kolmogorov-gdz-11-№326-580 и 1-281 (991264), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

а) Если имеется общий корень, то х2–ах=х2–х – 3а, – ах = – х – 3а,х. При этом а оба выражения равных−31 ⎞х⎛нулю: х 2 −⋅ х = 0, х 2 ⎜1 −⎟ = 0, х1 = 0 или х – 4 = 0, х2 = 4.х−3х −3⎠⎝3а – ах = –х, а(3 – х) = –х, а =а1 = 0 или а2 = 4.Ответ: 0; 4.б) х2–(а–1)х–3 = 4 х2 – (4а + 3)х + 9, 3х 2 – (4 а + 3) х + (а – 1)х + 12 = 0,3х 2 + 12 = (4 а + – а + 1)х, 3а + 4 =этом а оба выражения равны нулю:1443 х 2 + 12 3 х 2 − 4 х + 12=. Прих3х()⎛ 3 х 2 − 4 х + 12 ⎞⎟ х − 3 = 0 , х 2 − 1 3х 2 − 4 х + 12 + х − 3 = 0 ,х2 − ⎜⎜⎟3х3⎝⎠3х 2 − 3 х 2 + 4 х − 12 + 3 х − 9 = 0, 7 х − 21 = 0,а=х =3.3 ⋅ 9 − 3 ⋅ 4 + 12=3.3⋅3в) х 2 + ах + 8 = х 2 + х + а, а ( х − 1) = х − 8, а =х −8.х −1Но при этом а каждое из данных выражений обращается в ноль,так что х2 +х −8х + 8 = 0, х2(х −1) + (х − 8)х + 8(х −1) = 0 ,х −1х 3 − х 2 + х 2 − 8 х + 8 х − 8 = 0,а=х 3 = 8,2−8= −6 .2 −1х = 2 . При х = 2 получимОтвет: –6.г) 2х2 + (3а – 1)х – 3 = 6х2 – (2а – 3)х – 1,4х2 – (2а – 3)х – (3а – 1)х + 2 = 0,(5а – 4)х = 4х2 + 2,4х 2 + 24х 2 + 4х + 2, а=.хх5а − 4 =При этом а оба значения⎛⎜⎝должны обращаться в ноль; 2 х 2 + ⎜ 3 ⋅2х 2 +()4 х 2 + 4 х + 2 ⎞⎟−1 х − 3 = 0 ,⎟5х⎠3 24 х + 4 х + 2 − х − 3 = 0 , 10 х 2 + 12 х 2 + 12 х + 6 − 5 х − 15 = 0 ,5− 7 ± 841− 7 ± 29, х2 =,4444114⋅ + 4⋅ + 21+ 2 + 2912== 2 илих1 =или х2 = −.

Тогда а1 = 4112115⋅5⋅2222х2 + 7 х − 9 = 0, D = 49 + 9 ⋅ 88 = 841, х1 =а2 ==4⋅81981− 4⋅ + 2 4⋅− 4 ⋅ 9 + 224 ⋅ 81 − 14 ⋅ 1112111121===9− 5⋅9− 5 ⋅ 9 ⋅ 11− 5⋅1122 ⋅ 8534.(77 − 2 ⋅ 81) = −=−5 ⋅ 995 ⋅ 9999Ответ: 2, −34.99145138. а) D = (k + 4) 2 − 4(k + 7)(k − 1) = −3k 2 − 16k + 44, − 3k 2 − 16k + 44 = 0 ,13или k1 = 2, k 2 = −7 ; при k = 1 также одно решение.Ответ: k = 2, k = −71и k = 1.3б) 9 x 2 − 2 x + k − 6 + kx = 0, 9 x 2 + (k − 2) x + k − 6 = 0,D = (k − 2) 2 − 4( k − 6) ⋅ 9 = k 2 − 40k + 220 ,k 2 − 40k + 220 = 0, D1 = 1600 − 880 = 720, k1 =k1 = 20 + 6 5 , k 2 =40 + 720,240 − 720, k 2 = 20 + 6 5 .2Ответ: при k = 20 + 6 5 и k = 20 – 6 5 .в) D = (2(k −1))2 − 4 ⋅ 3⋅ (2k − 5) = 4k 2 − 8k + 4 − 24k + 60 = 4k 2 − 32k + 64 ,k 2 − 8k + 16 = 0, k = 4 ; при k=4; при k=2,5 также х = 1 – один корень.Ответ: при k = 4 и k = 2,5.г) D = 36 − 4(k − 2) ⋅ 3k = 36 − 12k 2 + 24k , − 12k 2 + 24k + 36 = 0 ,k 2 − 2 k − 3 = 0, k1 = 3, k 2 = −1 ; при k = 0 – одно решение.Ответ: при k = –1, k = 3 и k = 0.139.

