kolmogorov-gdz-11-№326-580 и 1-281 (991264), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Ответ: − ; 0.33149. а) 225 + х 2 = х 2 − 47; х 2 − 47 ≥ 0, х 2 ≥ 47, х ≤ − 47 или х ≥ 47 ;225 + х2 = х4 – 94х2 + 2209, х4 – 95х2 + 1984 = 0. Пусть х2 = у,тогда у2 – 95у + 1984 = 0, у1 = 64, у2 = 31; х2 = 64 или х2 = 31,х1 = 8, х2 = –8, х3 = 31 – не удовлетворяет условиям, х4 = – 31– не удовлетворяет условиям.Ответ: –8; 8.б)3х − 2 − 3 ( х − 2) 3 = 0,х − 2 = х − 2,3х − 2 = 0 или 1 − 3 ( х − 2) 2 = 0, х1 = 2,х – 2 = ±1, х2 = 3, х3 = 1.3⎛⎞х − 2 ⎜ 1 − 3 ( х − 2) 2 ⎟ = 0 . ;⎝⎠33( х − 2) 2 = 1,Ответ: 2; 3; 1.151в)х 2 + 36 = х 2 − 54; х 2 − 54 ≥ 0, х < − 54 или х >54 ,х – 109х + 2880 = 0. Тогда х = у, тогда у – 109у + 2880 = 0,у1 = 64, у2 = 45; х2 = 64 и х2 = 45, х1 = 8, х2 = –8,4222х3 = 3 5 и х4 = –3 5 – не удовлетворяют условиям.г)3х 3 − 5 х 2 + 16 х − 5 = х − 2, х − 5 х 2 + 16 х − 5 = х 3 − 6 х 2 + 12 х − 8 ,х 2 + 4 х + 3 = 0, х1 = −1, х 2 = −3 .150.
а)х 2 − 5 ≥ 2, х 2 − 5 ≥ 4, х 2 ≥ 9, х 5 ≤ −3 или х ≥ 3 .Ответ: х ∈ (−∞; − 3] U [3; ∞) .( x − 2)(1 − 2 х) > −1,б)( х − 2)(1 − 2 х ) ≥ 0, ( х − 2)(1 − 2 х) ≥ 0 ,Ответ: х ∈ [0,5; 2] .х ∈ [0,5; 2] .x 2 − 16 ≥ 1, x 2 − 16 ≥ 1, x 2 ≥ 16, х ≤ − 17 или х ≥в)17 .Ответ: х ∈ ( −∞; − 17 ] U [ 17 ; ∞) .г) ( х − 3)( х 2 + 1) > 0, х 2 + 1 > 0 ,х − 3 > 0,Ответ: х ∈ (9; ∞).х > 3 , х > 9.151. а)х 2 − 6 х + 9 > 3,( х − 3) 2 > 3, | x − 3 |> 3, x − 3 > 3 иОтвет: x ∈ ( −∞; 0) U (6; ∞) .х – 3 < –3, х > 6, х < 0.х 2 − 2х + 3б)2х 2 + х +1х − 3 > 0,≥ 0, 2х 2 + х +1 > 0 ;(D < 0),х 2 − 2 х + 3 ≥ 0, D < 0 , х – произвольное.х 2 − 2 х + 3 ≥ 0,Ответ: х ∈ (–∞; ∞).⎧⎪25 − 20 х + 4 х 2 ≥ 0, ⎪⎧(5 − 2 х ) 2 ≥ 0,25 − 20 х + 4 х 2 ≤ 1, ⎨⎨⎪⎩25 − 20 х + 4 х 2 ≤ 1; ⎪⎩(5 − 2 х ) 2 ≤ 1;в)-1 ≤ 5 - 2х ≤ 1, 2 ≤ х ≤ 3 .2 х − х 2 + 15 (3х + х 2 − 4) ≤ 0,г)Ответ: х ∈ [2; 3].2 х − х 2 + 15 (− х 2 + 3х − 4) ≤ 0 ,–х2 + 3х – 4 < 0; (D < 0), 2 х − х 2 + 15 ≥ 0, − х 2 + 2 х + 15 ≥ 0 ,х2 – 2х – 15 = 0, х1 = 5, х2 = –3, х ∈ [–3; 5].Ответ: х ∈ [–3; 5].15213.
