kolmogorov-gdz-11-№326-580 и 1-281 (991264), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

а) 2tgα –tg(α – π) + ctg(sin( −α)б)−sin( π − α)3π– α) = 2tgα – tgα + tgα = 2tgα;2⎛π⎞tg⎜ − α ⎟2⎝⎠+ctgαcos α= −1 − 1 + 1 = −1 ;⎛π⎞sin ⎜ + α ⎟⎝2⎠⎞⎛πtg ( π − β ) ⋅ cos( π − β ) ⋅ tg ⎜ − β ⎟⎠⎝2=в)ππ3π⎛⎞⎛⎞⎛sin ⎜ − β ⎟ ⋅ ctg ⎜ + α ⎟ ⋅ tg ⎜+ α ⎞⎟⎠⎝ 2⎠⎝2⎠⎝2=( − tg β ) ⋅ ( − cos β ) ⋅ ctg βcos β==1;( − 1) cos β ⋅ ( − tg β ) − ctg β cos β3π16π13π⎛ 3π⎞⋅ costg⎜ + α ⎟ ⋅ sin ⋅ sin22918⎝⎠=г)5π11π⋅ cos 2πctg(π − α) ⋅ cos ⋅ sin1892π ⎞5π ⎞2π ⎛5π ⎞⎛⎛− ctg ⋅ ( − α ) ⋅ sin ⎜ 2 π −⎟ cos ⎜ π −⎟ ( −1)( −1) sin⎜ − cos⎟9 ⎠18 ⎠9 ⎝18 ⎠⎝⎝=== 1.5π2π ⎞5π ⎛2π ⎞− ctg α ⋅ cos⋅ sin ⎛⎜ π +⋅ ⎜ − sincos⎟ ⋅1⎟189 ⎠18 ⎝9 ⎠⎝54.

а)tg (α + β) − tgα − tgβ= tgβ ;tgα ⋅ tg(α + β)tg ( α + β ) − tg α − tg β=tg α ⋅ tg ( α + β )tg α + tg β − tg α + tg 2 α ⋅ tg β − tg β + tg α ⋅ tg 2 β1 − tg α ⋅ tg β==tg α ( tg α + tg β )1 − tg α ⋅ tg βtg α + tg β − tg α + tg 2 α ⋅ tg β − tg β + tg α ⋅ tg 2 β==tg α ( tg α + tg β )tg α ⋅ tg β ( tg α + tg β )= tg β .=tg α ( tg α + tg β )Таким образом, равенство истинное.102б)1 − cos 2 α + sin 2 α= tg α ;1 + cos 2 α + sin 2 α1 − cos 2α + sin 2α 2 sin2 α + 2 sin α ⋅ cosα sin α=== tgα.1 + cos 2α + sin 2α 2 cos2 α + 2 sin α ⋅ cosα cosαТождество доказано.cos( α + β) + cos( α − β)= ctg α ;в)sin( α + β) + sin( α − β)cosα ⋅ cosβ − sinα ⋅ sinβ + cosα ⋅ cosβ + sinα ⋅ sinβ 2 cosα ⋅ cosβ== ctgα .sinα ⋅ cosβ + cosα ⋅ sinβ + sinα ⋅ cosβ − cosα ⋅ sinβ 2sinα ⋅ cosβТождество доказано.г)sin α − sin 3α= −ctg 2α ;cos α − cos 3αsin α − (sin α cos 2 α + cos α sin 2 α )sin α − sin 3 α==cos α − cos 3 αcos α − (cos α cos 2 α − sin α sin 2 α )sin α − (sin α (1 − 2 sin 2 α ) + cos α ⋅ 2 sin α cos α )==cos α − (cos α (1 − 2 sin 2 α ) − sin α ⋅ 2 sin α cos α )sin α − sin α + 2 sin 3 α − 2 sin α cos 2 α==cos α − cos α + 2 cos α sin 2 α + 2 sin 2 α cos αsin α (sin 2 α − cos 2 α )cos 2 α − sin 2 αcos 2 α==−=−= − ctg 2 α .22 sin α cos αsin 2 α2 sin α cos αМы доказали тождество.1 1−2 255.