а) х1 + х2 =52; б) х1 ⋅ х2 = − ;33252 ⋅ 2 25 4 371в) х12 + х22 = ( х1 + х2 ) 2 − 2х1 ⋅ х 2 = ⎛⎜ ⎞⎟ +=+ ==4 ;⎝3⎠39399г) х13 + х23 = ( х1 + х2 )( х12 − х1 ⋅ х2 + х22 ) = ( х1 + х2 )( х12 + х22 − х1 ⋅ х2 ) ==5 ⎛ 1 2 ⎞ 5 ⎛ 37 + 6 ⎞ 5 ⋅ 43 215⋅⎜ 4 + ⎟ = ⋅⎜=.⎟=3 ⎝ 9 3 ⎠ 3 ⎝ 9 ⎠ 3⋅ 927140. а)6х − х 2 − 6 2х − 3−= 1, х ≠ 1, 6 х − х 2 − 6 − 2 х + 3 − х + 1 = 0 ,х −1х −1− х 2 + 3 х − 2 = 0, х 2 − 3 х + 2 = 0, х1 = 2, х 2 = 1 – не удовлетворяется.б)1462х + 14х1+= 5, х ≠ 0, х ≠ − , (2 х + 1) 2 + 4 х 2 − 5 х(2 х + 1) = 0 ,2х + 1х24 х 2 + 4 х + 1 + 4 х 2 − 10 х 2 − 5 х = 0,1.2х1 = –1, х2 =в)2х 2 + х − 1 = 0 ,Ответ: 0,5; –1.235+=,х 2 + 5 х 2 х − 10 х 2 − 254( х − 5) + 3х( х + 5) − 30 х=0,2 х( х 2 − 25)х ≠ 0,х ≠ 5,х ≠ −5 ,4х1 = − , х 2 = 5 –34Ответ: − .34 х − 20 + 3х 2 + 15 х − 30 х = 0, 3х 2 − 11х − 20 = 0,х2 условие лишено смысла.г)1423+2х − 4 (2 − х)=52(х + 2), х ≠ 2, х ≠ −2,142+32х − 4 (х − 2)−5(х + 2)2при=0,14( х + 2)( х − 2) + 3( х + 2) 2 − 5( х − 2) 2 = 0,14 х 2 − 56 + 3 х 2 + 12 х + 12 − 5 х 2 + 20 х − 20 = 0;3х 2 + 8 х − 16 = 0,141.

