kolmogorov-gdz-11-№326-580 и 1-281 (991264), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Интеграл29. Площадь криволинейной трапецииx333; S = Y(3) – Y(0) = = 9;33⎛π⎞⎛π⎞б) y = cosx; Y =sinx; S = Y ⎜ ⎟ − Y (0) = sin⎜ ⎟ − sin 0 = 1;⎝2⎠⎝2⎠353. а) y(x) = x2; Y(x) =в) y = sinx; Y(x) = –cosx; S = Y(π) – Y(0) = 1 + 1 = 2;11– первообразная для функции y = 2 ;xx11S = y(2) – y(1) = − − (−1) = .22г) y(x) = −354. а) Y(x) =x4+ x - первообразная для функции y = x3 + 1;4S = Y(2) – Y(0) =24+ 2 = 6;4б) Y(x) = x – 2cosx – первообразная для функции y = 1 + 2sinx;⎛π⎞⎝2⎠S = Y ⎜ ⎟ − Y (0) =в) Y(x) = 4x −πππ− 2 cos + 2 cos 0 = + 2;222x3– первообразная для функции y = 4 – x2;3⎛⎜⎝y = 0 при x = ±2, поэтому S = Y(2) – Y(-2) = 2 ⋅ ⎜ 4 ⋅ 2 −1223 ⎞⎟2= 10 ;⎟3 ⎠3г) Y(x) = x + sin x – первообразная для функции y = 1 + 1 cos x;2π⎞⎛ π⎞⎛π 1⎛π⎞S = Y ⎜ ⎟ − Y ⎜ − ⎟ = 2⎜ + sin ⎟ = 1 + π.22222⎠⎝ ⎠⎝⎠⎝355.
а) Y(x) =10( x + 2)3– первообразная для функции y = (x + 2)2;3y=0 при x=2; x = –2 при y = 4, поэтому S =Y(0) – Y(-2) =б) Y(x) = −23 82= =2 ;33 311+ x – первообразная для функции y =+ 1;x +1( x + 1) 2S = Y(2) – Y(0) = −12+ 2 +1= 2 ;2 +13x3– первообразная для функции y = 2x – x2; функция381y = 0 при x = 0, x = 2, поэтому S = Y(2) – Y(0) = 4 − = 1 ;33в) Y(x) = x2 −г) Y(x) = −( x − 1) 4– первообразная для функции y = -(x – 1)3;4ограничена на [0;1] → S = Y(1) – Y(0) =( −1) 4 1= .443π ⎞3π ⎞⎛⎟;⎟; а) Y(x) = -3cos ⎜ x +4 ⎠4 ⎠⎝3π⎛ 3π ⎞⎛ 3π ⎞S = Y ⎜ ⎟ − Y ⎜ − ⎟ = −3 cos + 3 cos 0 = 3; y = 2cos2x; б) y(x) = sin2;2⎝ 4 ⎠⎝ 4 ⎠⎛356. y = 3sin ⎜ x +⎝⎛π⎞⎝4⎠π⎞4⎠π⎛ π⎞11− sin ⎜ − ⎟ = 2; y = sin x − ; в)y(x) = -cosx − x ;2222⎝⎝⎠5π 5ππ ππ⎛ 5π ⎞⎛π⎞S = y⎜ ⎟ − y⎜ ⎟ = − cos −+ cos += 3 − ; y = 1 – cosx;6 126 123⎝ 6 ⎠⎝6⎠πππππ⎛⎞⎛ π⎞⎛ ⎞г) y(x) = x – sinx; S = y⎜ ⎟ − y⎜ − ⎟ = − sin + + sin⎜ − ⎟ = π − 2.2 2⎝2⎠⎝ 2⎠ 2⎝ 2⎠⎛S = y⎜ ⎟ − y⎜ − ⎟ = sin30.
Формула Ньютона – Лейбница357.x5 22321333| =+ ==6 ;а) ∫ x 4 dx =55 −1 5 5 5−13в) ∫ x3dx =1x 4 3 81 1 80|=− == 20;4 1 4 4 4π2π200π2б) ∫ cos xdx = sin x | = sin − sin 0 == 1 − 0 = 1;π4г) ∫π4dx0 cos2x= tgx | = tg0π− tg 0 =4= 1 − 0 = 1.2358. а) ∫dx1 ( 2 x + 1)2=−2 1111|= −= ;2( 2 x + 1) 1 6 10 1511πx2б) ∫ 3 cos dx = 6 sin010в) ∫1dxx2=−xππ| = 6 sin − 6 sin 0 = 6 − 0 = 6;2021 101| = − + 1 = 0,9;10x1π2π211⎛π⎞ ⎛ 1⎞1г) ∫ sin 2 xdx = − cos 2 x | = − ⎜ cos π − cos ⎟ = ⎜ − ⎟( −1) = .22222π⎝⎠⎝⎠π44π4π411π359. а) ∫ 2 = tgx | = tg = 1; ∫ dx = x | = 1; т.к.
