(x)= x44+ 2x + C– общая первообразная;F(2) = 4+4+C=15, C = 7; F(x) = x44+ 2x + 7 –искомая первообразная;в) f(x) = 1 – 2x; F(x) = x – x2 + C – общая первообразная;F(3) = 3–9+C = 2, C = 8; F(x) = x – x2 + 8 – искомая первообразная;г) f(x) =1x3− 10 x 4 + 3; F(x)=−12x2− 2x5 + 3x + C – общая первообразная;11– 2 + 3 + C = 5; С = 4 ;2215F(x) = − 2 − 2 x + 3x + 4,5 – искомая первообразная.2x⎛π⎞346. а) f(x) = 1 – cos3x + 2sin ⎜ − x ⎟;3⎝⎠1⎛π⎞F(x) = x – sin 3x + 2 cos⎜ − x ⎟ + C – общая первообразная;3⎝3⎠112б) f(x) = 2 +− 3x ;sin 4 x2−x1F(x) = − ctg 4 x − 2 2 − x − x 3 + C – общая первообразная;42− 3 sin( 4 − x) + 2 x;в) f(x) =2cos (3 x + 1)2F(x) = tg (3 x + 1) − 3 cos(4 − x) + x 2 + C – общая первообразная;313⎛π⎞+− 2 cos⎜ − x ⎟;г) f(x) =(3 − 2 x ) 35x − 2⎝4⎠F(1) = −F(x) =14(3 − 2 x )2+6⎛π⎞5 x − 2 + 2 sin ⎜ − x ⎟ + C – общая первообразная.5⎝4⎠7347.
а) f(x) = 2x + 1; F(x) = x2 + x + C – общая первообразная;F(0) = 0: C = 0; F(x) = x2 + x – искомая первообразная;б) f(x) = 3x2 – 2x; F(x) = x3 – x2 + C – общая первообразнаяF(1)=4:1–1 + C = 4, C = 4; F(x) = x3 – x2 + 4 – искомая первообразная;12в) f(x) = x + 2; F(x) = x2 + 2x + C – общая первообразная;121211– искомая первообразная;2213г) f(x) = -x2 + 3x; F(x) = − x3 + x 2 + C – общая первообразная;3213181F(2)=–1: − + 6 + C = −1, C = −4 ; F(x)= − x3 + x 2 − 4 – искомая32333F(1)=3: +2+C=3, C= ; F(x)= x 2 + 2 x +первообразная.348. v(t) = t2 + 2t – 1, т.к.
v(t) x′(t), тоt3t3+ t 2 − t + C ; x(0)=0:C=0; x(t) = + t 2 − t – искомая функция.33tt349. v(t) = 2cos ; x(t) = 4sin + C ;22πt⎛π⎞x⎜ ⎟ = 4 : 4 sin + C = 4, 2 + С = 4, C = 2; x(t) = 4sin + 2 .26⎝3⎠x(t) =350. a(t) = 12t2 + 4; т.к. а(t) = v′(t), то v(t) = 4t3 + 4t + C1;v(1) = 10:4+4+C1=10; С1 = 2; v(t) = 4t3 + 4t + 2; x(t) = t4 + 2t2 + 2t + C2;x(1)=12:1+2+2+C2=12, C2=7; x(t)=t4 + 2t2 + 2t + 7 – искомая функция.351. а) F = ma, т.о. a(t) =F (t ) 6 − 9t3== 2 − 3t; v(t) = 2t – t 2 + C1;2m332v(1) = 2 – +C1 = 4; C1=3,5; x(t)=t2 −t3+ 3,5t + C2 ; x(1)=–5·1–0,5+3,5+2t3+ 3,5t − 9 – искомая функция;2F (t ) 14 sin tб) F = ma, т.о.
a(t) === 2 sin t ; v(t) = -2cost + C1;m7+C2 = -5, C2 = -9; x(t) = t2 −V(π) = 2 + C1 = 2,C1 = 0; v(t) = -2cost; x(t) = -2sint + C2; x(π) = C2 = 3;x(t) = -2sint + 3 – искомая функция;F (t ) 25 cos t== 5 cos t ;m5⎛π⎞v(t) = 5sint + C1; v⎜ ⎟ = 5 + C1 = 2, C1 = −3;⎝2⎠в) F= ma, т.о. a(t) =8⎛π⎞⎝2⎠v(t) = 5sint – 3; x(t) = -5cost – 3t + C2; x⎜ ⎟ = −3π3π+ C2 = 4, C2 = 4 +;223π– искомая функция;2F (t ) 8t + 8г) F = ma, т.о. a(t)=== 2t + 2;m4x(t) = -5cost – 3t + 4 +v(t)= t2 + 2t + C1; v(2) = 4 + 4 + C1 = 9, C1= 1;v(t) = t2 + 2t + 1 = (t + 1)2; x(t) =x(t) =(t + 1)33(t + 1)3 + C ; x(2) = 9 + C = 7, C = -2;2223− 2 – искомая функция.352. а) f(x) = 3x2 – 2x + 4; F(x) = x3 – x2 + 4x + C – общая первообразная F1(-1) = 1: -1 – 1 – 4 + C1 = 1, C1 = 7;F1(x) = x3 – x2 + 4x + 7 – первая первообразная;F2(0) = 3: C2 = 3; F2(x) = x3 – x2 + 4x + 3 – вторая первообразная,F1(x) – F2(x) = 4 – следовательно график F1(x) расположен вышеграфика F2(x);б) f(x)=4x – 6x2 + 1; F(x) = 2x2 – 2x3 + x + C – общая первообразнаяF1(0) = 2: C1 = 2; F1(x) = 2x2 – 2x3 + x + 2 – первая первообразная,F2(1) = 3: 2 – 2 + 1 + C2 = 3, C2 = 2;F2(x) = 2x2 – 2x3 + x + 2 – вторая первообразная т.к.F2(x)–F1(x)=0–отсюда следует, что графики F1(x) и F2(x) совпадают;в) f(x) = 4x – x3; F(x) = 2x2 −x4+ C – общая первообразная;4F1(2)=1:2⋅4–4+C1=1, C1=–3; F1(x)=2x2 −x4− 3 –первая первообразная;4F2(-2) = 3: 2⋅4 – 4 + C2 = 3, C2 = –1;F2(x) = 2x2 −x4− 1 – вторая первообразная;4F1(x) – F2(x) = -2 – таким образом график F1(x) расположен нижеграфика F2(x);г) f(x) = (2x + 1)2; F(x) =(2 x + 1)3 + C – общая первообразная;61255F1(-3) = -1: −+ C1 = −1, C1 = 19 ;66F1(x) =(2 x + 1)35+ 19 – первая первообразная;6691 2715+ C2 = 6 , C2 = 1 ;3 636F2(1) = 6 :F2(x) =( 2 x + 1)35+ 1 – вторая первообразная;66F1(x) – F2(x) = 18 – отсюда следует, что график F1(x) расположенвыше графика F2(x).§ 8.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