Тригонометрические уравнения и неравенства152. а) cos x + 2 cos 2 x = 1,2 cos 2 x + cos x − 2 (1 − cos 2 x) − 1 = 0,2 cos 2 x + cos x − 2 + 2 cos 2 x − 1 = 0, 4 cos 2 x + cos x − 3 = 0.3; cosx1 = –1,433cosx2 = , x1 = –π + 2πn, n ∈ Z, x2 = ± arccos + 2πk, k ∈ Z.443Ответ: –π + 2πn, n ∈ Z; ± arccos + 2πk, k ∈ Z.4ππб) 4 sin 2x − 3sin(2x − ) = 5, 4 sin 2x + 3 sin( − 2x) = 5, 4 sin 2x + 3 cos2x = 5 ,22cos = y, 4у2 + у – 3 = 0, у1 = –1, у2 =8 sin x ⋅ cos x + 3 cos 2 x − 3 sin 2 x − 5 sin 2 x − 5 cos 2 x = 0, cos ≠ 0,8tg 2 − x8 tgx + 2 = 0 , tgx = y, 8у2 – 8у + 2 = 0,4у2 – 4у + 1 = 0, (2у –1)2 = 0, 2у = 1, у =Ответ: arctg11; x = arctg + πn, n ∈ Z.221+ πn, n ∈ Z.2в) 2 cos 2 x + 4 cos x = 3 sin 2 x, 2 cos 2 x + 4 cos x − 3 (1 − cos 2 x) = 0 ,2 cos 2 x + 3 cos 2 x + 4 cos x − 3 = 0, 5 cos 2 x + 4 cos x − 3 = 0 .
cosx = y,5у2 + 4у – 3 = 0, D = 16 + 60 = 76, х1 =х2 =− 2 + 19,5⎛ − 2 + 19 ⎞−2− 19− 2 + 19⎟ + 2πn, n ∈ Z ;, cosх =; х = ± arccos ⎜⎜⎟555⎝⎠cos х =− 2 − 19< −1 – не имеет смысла.5⎛ − 2 + 19 ⎞⎟ + 2πn, n ∈ Z .⎜⎟5⎝⎠Ответ: ± arccos ⎜г) cos 2 x + 4 sin 2 x = 2 sin 2 x , cos 2 x + 4 sin 2 x − 4 sin x ⋅ cos x = 0 ,cos x ≠ 0, 1 + 4 tg 2 x − 4 tgx = 0, 4tg 2 x − 4 tgx + 1 = 0, (2 tgx − 1) 2 = 0,2 tgx − 1 = 0, 2tgx = 0, tgx =11, x = arctg + πn, n ∈ Z .2212Ответ: arctg + πn, n ∈ Z .153sin 2x, (sin x − cos x)(sin2 x + sin x ⋅ cos x + cos2 x) =2= 1 + sin x ⋅ cos x, (sin x − cos x)(1 + sin x ⋅ cos x) − (1 + sin x ⋅ cos x) = 0 ,153.
а) sin3 x − cos3 x = 1 +(1 + sin x ⋅ cos x) ⋅ (sin x − cos x − 1) = 0,sin x − cos x − 1 = 0,1sin 2 x = −1,21 + sin x ⋅ cos x = 0 иsin x − cos x = 1, sin 2 x = −2 – неимеет смысла; sin x = 1 + cos x sin 2 x + cos 2 x − 2 sin x cos x = 1 ,− 2 sin x cos x = 0, sinx = 0 или cosx = 0, sinx ≥ 0, cosx ≤ 0,ππх = + 2πn, x = π + 2πn, n ∈ Z . Ответ: х = + 2πn, x = π + 2πn, n ∈ Z .22π4π4б) cos( + x) + cos( − x) = 1, ,π22 cos( ) cos x = 1, 2 cos x = 1, cos x =,42⎛π ⎞⎛π ⎞⎛π ⎞⎛π ⎞⎛π ⎞cos⎜ − x ⎟ ≥ 0, sin 2 ⎜ − x ⎟ + cos2 ⎜ − x ⎟ + 2 sin⎜ − x ⎟ cos ⎜ − x ⎟ = 1 ,4444⎠⎝4 ⎠⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎝x=±π+ 2πn, n ∈ Z ;4в) cos 4 x − sin 4 x =33,, (cos 2 x + sin 2 x)(cos 2 x − sin 2 x) =22π33π+ πn, n ∈ Z ;, cos 2x =, 2x = ± + 2πn, n ∈ Z , x = ±12226ππππ+x− +x+x+ −xππ6666г) sin ( + x) − sin ( − x) = 1, 2 sin⋅ cos=1,2266cos2 x − sin 2 x =2 sin x ⋅ cosπ3= 1, 2 sin x ⋅= 1,263 sin x = 1 , x = (−1)k arcsin13+ πk, k ∈ Z .154.