1 = 1, то4000 cos x0dxπ3π3π3б) ∫ sin xdx = − cos x | = − cos + cos 0 = 1 −0014∫1161416π2π2в) ∫ cos xdx = sin x | = sin00π2π− sin 0 = 1;2333∫∫1dx0 cos2x= ∫ dx;01 1= ;2 21 1111 1=2 x | =2−2= 1 − = ; т.к. = , то4162 22 21xdxπ4x 2 dx =0x333π3140116∫ sin xdx = ∫dxx;3∫ = 1 − 0 = 1;03т.к. 1 = 1, то ∫ cos xdx = ∫ x 2dx;0101200г) ∫ (2 x + 1)dx = x 2 + x | = 2; ∫ ( x3 − 1)dx =012002x4− x | = 4 − 2 = 2; т.к. 2 = 2, то403∫ (2 x + 1)dx = ∫ ( x − 1)dx.360.
а) SACODE = SACO + SOED = 2SOEDт.к. функция y = x4 четная;1SACODE = 2 ∫ x 4 dx = 2 ⋅0x5 1 2|= ;5 0 5б) SAFEO = SACDE – SACOED = 2⋅–122 83= =1 ;55 54413в) SAOCDЕ = ∫ ( x 2 − 4 x + 5)dx = x3 − 2 x 2 + 5 x | =001364281− 32 + 20 ==9 ;333322= 10 .33г) SAED = SAOCD – SAOCDE = 20 – 9 =361.1а) SABO = ∫ (1 − x3 )dx = x −0x4 11 3| =1− = ;4 04 41414б) SABC=SADEC–SBDEC=2– + 2 – = 4 – 2 == ∫ (2 − x3 )dx − 2 ⋅ 1 =2 x −x4 1| − 2 = 2;4 −1−1x3−1в) S ABCD = ∫ (− x 2 − 4 x)dx = − − 2 x 2 | =3−3−31⎞⎛1= ⎜ − 2 ⎟ + (−9 + 18) = 7 ;3⎠⎝3г) S ABCDE = S ANMDE − S BNMC =−111= ∫ (− x 2 − 4 x)dx − 2 = 7 − 2 = 5 ;33−32πx 2πx⎛⎛ π ⎞⎞2ππ1362. а) ∫ sin dx = −3 cos | = −3⎜⎜ cos − cos⎜ ⎟ ⎟⎟ = 6 cos = 6 ⋅ = 3;33 −π332⎝ 3 ⎠⎠⎝−π2б) ∫dx−22x + 56dxг) ∫−2x+323πdx−20cos 2= 2 x + 5 | = 9 − 1 = 2; в)∫x9= 9tgx 3ππ| = 9tg = 9 3 ;9 036= 2 x + 3 | = 2( 9 − 1) = 4.−2132π3 ⎛363.