а)1 1αпри π < α < 2π.+ cos α = cos2 24Если π < α < 2π, то1 1 1−(1 + cos α) =2 2 2=1 1α+ ⋅ cos =2 22= cosα,4так какπ αα< < π и cos < 0 .22 21 1 1α−⋅ 2 cos2=2 2 221 1α− cos =2 221ααα(1 + cos ) = cos 2= cos =2244π α πα< < , cos > 0,4 4 24cosαα= cos .44Мы доказали тождество.1031−б)1 1⎛π α⎞− cos 2α = 2 cos⎜ − ⎟ при2 2⎝4 2⎠Если π < α <π<α<3π.23π, то sinα < 0, | sinα|= – sinα.2ππ+α−απ2⋅ cos 2=1 − sin α = 1 + sin α = sin + sin α = 2 sin222⎛π α⎞ ⎛π α⎞⎛π α⎞ ⎛π α⎞= 2 sin ⎜ + ⎟ cos⎜ − ⎟ = 2 cos⎜ − ⎟ cos⎜ − ⎟ =4242⎝⎠ ⎝⎠⎝4 2⎠ ⎝4 2⎠2⎛π α⎞⎛π α⎞= 2 cos 2 ⎜ − ⎟ = 2 cos⎜ − ⎟,42⎝⎠⎝4 2⎠π α ππ π απ⎛π α⎞< < , − < − < − , cos⎜ − ⎟ > 0.4 4 22 4 24⎝4 2⎠Мы доказали тождество.1 1+2 2в)1 1α3πпри+ cos 2α = − cos< α < 2π,2 2223π α< < π.42Значит,1 1 1 1++ cos 2α =2 2 2 21=⋅ (1 + cos α) = cos 221 1cos 2α =+2 2αα= − cos .221 1+ cos α =2 2Мы доказали тождество.г) 1 +1 13π⎛π α⎞− cos α = 2 cos⎜ − ⎟ при< α < 2π,2 22⎝4 2⎠3π α< <π.42Значит,1 1ααπα− cosα = 1 + sin2 = 1 + sin = sin + sin =2 22222π απ α+−⎛π ⎛π α⎞⎛ π α ⎞⎞= 2sin 2 2 ⋅ cos 2 2 = 2 sin⎜⎜ − ⎜ − ⎟ ⋅ cos⎜ − ⎟ ⎟⎟ =22244⎝⎠⎝ 4 4 ⎠⎠⎝1+⎛π α⎞⎛π α⎞= 2 cos2 ⎜ − ⎟ = 2 cos ⎜ − ⎟.44⎝4 4⎠⎠⎝3ππ π απ⎛π α⎞< α < 2π, то − < − < − , cos⎜ − ⎟ > 0 .Если4 4 482⎝4 4⎠Тождество доказано.104π756.

а) cos cos- cosπ4π5π4π2π ⎞π4π2π⎛cos = cos cos cos ⎜ π − ⎟ = − cos cos cos ;7777 ⎠7777⎝π4ππ 1π2πcos⋅ sin = sin ;cos7777 87преобразуем левую часть равенства:1ππ2π4π12π2π4π− ⋅ 2sin cos cos cos = − ⋅ 2 sin cos cos =2777727778π4π14π1 4π2π2π1= − ⋅ 2sin cos cos = − sin cos = − ⋅ sin =7787747741π⎞ 1π⎛= − ⋅ sin⎜ π + ⎟ = ⋅ sin ;87⎠ 87⎝полученное выражение равно правой части, исходное равенствоверно.sin 20oб)cos 20o⎞⎛ 1− 4 sin 20o ⋅ sin 50o = sin 20o ⎜⎜− 4 sin 50o ⎟⎟ =⎠⎝ cos 20o⎛ 1 − 2(sin 30 o + sin 70 o ) ⎞⎟== sin 20 o ⎜⎟⎜cos 20 o⎠⎝oo ⎞⎛ 1 − 1 − 2 sin 70o ⎞⎛⎟ = −2 sin 20o ⎜ sin(90 − 20 ) ⎟ == sin 20o ⎜oo⎜⎟⎜⎟cos 20cos 20⎝⎠⎝⎠⎛ cos 20 o= −2 sin 20 o ⋅ ⎜⎜ cos 20 o⎝1в)sin 10=o− 4 sin 70 o =1 + 2 cos 80 o − 2 ⋅sin 10 o⎞⎟ = −2 sin 20 o . Равенство верно.⎟⎠1 − 4 sin 10 o sin 70 osin 10o=1 + 2 (cos 80 o − cos 60 o )sin 10 o=1ooo2 = 2 cos( 90 − 10 ) = 2 sin 10 = 2 .osin 10sin 10 oРавенство справедливо.г) cos 20 o + 2 sin 2 55 o − 2 sin 65 o = cos 20 o + 1 − cos 110 o −− 2 sin 45 o sin 65 o = cos 20 o + 1 − cos 110 o + cos 110 o − cos 20 o = 1.Равенство справедливо.10557.

