kolmogorov-gdz-11-№326-580 и 1-281 (991264), страница 8
Текст из файла (страница 8)
а) log 22 x − log 2 x ≤ 6 ⇔ log 22 x − log 2 x − 6 ≤ 0 ⇔1⎧⎡1 ⎤⎧log x ≥ −2, ⎪ x ≥ ,⇔⎨ 2⇔⎨4 Итого: ⎢ ;8⎥.⎩log 2 x ≤ 3;⎣4 ⎦⎪⎩ x ≤ 8.641⎡⎧⎡1⎡log 1 x > 2,⎢log 1 x > log 1 9 , ⎪⎢ x < ,⎢⎪2393б) log 1 x − 4 > 0 ⇔ ⎢⇔ ⎨⎢⇔⎢ 3log 1 x < −2; ⎢log x < log 9;x>9;⎣⎪⎢113⎢⎪x>0.⎣ 3⎩3⎣ 3Итого: ⎛⎜ 0;⎝1⎞⎟ ∪ (9; ∞ ).9⎠⎧⎡ x > 10,lg x > 1,⎪⇔ ⎨⎢⎣ x < 0,001;⎣lg x < −3; ⎪ x > 0.⎩в) lg2 x + 2 lg x > 3 ⇔ lg2 x +2lg x – 3 > 0 ⇔ ⎡⎢Итого: (0;0,001)∪(10;∞).⎧ x ≤ 27,⎡log3 x ≤ log3 27,⎪⎪1⎧log3 x ≤ 3,x−9≤0⇔⎨⇔⎢,1 ⇔ ⎨x ≥; ⎪⎢log3 x ≥ log327⎩log3 x ≥ −3;27⎣⎩⎪ x > 0.⎡1⎤Итого: ⎢ ;27⎥.⎣ 27⎦г) log32⎧ x 1⎪⎪sin < ,1x⎞x⎞⎛⎛528.
а) log 2 ⎜ sin ⎟ < −1 ⇔ log 2 ⎜ sin ⎟ < log 2 ⇔ ⎨ 2 22⎠2⎠2⎝⎝⎪sin x > 0;⎪⎩ 2x ⎛π⎞ ⎛ 5π⎞∈ ⎜ 2πn; + 2πn ⎟ ∪ ⎜+ 2πn; π + 2πn ⎟ ;2 ⎝66⎠ ⎝⎠π⎛⎞ ⎛ 5π⎞x ∈ ⎜ 4πn; + 4πn ⎟ ∪ ⎜+ 4πn; 2π + 4πn ⎟ ;33⎝⎠ ⎝⎠⎧3 − log 2 x < 2,⇔⎩3 − log 2 x > −2;б) 3 − log 2 x < 2 ⇔ ⎨⎧log 2 x > log 2 2,⎨log x < log 32; ⇔2⎩ 2⎧ x > 2,⎨ x < 32.⎩Итого: (2;32).в) log 1 cos 2 x > 1 ⇔ log 1 cos 2 x > log 12221⎧1⎪cos 2 x < ,⇔⎨2 ⇔2⎪⎩cos 2 x > 0;ππ⎡ π⎡ π⎢ − 2 + 2πk < 2 x < − 3 + 2πk , ⎢ − 4 + πk < x < − 6 + πk ,⇔⎢⎢⎢ π + 2πk < 2 x < π + 2πk , k ∈ Z ;⎢ π + πk < x < π + πk , k ∈ Z .42⎣⎢ 6⎣⎢ 3⎛Итого: ⎜ −⎝πππ⎞ ⎛π⎞+ πk ;− + πk ⎟ ∪ ⎜ + πk ; + πk ⎟, k ∈ Z .464⎠ ⎝6⎠65⎧ x < 10,⎪1⎧lg x < 1,−⎪г) 3 lg x − 1 < 2 ⇔ ⎧⎨3 lg x − 1 < 2, ⇔ ⎪⎨1 ⇔ ⎨ x > 10 3 ,⎩3 lg x − 1 > −2; ⎪lg x > − ; ⎪ x > 0.3⎩⎪⎩⎞;10 ⎟⎟.⎠⎝ 10⎛ 1Итого: ⎜⎜ 3529.1⎧12x = 9 ,⎧x+ y= , ⎪9⎧log 1 ( x + y) = 2, ⎧log ( x + y) = log 1 , ⎪⎪⎪918⎪⎪ 1а) ⎪⎨ 39 ⇔ ⎨x − y = 9, ⇔ ⎨2 y = −8 , ⇔⇔⎨339⎪⎪⎩log3 ( x − y) = 2;⎪log ( x − y) = log 9;⎪x + y > 0,3⎩ 3⎪ x + y > 0,⎪x − y > 0;⎩⎩⎪ x − y > 0;5⎧x=4 ,⎪⎪9⎨4⎪ y = −4 ;⎪⎩9⎡⎧ x1 = 6,⎧lg( x 2 + y 2 ) = lg100,⎧ x 2 + y 2 = 100,⎢⎨ y = 8;⎪⎪⇔ ⎨log 48 xy = log 48 48, ⇔ ⎨ xy = 48,⇔ ⎢⎩ 1⎢⎧ x2 = 8,⎩log 48 x + log 48 y = 1; ⎪ x > 0, y > 0;⎪ x > 0, y > 0;⎢⎨⎩ y2 = 6.