а) ∫02xx⎞⎜ sin + cos ⎟ dx =44⎝⎠2π3 ⎛∫02πx⎞x⎞ 3⎛⎜1 + sin ⎟dx = ⎜ x − 2 cos ⎟ | =22⎝⎠⎝⎠ 02π2ππ⎞⎛ 2π−1+ 2 =+ 1;=⎜− 2 cos ⎟ + 2 cos 0 =333⎠⎝ 32б) ∫ (1 + 2 x)3 dx =0π12(1 + 2 x) 4 2 54 1 624|=− == 78;88 880π1π π 1⎛⎞ 12 π 1в) ∫ (1 + cos 2 x)dx = ⎜ x + sin 2 x ⎟ | = + sin = + ;21226 12 4⎝⎠004⎛xxг) ∫ ⎜ x +⎜1⎝⎞⎛ 2⎞4⎟dx = ⎜ x + 2 x ⎟ | = 16 + 2 4 − 1 − 2 = 19 = 9 1 .⎟⎜ 2⎟1 2222⎠⎝⎠364.а) S AED = S BECD − S ABCD =2= 1 ⋅ 8 − ∫ x 3dx = 8 −1x4 231| =8−3 =4 ;4 144б) S AED = S ABCDE − S ABCD =π3π32π2π2π= ∫ 2 cos xdx − 1 ⋅= 2 sin x | −= 2 3−;333ππ−−3232в)x –2x+4=3, x –2x+1=0, (x–1)2=0, x=1;1S ABE = S ACDE − SBCDE = ∫ ( x 2 − 2 x + 4)dx − 2 ⋅ 3 =−1⎛ x3⎞122= ⎜ − x2 + 4x ⎟ | − 6 = 8 − 6 = 2 ;⎜ 3⎟ −133⎝⎠5π61 ⎛ 5π π ⎞− ⎟=2 ⎝ 6 6⎠г) S ADE = S ABCDE − S ABCD = ∫ sinxdx− ⋅ ⎜π65π6= − cos x | −π614π5π πππ= cos − cos− = = 3− .33663365.а) 4x– x2 = 4 – x; x2–5x+4=0; x=4; x= 1;S ADC = S ABCD − S ABC =3 ⋅ 3 ⎛⎜ 2 x3 ⎞⎟ 4 9= 2x −|− =2 ⎜⎝3 ⎟⎠ 1 219 91⎞ 964 ⎞ ⎛⎛= ⎜ 32 −⎟ − ⎜2 − ⎟ − = 9 − = ;2 23⎠ 23 ⎠ ⎝⎝4= ∫ (4 x − x 2 )dx −б)16x23= 2 x ; x = 8; x = 2;SOADC = SOAB + S ABCD ==4−16 4| = 4 − 4 + 8 = 8;x 2S ADE = SOEC − SOADC =в) x2 = 2x при x = 0; 2.SOAB = SOAC − SOBAC ==4−2 ⋅ 4 4 16dx+∫ 2 =22 x4 ⋅8− 8 = 8;22⋅4 2 2− ∫ x dx =20x3 28 41| = 4 − = =1 ;3 03 33г) 6 + x – x2 = 6 – 2x;x2 – 3x = 0; x = 0; x = 3.3S ABC = SOABC − S AOC = ∫ (6 + x − x 2 )dx −0−xx3 ⋅ 6 ⎛⎜99= 6x + − ⎟ | − 9 = 18 + − 9 − 9 = .2 ⎜⎝2 3 ⎟⎠ 02223 ⎞3366.а) x2 – 4x + 4 = 4 – x2;2x2 – 4x = 0; x2 – 2x = 0; x = 2; x = 0;2S ACBD = S AOBD − S AOBC = ∫ (4 − x 2 )dx −022⎛2 x3 ⎞⎟ 2− ∫ ( x2 − 4 x + 4)dx =∫ (4 x − 2 x2 )dx = ⎜ 2 x2 −|=⎜3 ⎟⎠ 000⎝15=8−16 82= =2 .33 3б) x2 – 2x + 2 = 2 + 6x – x22x2 – 8x = 0; x2 – 4x = 0; x = 0; x = 4.S ABCE = SOABCD − SOAECD =⎛2 x3 ⎞⎟ 4= ∫ (8 x − 2 x 2 )dx = ⎜ 4 x 2 −|=⎜3 ⎟⎠ 0⎝128 641= 4 ⋅ 16 −== 21 .333в) x2 = 2x – x2; x2 – x = 0; x = 0; x = 1;S OAB = SOABD − S OBD =1⎛⎜⎝= ∫ (2 x − 2 x 2 )dx = ⎜ x 2 −02 x3 ⎞⎟ 12 1| = 1− = .3 ⎟⎠ 03 3г) x2 = x3; x2(1 – x) = 0; x = 0; x = 1;1100SOAB = SOAC − SOCAB = ∫ x 2 dx − ∫ x3dx =⎛ x3 x 4 ⎞ 1 1 1 1⎟| = − = .= ∫ ( x 2 − x 3 )dx = ⎜−⎜ 34 ⎟⎠ 0 3 4 120⎝1367.y = 8x – 2x2; xв =−8= 2 ; yв = 16 – 8 = 8.−2точка А(2;8); y′(x) = 8 – 4x, y′(2) = 0;yкас=y(2)+y′(2)(x–2)=8 – уравнение касательной;2SODA = SODAC − SOAC = 2 ⋅ 8 − ∫ (8 x − 2 x 2 )dx =0⎛2 x3 ⎞⎟ 22⋅81| = 16 − 16 += 16 − ⎜ 4 x 2 −=5 .⎜⎟0333⎝⎠368.