а) Вычтем из левой части правую.tgx + ctgx – 2 = tgx +tg 2 x + 1 − 2 tgx ( tgx − 1) 21–2==≥0,tgxtgxtgxтак как (tgx –1)2 ≥ 0; tgx > 0 при всех x ∈ (0;π).2Неравенство верно.б) Преобразуем дробь в левой части неравенства, учитывая, что⎛π⎞sin⎜ + α ⎟⎝3⎠=⎛ π α ⎞ ⎛ π ⎛ π α ⎞⎞sin⎜ + ⎟ sin⎜⎜ − ⎜ + ⎟ ⎟⎟⎝ 12 4 ⎠ ⎝ 2 ⎝ 12 4 ⎠ ⎠⎛π⎞⎛π⎞⎛π α⎞ ⎛π α⎞2 sin⎜ + α ⎟2 sin⎜ + α ⎟ 4 sin⎜ + ⎟ cos⎜ + ⎟33⎝⎠⎝⎠⎝6 2⎠ ⎝6 2⎠ ====⎛π α⎞⎛π α⎞⎛ π α⎞ ⎛ π α⎞2 sin⎜ + ⎟ cos⎜ + ⎟ sin⎜ + ⎟sin⎜ + ⎟⎝ 12 4 ⎠ ⎝ 12 4 ⎠⎝6 2⎠⎝6 2⎠αα3⎛π α⎞= 4 cos⎜ + ⎟ = 4 ⋅cos − 4 ⋅ sin =222⎝6 2⎠5π α π ⎛ π α ⎞− = −⎜ + ⎟:12 4 2 ⎝ 12 4 ⎠= 2 3 cos2 3 cosαα− 2 sin .

Теперь равенство принимает вид22αααα− 2 sin + 2 sin ≤ 2 3 или 2 3 cos ≤ 2 3 ,2222что верно при любых α.в) Рассмотрим левую часть неравенства и перемножим первуюскобку на четвертую, а вторую на третью:(1 + sinϕ + cosϕ)(sinϕ + cosϕ – 1)(1 + (cosϕ – sinϕ)) ×× (1 – (cosϕ – sinϕ)) = ((sinϕ + cosϕ)2 – 1)(1 – (cosϕ – sinϕ)2) == (sin2ϕ + cos2ϕ + 2sinϕcosϕ – 1)⋅ (1 – cos2ϕ – sin2ϕ + 2sinϕcosϕ) ==2sinϕcosϕ ⋅ 2sinϕcosϕ = sin22ϕ ≤ 1.Неравенство верно при всех ϕ.г) Преобразуем левую часть неравенства:2sin4αsin2α + cos6α = cos2α – cos6α + cos6α = cos2α ≥ – 1.Неравенство верно при любых α.4458.