⎩⎩⎣⎧log 1 x + log 1 y = 2,⎧log 1 x = 3,1⎧⎪⎪x =,3в) ⎪⎨ 3⇔⎨ 3⇔⎨27xyylog−log=4;log=−1;1⎪ 1⎪ 1⎪⎩ y = 3;3⎩⎪ 3⎩⎪ 322б) ⎧⎨lg( x + y ) = 2,⎧lg( x 2 + y 2 ) = lg 130,⎧ x 2 + y 2 = 130,⎪ x+ y22⎧⎪⎪⎪г) ⎨lg( x + y ) = 1 + lg 13,⇔ ⎨ x + y = 8 x − 8 y, ⇔= lg 8,⇔ ⎨lg+=−+xyxylg()lg()lg8;xy−⎩⎪⎪ x + y > 0,⎪⎩ x − y > 0;⎩⎪ x + y > 0, x − y > 0;⎧ 2 49 2⎧ x 2 = 81,⎪ x + 81 x = 130,⎧ x1 = −9,⎪⎪7⎪7⎪⎪ y = −7 ; − не подходит⎪⇔ ⎨ y = 9 x, ⇔ ⎨ 1⇔ ⎨ y = x,9⎪ x2 = 9,⎪ x + y > 0,⎪⎪⎩ y2 = 7.⎪⎪ x + y > 0,⎩ x − y > 0;⎪⎩ x − y > 0;530.⎧y = 4 − 2x,⎧2x + y = 4,⎧32x+ y = 34 ,⎧3y ⋅ 9x = 81,⎪⎪⎪222(xy)9x,⇔⇔⇔+=⎨(4 − x) = 9x, ⇔⎨⎨ (x + y)⎪⎩lg(x + y)2 − lg x = 2 lg3; ⎪lg= lg9; ⎪x > 0;⎪x > 0;x⎩⎩⎩а) ⎪⎨⎧ y = 4 − 2 x,⎪⇔ ⎨ x 2 − 17 x + 16 = 0, ⇔⎪ x > 0;⎩66⎧ y = 4 − 2 x,⎪⇔⎨⎡ x1 = 1,⎪⎢⎣ x2 = 16;⎩⎡ ⎧ x1 = 1,⎢ ⎨ y = 2;⎢⎩ 1⎢ ⎧ x2 = 16,⎢ ⎨⎩ y2 = −28.⎣⎧ x + y = 5,⎧ x + y = 5,⎪⎪lg( x 2 − y 2 ) = lg 20,⎪⎪ 22⎧101+ lg( x + y ) = 50,б) ⎨⇔⎨⇔ ⎨ x − y = 20, ⇔⎩lg( x + y ) + lg( x − y ) = 2 − lg 5;⎪ x + y > 0,⎪ x + y > 0,⎪⎩ x − y > 0;⎪⎩ x − y > 0;⎧2 x = 9,⎧ x + y = 5,⎪⎪2 y = 1,⎪⎪ x − y = 4,⎧ x = 4,5,⇔⎨⇔⎨⇔⎨+>+>xy0,xy0,⎩ y = 0,5;⎪⎪⎪⎩ x − y > 0;⎪⎩ x − y > 0;⎧⎪3 x ⋅ 2 y = 576,⎧⎪3 x ⋅ 2 y = 576,в) ⎨⇔⎨log 2 ( y − x) = 4; ⎪log 2 ( y − x) = log⎩⎪⎩⎧ x x + 4 = 576,⇔ ⎨3 ⋅ 2⇔⎩ y = 4 + x;⎧6 x = 36,⇔⎨⎩ y = 4 + x;⎧3 x ⋅ 2 y = 576,⎪⇔ ⎨ y − x = 4,⇔4;2⎪ y − x > 0;⎩⎧ x = 2,⎨ y = 6;⎩3⎧ x⎧2x − 3y = 0,⎧13x = 117,⎪lg y = lg 2 ,⎪⎪3x + 2 y = 39, ⎪⎪13y = 78,⎧lg x − lg y = lg15 −1, ⎪⎧x = 9,⇔ ⎨3x + 2 y = 39; ⇔ ⎨⇔⎨⇔⎨г) ⎨ lg(3x+2 y)>>x0,x0,= 39;⎩ y = 6.⎩10⎪x > 0, y > 0;⎪⎪⎪⎪>>y0;y0;⎪⎩⎩⎩40.