f(x) = 8 – 0,5x2; f′(x) = -x, f′(-2) = 2; f(–2) = 6;y(x)=f(-2)+2(x+2)=2x+10 – уравнение касательной; y(1)=2⋅1+10 = 12;16SCDE = S FCDB − S FCEB = 3 ⋅ 6 +8⎞6⎠1⎞ ⎛6⎠ ⎝⎛⎛3⋅6 10,5 x 3 ⎞⎟ 1− ∫ (8 − 0,5 x 2 )dx = 27 − ⎜ 8 x −| =⎜23 ⎟⎠ − 2−2⎝= 27 − ⎜ 8 − ⎟ + ⎜ − 16 + ⎟ = 28,5 − 24 = 4,5.⎝bbaa369. а) ∫ f ( x)dx = F (b) − F (a) и ∫ g ( x)dx = G (b) − G (a),где F(x) и G(x) – первообразные на [a;b] для f(x) и g(x) соответственно;bbaa∫ ( f ( x) + g ( x))dx = (F ( x) + G ( x) ) | = F (b) + G (b) − F (a) − G (a) =bbaa= [ F (b) − F (a )] + [G (b) − G (a )] = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx;bб) k ∫ f ( x )dx = k[F(b) − F(a )], где F(x) – первообразная для f(x) на [a;b];abbbaaa∫ kf ( x)dx = [kf ( x)] | = k[ F (b) − F (a)] = k ∫ f ( x)dx, где k – const.31.
Применение интеграла1100⎛ x5 2 x3⎞1++ x⎟ | =⎜ 5⎟03⎝⎠370. а) V ( x) = π ∫ ( x 2 + 1) 2 dx = π ∫ ( x 4 + 2 x 2 + 1)dx = π⎜⎞ 13⎛1 2= π⎜ + + 1⎟ = 1 π;⎠ 15⎝5 34б) V ( x) = π ∫ ( x ) 2 dx = π ⋅11в) V ( x) = π∫ ( x ) 2 dx = π ⋅0x2 41⎞1⎛| = π⎜ 8 − ⎟ = 7 π;2 122⎝⎠x2 1 π| = ; г) y = 1 – x2 = 0; x2 = 1; x = ±1;2 0 21711⎛2 x3 x5 ⎞⎟ 1+V ( x) = π ∫ (1 − x 2 ) 2 dx = π ∫ (1 − 2 x 2 + x 4 ) dx = π⎜ x −| =⎜35 ⎟⎠ −1−1−1⎝8 16π1= 2π ⋅== 1 π.1515 15371. а) V = Vконуса – V0, где1313Vконуса = πr 2 h = π , т.к. r = h = 1.1V0 = π ∫ x 4 dx = π ⋅0x5 1 1112| = x; V = π − π = π;35155 0 51110001б) V = π∫ ( x + 3) 2 dx − π∫ (2 x) 2 dx = π∫ ( x 2 + 6 x + 9)dx −π∫ 4 x 2 dx =01100= π ∫ (6 x + 9 − 3 x 2 )dx = π(3x 2 + 9 x − x3 ) | = π(3 ⋅ 1 + 9 − 1) = 11π;22220000в) V = π ∫ ( x + 2) 2 dx − π ∫ dx = π ∫ ( x 2 + 4 x + 4)dx − πx | =⎛ x3⎞22⎞⎛8= π⎜+ 2 x 2 + 4 x ⎟ | − 2π = π⎜ + 8 + 8 ⎟ − 2π = 16 π.⎜ 3⎟033⎠⎝⎝⎠11x21x3 1πππг) V = π ∫ ( x ) 2 dx −π ∫ x 2 dx = π ⋅ | − π | = − = .2 03 0 2 3 60018372.а) Пусть |OB| = x, тогда S(x) = πy2 = π(R2 – x2),S(x) – площшадь сечения шара, x ∈ [R – H; R].V=Rx3R222∫ π( R − x )dx = πR x | − π 3R−HR−H= πR 2 H −[]R|R−H= πR 2 H −[]π 3R − ( R − H )3 =3ππH 33HR 2 − 3RH 2 + H 3 = πRH 2 −.33б) Пусть |OD| = x, S(x) – площадь сечения конуса,HR − r ⎤.R ⎥⎦⎡x ∈ ⎢0;⎣S ( x) = πy 2 = πR2H2H (R − r)0≤x≤.RТ.о., V =H (R−r)R∫( H − x) 2 .