а) cos α + sin α , если sin2α=2. cos4α+sin4α=cos4α+2sin2α ×3× cos2α+ sin4α – 2sin2α ⋅ cos2α = (cos2α + sin2α)2 –1061 21sin 2α = 1 – sin22α;22если sin2α =21 ⎛2⎞1 42 72, то 1 − ⋅ ⎜ ⎟ = 1 − ⋅ = 1 − = .2 ⎝3⎠2 99 93α2 , если tg α = m.б)1 + sin α2αααααα1 − 2 sin 2cos 2 + sin 2 − 2 sin 2cos 2 − sin 22 =22222 ==αααα 21 + sin α2 α2 αsin(cos + sin )+ cos+ 2 sin ⋅ cos222222ααcossin2 −2αααααcos − sincoscos1 − tg22 =22 =2 ;=αααααcos + sincossin1 + tg222 +22ααcoscos22α1 − tgα2 = 1− m .если tg = m, тоα 1+ m21 + tg21 − 2 sin 2в) Поскольку sinαtgα =откуда cosα=sin 2 α 11, то= , 2cos2α + cosα –2 = 0,2cos α2− 1± 17− 1± 17− 1± 17, но< –1, значит cosα=.444г) Поскольку tgα 1 − cos α1 − 1 − sin 2 α, то − 2 =,=2sin αsin α− 2 sin α − 1 = − 1 − sin 2 α , 1 + 2 2 sin 2 α + 2 sin 2 α = 1 − sin 2 α,3 sin 2 α + 2 2 sin α = 0, (3 sin α + 2 2 ) ⋅ sin α = 0 , но sinα ≠ 0,так что sin α = −cos2cos2 287.

Тогда cos2α = 1 – 2sin2α = 1 –2 ⋅ = – ;399α 11 1 2811= (1 + cosα) = (1 + 1 − sin2 α ) = (1 + 1 − ) = + = ,2 6 39222 2ααπ α 3π22=±, и так как, то cos = −.< <23232 2210759. а) lgtg1° + lgtg2° + … + lgtg89° tg1° = tg89°,поскольку tg1° = tg(90° –89°) = ctg89°, tg2° = ctg88°.lgtg1° + lgtg2° + … + lgtg89° = lg (tg1° ⋅ tg2° … tg89°) == lg (ctg89° ⋅ ctg88° ⋅ … ⋅ tg45° ⋅ … ⋅ tg88° ⋅ tg89°) = lg1 = 0.б) lgtg1°⋅ lgtg2°⋅…⋅ lgtg89° = lgtg1°⋅ lgtg2°⋅…⋅ lgtg45°⋅…⋅ lgtg89° = 0.60.

а) lgsin32° ⋅ lgcos7° ⋅ lgtg40° ⋅ lgctg20°.Все эти числа отрицательны; ctg20° – больше 1, его логарифм пооснованию 10 больше 0;следовательно, произведение трехотрицательных чисел и одного положительного числа числоотрицательное, значит, lgsin32°⋅ lgcos7°⋅ lgtg40° ⋅ lgctg20° < 0.б) lgtg2°+ lgtg4°+ lgctg2°+ lgctg4°= lg (tg2°⋅ tg4°⋅ ctg2°⋅ ctg4°) = lg1 = 0.61. Воспользуемся формулой tg2tgα1 − cos α=.21 + cos αyxz 1 − cos x 1 − cos y 1 − cos z+ tg 2 + tg 2 =++=222 1 + cos x 1 + cos y 1 + cos zaa1−bcbc = b+c−a + c+a−b + a+b−c =++++aaa+b+c a+b+c a+b+c1+1+b+cb+cТогдаab+c +a1+b+c1−1−b+c −a +c + a −b+ a +b−c a +b+c== 1.a+b+ca+b+c=7. Преобразования выражений,содержащих степени и логарифмы62. а) 3400 и 4300; 3400 = (34)100 = 81100, 4300 = (43)100 = 64100,поскольку 81 > 64, то 81100 > 64100, а значит, 3400 > 4300;б) –log57log 3 115=7и 7log 3 1log 3 1; –log51⎛1⎞= –log5 ⎜ ⎟5⎝5⎠−1= log55 = 1,= 7° = 1, следовательно, –log51log 1=7 3 ;5в) 5200 и 2500; 5200 = 25100, 2500 = 32100, так как32 > 25, то 25100 < 32100, значит, 5200 < 2500;г) log4 2 и log3log31081; log4 2 = log281( 2)121= log2 2 4 =11= log3(3)–4 = – 4; значит, log4 2 > log3 .81811,463.