а)1х1 = −4, х 2 = 1 .345+= 2, 4(х2 + 5) + 5(х2 + 4) − 2(х2 + 4)(х2 + 5) = 0 ,х2 + 4 х2 + 54 х 2 + 20 + 5 х 2 + 20 − 2 х 4 − 18 х 2 − 40 = 0, − 2 х 4 − 9 х 2 = 0 , х = 0 ;б) 2х4 – 5х2 + 2 = 0.х2 = 2 или х2 =1, х1 =22 , х2 = – 2 , х3 = −22, х4 = −;222х −1⎛ х −1⎞⎛ х −1⎞= у, тогда⎟ − 3⎜⎟ + 2 = 0, х ≠ 0 . Пустьххх⎝⎠⎝⎠х −1х −1у2 – 3у +2 = 0, у1 = 2, у2 = 1, 1= 2, 2= 1 , х1 – 1 – 2х1 = 0,х1х2в) ⎜х1 = –1; х2 – 1 = х2 – корней нет;г)х2 + 1хх2 +1+= 2,5, х ≠ 0 . Пусть= у, у ≠ 0,ххх2 + 11 51у + − = 0, 2 у 2 − 5 у + 2 = 0, у1 = 2, у 2 = ,2у 2147х12 + 1х2 +1 1= 2, 2= , х12 − 2 х1 + 1 = 0, х1 = 1 ;2х1х22 х22 − х2 + 2 = 0 – корней нет.Ответ: 1.142. а) 2 х 2 + 6 х + 17 > 0, 2 х 2 + 6 x + 17 = 0, D < 0 , так кака = 2 > 0 и D < 0, то 2х 2 + 6х + 7 > 0 при всех х. Ответ: х ∈ (–∞; ∞).б) х2 –3,2х < 0, х2 –3,2х = 0, х(х –3,2) = 0, х1 = 0, х2 = 3,2; х2 –3,2х < 0при 0 < x < 3,2;в) (3х – 2)2 – 4х(2х –3) ≥ 0, 9х2 –12х + 4 – 8х2 +12х ≥ 0, х2 + 4 ≥ 0Ответ: х ∈ (–∞; ∞).при любом х.2г) (6х –1)(1 + 6х) + 14 < 7х(2 + 5х), 36х – 1 + 14 – 14х – 35х2 < 0,х2–14х+13<0; х2–14х+13=0, х1=1, х2=13; х2–14х+13<0 при 1< x < 13.143.а)( х − 1)( х − 2)⎛1⎞≥ 0 ; y(–2) < 0, y ⎜ ⎟ > 0,( х − 3)⎝2⎠⎛5⎞⎝2⎠y ⎜ ⎟ < 0, y(4) > 0.Ответ: х ∈ [1; 2] U (3; ∞).б)х 2 + 2х − 32х − 2х + 8≤0;( х − 1)( х + 3)( х 2 − 2 х + 8)≤ 0,х 2 − 2 х + 8 > 0 при любом х,( x − 1)( x + 3) ≤ 0, − 3 ≤ x ≤ 1 .Ответ: х ∈ [–3; 1].в)x−2< 0 ; ( х − 2)( х − 3)( х − 5) < 0 .( x − 3)( x − 5)Ответ: х ∈ (–∞; 2) U (3; 5).г)х 2 + 5х + 4х 2 − 5х − 6>0;( x + 1)( x + 4)> 0, ( x + 1) 2 ( x + 4)( x − 6) > 0 .( x − 6)( x + 1)Ответ: х ∈ (–∞; –4) U (6; ∞).148144.а) (х – 1)(х + 2)(х – 3)(х – 4) ≤ 0.Ответ: х ∈ [–2; 1] U [3; 4].б) х 4 − 3х 2 + 2 ≤ 0 ; х 4 − 3х 2 + 2 = 0 ,х1 = 1, х2 = –1, х3 =(х + 1)(х – 1)(х +в)4− х1,>х − 5 1− x2 , х4 = – 2 ;2 )(х –2 ) ≤ 0.

х ∈ [– 2 ; –1] U [1;2 ].( 4 − x)(1 − x) − ( x − 5)>0,( x − 5)(1 − x)4 − 5x + x 2 − x + 5> 0,( x − 5)(1 − x)( x − 3) 2>0,( x − 5)(1 − x)x 2 − 6x + 9> 0,( x − 5)(1 − x)( x − 3) 2 > 0 при х ≠ 3, ( x − 5)(1 − x ) > 0 при 1 < x < 5.Ответ: х ∈ (1; 3) U (3; 5).г) 1 +12x 2 + 12 − 7x227< , x ≠ 0,xх( x − 3)( x − 4)x2x< 0,x 2 − 7x + 12x2< 0, ( x − 3)( x − 4) ⋅ x 2 < 0,<0,x 2 > 0 при х ≠ 0.Ответ: х∈ (3; 4).145.а) m +б)в)4m 2 − 4m + 4 (m − 2) 2, при m>0 выражение больше нуля;−4==mmm2m−1=2m − 1 − m 2=−(m − 1) 2,эта разность при всех ma ba 2 − 2ab + b 2 (a − b) 2+ −2==,b aababпри а > 0 и b > 0 эта1 + m21 + m21 + m22mнеположительна, значит,≤ 1 при любых т;1 + m2разность неотрицательна, значит,a b+ ≥2;b aa a + c ab + ac − ab − bc c(a − b). Эта разность при a > 0,==−b b+cb(b + c)b(b + c)a a+cb > 0, c > 0 и a < b отрицательна.