Понятие об обратной функции531. а) f(x) = 2x + 1; D(f) = E(f) = R; y = 2x + 1, x =g ( x) =y −1;2x −1обратная для f(x); D(g) = E(g) = R;21212б) f(x) = x - 1; D(f) = E(f) = R; y = x − 1, x = 2y + 2;g(x) = 2x + 2 – обратная для f(x); D(g) = E(g) = R;в) f(x) = -2x + 1; D(f) = E(f) = R; y = -2x + 1, x =g(x) =1− x2г) f(x) = −1− y;2– обратная для f(x); D(g) = E(g) = R;1x − 1; D(f)2= E(f) = R; y = −1x − 1, x2= -2y – 2;g(x) = -2x – 2 – обратная для f(x); D(g) = E(g) = R.532. а) f ( x ) = −g(x)1=−x1; D(f)x= E(f) = (-∞;0)∪(0;∞); y = − 1 , x = − 1 ;xy– обратная для f(x); D(g) = E(g) = (-∞;0)∪(0;∞);б) f(x) = 2x2(x ≥ 0); D(f) = E(f) = [0;∞); y = 2x2, x = y ;267x– обратная для f(x); D(g) = E(g) = [0;∞);22xв) f ( x) ==1−; D(f) = (-∞;-2)∪(-2;∞), E(f) = (-∞;1)∪(1;∞);x+2x+2g(x) =y=x2y,x =; g(x)x+21− y=2x1− x– обратная для f(x);D(g) = E(f) = (-∞;1)∪(1;∞), E(g) = D(f) = (-∞;-2)∪(-2;∞);г) f(x) = x + 1; D(f) = [-1;∞), E(f) = [0;∞); y = x + 1, x = y2 – 1;g(x) = x2 – 1 – обратная для f(x); D(g)=E(f)=[0;∞), E(g)=D(f) = [-1;∞).533.а) f(x) = 2x3 + 1; y = 2x3 + 1, x = 3g ( x) = 3y −1;2x −1– обратная к f(x);2б) f(x) = (x + 1)2, x ∈ (-∞;-1]; y = (x + 1)2, x = -1 – y ;g(x) = -1 –x– обратная к f(x);в) f(x) = -2x3 + 1; y = -2x3 + 1,x=31− y;2g(x) = 31− x– обратная к f(x);2г) f(x) = (x – 1)2, x ∈ [1;∞); y = (x – 1)2, x = 1 +g(x) = 1 +68x– обратная к f(x).y;534.а) g(-2)= -4, g(1) = 0,5, g(3) = 1,5;D(g) = [-2;8], E(g) = [-4;4];б) g(-2) = 1, g(1) = -1, g(3) = -3;D(g) = [-6;4], E(g) = [-4;3];в) g(-2) = -2, g(1) = -0,5, g(3) = 1;D(g) = [-6;7], E(g) = [-4;5];г) g(-2) = 4, g(1) = 0, g(3) = -1;D(g) = [-3;7], E(g) = [-3;5].535.