а) log32 + log37 = log3 (2 ⋅ 7) = log314; log3 (2 + 7) = log39 = 2;y = log3t – возрастает, поскольку 3 > 1, значит, log314 > log39,поэтому, log32 + log37 > log3 (2 + 7);5б) log45 – log43 = log4 , log4 (5 – 3) = log42; y = log4t – возрастает,35так как 4 > 1, значит, log42 > log4 , значит, log45–log43<log4 (5–3);3в) 3log72=log78>0, log7 (3–2)=log71=0, значит, 3log72>log7 (3 – 2);г) log31,5 + log32 = log3 (1,5 ⋅ 2) = log33 = 1, log31,52 = log32,25, таккак у = log3t – возрастает и 3 > 2,25, то log32,25 < log33, поэтому,log31,5 + log32 > log31,52.1 1− log 9 4264.

а) 81 41log 5 8+ (5 3)2б) 24 log 4 a=1+ 25 log125 8 = 81 4 : 81log913 : 4 + (8 3 ) 21log−525a=4+ 25log125 8 = 4 81 : (9 log94 2) +3 3 2 33+ 8 = +4= 4 ;4442− a 0 = 2 2 log 2 a − 5 log5 a − 1 = 2 log 2 a − 5 log5 a − 1 == a 2 − a − 1.65. а) 491−log7 2 + 5 =1б) 36 266. а)log 6 549(7 log 7 2 ) 2+ 2−log 2 10 =+5 =36(6log 6 5 ) 2+491+ 5 = 12 + 5 = 17,25 ;4412log 2 10=6124 + 10+== 0,34 .25 10100lg 8 + lg 18 lg 144 lg 12 2 2 lg 12====2;2 lg 2 + lg 3 lg 12lg 12lg 12б) 2log0,33 – 2log0,310 = log0,39 – log0,3100 = log0,3 9100в)= log0,3(0,3)2= 2;3 lg 2 + 3 lg 5 lg 8 + lg 125 lg 10003==== −3 ;−1lg 13 − lg 130lg 0,1lg 0,1г) (2log122 + log123)(2log126 – log123) = log1212 ⋅ log1212 = 1.67. а) 25b3 4 с 7 при а = 5;log525 + log5b3 + log5 4 с 7 = 2 + 3 log5b +б)0,0016b 47c c27log5c;4при а = 0,2, b > 0, c > 0;109log0,20,0016 + 4 log0,2b – log0,2 с68.

a) log4x = 2log410 +x=410 2 ⋅ 81331251227= 4 + 4 log0,2b – 132log481 –log4125;43б) log 1 x = log 1 16 − log 1 8 + log 1 28 ;369. a)3б)337,832 ⋅ 4 12,985,256≈2102,3 292,14 ⋅ 6,3412log0,2c.7100 ⋅ 27= 108 ;25=21≈3x=16 ⋅ 28= 4.87,832 ⋅1,8981≈ 0,5381 ;27,625610465,3≈ 365,94 .4,5101 ⋅ 6,34170. log32 ⋅ log43 ⋅ log54 ⋅ log65 ⋅ log109 ==lg 2 lg 3 lg 4 lg 5 lg 6 lg 7 lg 8 lg 9lg 2⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅== lg 2 ≈ 0,3010 .lg 3 lg 4 lg 5 lg 6 lg 7 lg 8 lg 9 lg 10 lg 10( 3 − 1)( 3 + 1)3 −12,==3 +13 +13 +1( 6 + 2)( 6 − 2)6−42, то==6 +2 =6 −26 −26 −222+ log 2=log 2 ( 3 − 1) + log 2 ( 6 + 2) = log 23 +16 −2= log 2 2 − log 2 ( 3 + 1) + log 2 2 − log 2 ( 6 − 2) = 2 − A.71.

Характеристики

Список файлов книги