При этом x меняется в пределахπ0+H (R−r)R∫0=R2Hx0,04∫ 200 xdx = 100 x∫ 50 xdx = 25 x0bπR dx −H (R−r)R02∫0H (R−r)R|0πR 2 x3+ 2H 32πR 2⋅ xdx +HH (R−r)R|=02= 200;0,010,04| = 0,16 Дж.0F4= 50;; при F = 4H, x = 0,08 м · k =0,08x0,08375.2; при F = 2H, x = 0,01 м · k =0A=∫πR 2 22⋅=π(−)−xxdxRHRrHH2373. F = k⋅x, k =374. k =( H − x) dx =H (R−r)RR2πH 2( R + Rr + r 2 ).3FA=22F=−γqr220,08| = 0,16 Дж.0b(по закону Кулона). Т.к. работа равна A = ∫ F (r )dr , тоaγq⎛1 1⎞⎛a−b⎞A = ∫ − 2 dr = γq⎜ − ⎟ = γq⎜⎟;ba⎝⎠⎝ ab ⎠a r( a − b) γ q=(b − a ) > 0;а) a < b, q < 0; A = γqabab19б) b < a, q > 0: A = γq( a − b)> 0.ab376. Выделим на расстоянии x от верхнего основания плотины полоску толщиной ∆x. Тогда сила давления воды на эту полоску равна∆P = ρgxy∆x.
Т.к. ∆ABF подобен ∆NBM, тоAF=NMFBMBhили⎛x⎞a−bh⎛=, y = b + (a – b) ⎜1 − ⎟ ,y −b h− xh⎠⎝⎛x ⎞⎞⎡ bx 2т.е. P = ∫ ρgx⎜⎜ b + (a − b )⎜1 − ⎟ ⎟⎟dx = ρg ⎢+h ⎠⎠⎝⎢⎣ 2⎝0x3 ⎤ h( a − b) x 2− (a − b ) ⎥ | =23h ⎥⎦ 0⎡ h 2 a h 2 a h 2b ⎤ ρgh 2 (a + 2b)= ρg ⎢−+.⎥=33 ⎥⎦6⎢⎣ 2377. Пусть ∆x =h– толщина слоя воды, находящегося на расстоянии xnот нижнего основания. Тогда работа, затрачиваемая на подъем этогослоя, равна ∆А = ρg∆V⋅x = ρg⋅πr2∆x⋅x. Полная работа равнаnh00A = ∑ ρgπr 2 x∆x. Если n → ∞, то A = ∫ ρgπr 2 xdx = ρgπr 2 ⋅378.
Разобьем шар на n слоев толщиной ∆x =2Rnx 2 h ρgπr 2 h 2|=.2 02каждый. Выделимодин из таких слоев, находящийся на расстоянии x от точка А. Тогда работа против сил выталкивания при погружении этого слоя наглубину x есть ∆А = ρg∆V⋅x. Пусть |OB| = a, тогда y2 = R2 – a2 = R2 –– (x – R)2 и ∆V ≈ πy2∆x = π⎣R 2 − ( x − R ) 2 ⎦ ∆x = π⋅x(2R – x)∆x, тогда2R⎡ 2 x3 R x 4 ⎤ 2 R⎡216 R 4 ⎤ 34A = ∫ ρgπx 2 ( 2 R − x)dx = ρgπ ⎢− ⎥ | = ρgπ ⎢ ⋅ 8 R 4 −⎥ = ρgπR .34344⎥⎦ 00⎣⎢⎣⎢⎦⎥20379. Разобьем стержень на n равных цилиндров, каждый из которыхимеет высоту ∆x =∆E = mv22, где1.n⎛ x + ∆x ⎞⎟–⎝ 2 ⎠m = ρ∆V = ρS∆x – масса цилиндра, v = ϖ ⋅ ⎜средняя линейная скорость точек цилиндра. Так какv ≈ ωx.
Т.о. ∆E ≈ ρS∆x ⋅∆xx→ 0, тоlω2 x 2ω2 x 2 ρSω2 x 3 l ρSω2l 3и E = ∫ ρSdx ⋅|=.=22 3 0620380. Центр масс кругового конуса лежит на его оси (ОА), объем ∆V,находящийся на расстоянии x от вершины конуса, равен∆V ≈ πy2⋅∆x. ∆ABO ∼ ∆ANE;x yrr2= , y = ⋅ x; тогда ∆V ≈ π 2 x 2 ∆x.h rhhhh∫ ρxdVКоордината ценра масс x`= 0h∫ ρdV0ρ∫=πr 2h0hρ∫0πrhx 3dx2=2h23∫ x dxdx0h=2∫ x dx0x4 h|4 0x3 h3|=3h.40ГЛАВА IV. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯИ ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ§ 9. Обобщение понятия степени32. Корень n-й степени и его свойства381.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