а) f(x) = x2 + 1, x ≤ 0; т.к. f(x) убывает на (-∞;0], то на (-∞; 0]существует g(x), обратная к f(x); y = x2 + 1, x = − y − 1;g ( x ) = − x − 1 , D(g)= [1;∞), E(g) = (-∞;0];б) f(x) = 2x, (-∞;∞); т.к. f(x) возрастает на R, то на R существует g(x),обратная к f(x); y = 2x, x =1y;212g(x) = x, D(g) = E(g) = R;69в) f(x) = 4 x , x ≥ 0; т.к.
f(x) возрастает на [0;∞), то на [0; +∞)существует g(x), обратная к f(x); y = 4 x , x = y 4 ;g(x) = x4, D(g) = [0,∞), E(g) = [0;∞);г) f(x) = x3 + 1, (-∞;∞); т.к. f(x) возрастает на R, то на R существуетg(x), обратная к f(x); y = x3 + 1, x = 3 y − 1; g(x) = 3 x − 1, D(g) = E(g) = R.536.⎡ π π⎤⎡ π π⎤а) f(x) = sinx, x ∈ ⎢− ; ⎥; т.к. f(x) возрастает на ⎢− ; ⎥, то на⎣ 2 2⎦⎣ 2 2⎦⎡ π π⎤⎢− 2 ; 2 ⎥ существует g(x), обратная к f(x);⎣⎦⎡ π π⎤y = sin x, x = arcsin y; g(x) = arcsin x, D(g) = [-1;1], E(g) = ⎢− ; ⎥;2 2⎣⎛ π π⎞⎝ 2 2⎠⎛ π π⎞⎝ 2 2⎠б) f(x) = tgx, x ∈ ⎜ − ; ⎟; т.к.
f(x) возрастает на ⎜ − ; ⎟, то на⎛π π⎞2 2⎠x ∈ ⎜ − ; ⎟ существует g(x), обратная к f(x);⎝70⎦⎛ π π⎞⎝ 2 2⎠y = tg x, x = arctg y; g(x) = arctg x, D(g) = R, E(g) = ⎜ − ; ⎟ ;в) f(x) = cos x; т.к. f(x) убывает при x ∈ [0;π], то на [0;π] существуетg(x), обратная к f(x);y = cos x, x = arccos y; g(x) = arccos x, D(g) = [-1;1], E(g) = [0;π];г) f(x) = ctgx, x ∈ (0;π);т.к. f(x) убывает на (0;π), то на (0;π) существует g(x), обратная к f(x);y = ctg x, x = arcctg y; g(x) = arcctg x, D(g) = R, E(g) = (0;π).§ 11. Производная показательнойи логарифмической функции41. Производная показательнойи логарифмической функции537.