Таким образом <.b b+cг)14912. Иррациональные уравнения и неравенства146. а)х 2 + 2 х + 10 = 2 х − 1;2х – 1 ≥ 0, х ≥х 2 + 2 х + 10 > 0 при любых х D < 0;1; х2 + 2х +10 = (2х −1)2, х2 + 2х +10− 4х2 + 4х −1 = 0 ,23х 2 − 6 х − 9 = 0, х 2 − 2 х − 3 = 0, х1 = 3, х 2 = −11условию х = .2Ответ: 3.⎧⎪ х 2 − 16 ≥ 0,х 2 − 16 = х 2 − 22; ⎨ 2⎪⎩ х − 22 ≥ 0;б)– не удовлетворяет⎧⎪ х ≥ 4,⎨⎪⎩ х ≥ 22 ;х2 – 16 = ( х 2 – 22)2, х 2 – 16 = х4 – 44 х 2 + 484, х4 – 45 х 2 + 500 = 0,х 2 = 25 или х 2 = 20, х1 = 5, х2 = –5, х3 = –2 5 , х4 = 2 5 ;х3, x4 не удовлетворяют условию |х| ≥22 .⎧ х + 1 ≥ 0,2⎩− 3х + 2 х + 17 ≥ 0;в) 17 + 2 х − 3х 2 = х + 1; ⎨17 + 2х – 3х2 = х2 + 2х + 1, 4 х2 – 16 = 0, х = 2, х = –2 – неудовлетворяют условию.х 2 + 9 = х 2 − 11; х 2 − 11 ≥ 0, х ≤ − 11 или х ≥ 11 ;г)х 2 + 9 = х 4 − 22х 2 +121, х 4 − 23х 2 +112 = 0, х1 = 4, х2 = −4, х3 = − 7 ,х4 = 7 , х3, х4 не удовлетворяют условиям.147.

а)⎧ х + 17 ≥ 0,х + 17 − х − 7 = 4; ⎨⎩ х − 7 ≥ 0;х ≥ 7;х + 17 − 2 ( х + 17)( х − 7) + х − 7 = 16, 2 х − 6 − 2 ( х + 17)( х − 7) = 0 ,( х + 17)( х − 7) = х – 3, ( х + 17)( х − 7) = х 2 − 6 х + 9,х2 – 7х + 17х – 119 – 9 + 6х – х2 = 0, 16х = 128, х = 8. Ответ: 8.б) 2 х −1 + 4 х −1 = 3; х −1 ≥ 0, х ≥ 1 . Пусть2у2 + у – 3 = 0, у1 = 1, у2 = −=−в)1503;244х − 1 = у, тогдах − 1 = 1, х – 1 = 1, х = 2; или43– не имеет смысла.2⎧ х + 7 ≥ 0,х + 7 + х − 2 = 9; ⎨х + 7 + 2 ( х + 7)( х − 2) + х − 2 = 81 ,⎩ х − 2 ≥ 0;х −1 =2 х + 5 + 2 ( х + 7)( х − 2) = 81, 2 ( х + 7)( х − 2) = 76 − 2 х,( х + 7)( х − 2) = 38 – х, х < 38, (х + 7)(х – 2) = 1444 – 76х + х2,х2 – 2х + 7х – 14 = 1444 – 76х + х2, 81х = 1458, х = 18.

Ответ: 18.г) 23 х + 1 − 6 х + 1 = 6; х + 1 ≥ 0, х ≥ −1 . Пусть 6 х + 1 = у , тогда122у2 – у – 6 = 0, у1 = − 1 , у2 = 2;6имеет смысла. х + 1 = 64, х = 63.148. а)х−42+ х1– не2Ответ: 63.2.3у1 = −2, у 2 = 1;х− х+5в)х +1 = −1х(2 + х) = 2 − х, х ≤ 2, 8х + х 2 = 4 − 4х + х 2 ,х + 4 х − 2 = 0; х ≥ 0 . Пустьб)6⎧ х ≥ 0,+ 2 + х = 0; ⎨х ≥ 0;⎩2 + х ≥ 0;х(2 + х) − 4 + 2 + х = 0,6 х = 4, х =х + 1 = 2 илих+ х+544х = у, тогда у2 + у – 2 = 0,х1 = −2 – не имеет смысла.4х 2 = 1, х2 = 1;1; х + 5 ≥ 0, х ≥ −5; 7 х − 7 х + 5 = х + х + 5 ,7=6х = 8 х + 5 , 36х2 = 64(х + 5), 36х2 = 64х + 320, 9х2 – 16х – 80 = 0,2022, х2 = − 2 . Ответ: 4; − 2 .9991г) 3 3х + 1 − 3х + 1 = 0; 3х + 1 ≥ 0, х ≥ − ; 6 (3х + 1) 2 − 6 (3х + 1) 3 = 0 ;3х1 = 4, х2 = −6()(3х + 1) 2 1 − 6 3х + 1 = 0,3х + 1 = 0,633х + 1 = 0 или 1 − 6 3х + 1 = 0,3х + 1 = 1, х = −11; 3х + 1 = 1, х = 0.

Характеристики

Список файлов книги