а) ln3 ≈ 1,0986, ln5,6 ≈ 1,7228, ln1,7 ≈ 0,5306;б) ln8 ≈ 2,0794, ln17 ≈ 2,8332, ln1,3 ≈ 0,2624;в) ln2 ≈ 0,6931, ln35 ≈ 3,3551, ln1,4 ≈ 0,3365;г) ln7 ≈ 1,9459, ln23 ≈ 3,1355, ln1,5 ≈ 0,4055.538.()′а) y`= 4e x + 5 = 4e x ;б) y`= (2 x + 3e − x )′ = 2 − 3e − x ;71⎛′⎞1212г) y`= (5e − x − x 2 )′ = −5e − x − 2 x.в) y`= ⎜ 3 − e x ⎟ = − e x ;⎝⎠539. а) y`= (e x cos x)′ = e x (cos x − sin x); б) y`= (3e x + 2 x )′ = 3e x + 2 x ln 2;в) y`= (3x − 3x 2 )′ = 3x ln 3 − 6 x; г) y`= ( x 2e x )′ = xe x (2 + x).540. а) f`(x) = (e-x)`= -e-x, f(0) = 1, f`(0) = -1; y = 1 – x;б) f`(x) = (3x)` = 3xln3, f(1) = 3, f`(1) = 3ln3;y = 3 + 3ln3(x – 1) = 3ln3⋅x + 3(1 – ln3);в) f`(x) = (ex)` = ex, f(0) = 1, f`(0) = 1; y = 1 + x;г) f`(x) = (2-x)` = -2-xln2, f(1) =y=1, f`(1)2=−ln 2;21 111− ln 2( x − 1) = − ln 2 ⋅ x + (1 + ln 2) .2 222541.б) f(x) = 2⋅3x, F(x) = 2 ⋅а) f(x) = 5ex, F(x) = 5ex + C;в) f(x) = 4x, F(x) =1542.
а) ∫ 0,5 x dx =01114x+ C;ln 4123x+ C;ln 312г) f ( x) = e x + 1, F ( x) = e x + x + C.0,5 x 10,510,51|=−=−=;ln 0,5 0 ln 0,5 ln 0,5ln 0,5 2 ln 211x 111б) ∫ e 2 x dx = e 2 x | = e 2 − = ; в) ∫ 2 x dx = 2 | = 2 − 1 = 7 ;22 2ln 2 − 2 ln 2 4 ln 2 4 ln 20 2−20x 22г) ∫ 3 x dx = 3 | = 9 −ln 31−2543.1−2ln 31=3 ln 3′( )9 3 −13 ln 3.′2222′xxx xx 1 2xа) y`= ⎛⎜ e x sin ⎞⎟ = e x sin ⋅ x 2 + e x cos ⋅ ⎛⎜ ⎞⎟ = 2 xe x sin + e x cos =2⎠⎝22 ⎝2⎠x 1x⎞⎛= e x ⎜ 2 x sin + cos ⎟ ;222⎝⎠′xxx′⎞⎛б) y`= ⎜⎜ 7 2 tg 3x ⎟⎟ = 7 2 ln 7 ⋅ ⎛⎜ x ⎞⎟ tg 3x + 7 2 12 ⋅ (3x )′ =⎟⎜cos 3x⎝2⎠⎠⎝2x=xxln 7 233 ⎞⎛ ln 7⋅ 7 tg 3x +⋅ 7 2 = 7 2 ⎜⎜⋅ tg 3 x +⎟⎟;2cos 2 3 xcos 2 3 x ⎠⎝ 272222в) y`= ⎛⎜ ex⎝=xe′cos 2 x ⎞⎟ = e⎠cos 2 x2 xx− 2excos 2 x ⋅( x )′ − exsin 2 x ⋅ (2 x )′ =x ⎛⎜ cos 2 xsin 2 x = e⎜ 2 x − 2e⎝′x⎞sin 2 x ⎟⎟ ;⎠′⎛x⎞⋅⎜ ⎟ =x ⎝3⎠3⎠3⎝sin 23⎛⎞⎜⎟xx2− x1−x−x⎜⎟.= −2 ln 2ctg −= −2 ln 2ctg −⎜3 3 sin 2 x3 3 sin 2 x ⎟⎜⎟33⎠⎝′⎛ x 6 ⎞ 6 x5 ⋅ 4 x + 5 − x 6 ⋅ 4 x ln 4 4 x ⋅ x 5 (6 − x ln 4 ) + 30 x5⎟ ==544.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