а) cos 4 x + 2 cos 2 x = 1, cos 2 2 x − sin 2 2 x + 1 + cos 2 x = 1 ,2 cos 2 2 x − 1 + 2 x + cos 2 x = 0 ; cos 2 x = у,11; cos 2 x = −1 или cos 2 x = ,22ππ2 x = π + 2πn, n ∈ Z , 2 x = ± + 2πk , k ∈ Z , x = + πn, n ∈ Z ;32πππx = ± + πk , k ∈ Z .Ответ:+ πn, n ∈ Z ; ± + πk , k ∈ Z .6262 y 2 + y − 1 = 0, y1 = −1, y 2 =154xxxxx⋅ cos , 4 ⋅ 2 cos 2 − 3 sin 2 ⋅ cos = 0 ,22222xxxxx πcos (8 cos − 3 sin 2 ) = 0 . cos = 0, = + πk , k ∈ Z , x1 = π + 2πk , k ∈ Z ;22222 2xx2 x8 cos − 3 + 3 cos= 0 ; cos= у,2221x3 y 2 + 8 y − 3 = 0, y1 = −3, y 2 = ; cos = −3 – не имеет смысла;32x 1x11cos = ;= ± arccos + 2πn, x = ±2 arccos + 4πn, n ∈ Z .2 32331Ответ: π + 2πk , k ∈ Z ; ± 2 arccos + 4πn, n ∈ Z .31в) cos 3 x + sin x ⋅ sin 2 x = 0, cos 3 x + (cos x − cos 3 x) = 0 ,211111cos3x + cos x − cos3x = 0, cos3x + cos x = 0, (cos3x + cos x) = 0 ,22222π1⋅ 2 cos 2 x ⋅ cos x = 0, cos 2 x = 0 или cosx = 0, 2 x = + πn, n ∈ Z ,22π πnπππ πn, n ∈ Z ; + πk , k ∈ Z .x = + πk , k ∈ Z , x = +, n ∈ Z .
Ответ: +42224 2xxxxxг) 4(1 − cos x) = 3 sin ⋅ cos 2 , 4 ⋅ 2 sin 2 − 3 sin ⋅ cos 2 = 0 ,22222xxxsin (8 sin − 3 cos 2 ) = 0 .222xx1) sin = 0, = πn, n ∈ Z , x = 2πn, n ∈ Z ;22xxxx2) 8 sin − 3 cos 2 = 0, 8 sin − 3 + 3 sin 2 = 0 ;2222x1xsin = у, 3 y 2 + 8 y − 3 = 0, y1 = −3, y 2 = ; sin = −3 – не имеет смысла;232x 1 x11ksin = , = (−1) arcsin + πk , k ∈ Z , x = 2 ⋅ (−1) k arcsin + 2πk , k ∈ Z .2 3 2331kОтвет: 2πn, n ∈ Z ; 2 ⋅ (−1) arcsin + 2πk , k ∈ Z .3б) 4(1 + cos x) = 3 sin 28x⎛ −4 x ⎞= 0, 2 sin 2 x ⋅ sin 4 x = 0 ,⎟ ⋅ sin22⎝⎠155. а) cos 2 x − cos 6 x = 0, − 2 sin ⎜sin 2 x = 0 или sin 4 x = 0, 2 x = πk , 4 x = πn, x =πkπn, k ∈Z , x =, n∈Z ;241554x⋅ cos x + sin 2 x = 0 ,22 sin 2 x ⋅ cos x + sin 2 x = 0, sin 2 x(2 cos x + 1) = 0, sin 2 x = 0 иб) sin x + sin 2 x + sin 3x = 0, 2 sin1πk2π2 cosx + 1 = 0, 2x = πk, cosx = − , x = , k ∈ Z ; x = ± + 2πn, n ∈ Z .223πk2πОтвет:, k ∈ Z ; ± + 2πn, n ∈ Z .23в) sin x + sin 3x = 0, 2 sin 2 x ⋅ cos x = 0, sin 2 x = 0 или cos x = 0 ,2 x = πn, n ∈ Z , x =ππn+ πk , k ∈ Z , значит, x =, n∈Z ;22π2sin x − sin 5 x − 2 cos 3x = 0, − 2 sin 2 x ⋅ cos 3 x − 2 cos 3 x = 0,г) cos( + 5 x) + sin x = 2 cos 3x, − sin 5 x + sin x − 2 cos 3x = 0 ,−2 cos 3x(sin 2 x + 1) = 0, cos 3 x = 0 и sin 2 x = −1, 3 x =n ∈ Z , 2x = −156.
а)π+ πn ,2ππ πnπ+ 2πk , k ∈ Z , x = + , n ∈ Z ; x = − + πk , k ∈ Z .26 346⎧ x ≠ πn, n ∈ Z ,= 3 − ctgx; ⎨6 = 3ctgx − ctg 2 x + 6 − 2ctgx ,ctgx + 2⎩ x ≠ arcctg(−2) + πn;ctg 2 x − ctg x = 0 , ctg x ( ctg x − 1) = 0 , ctg x = 0 и ctgx – 1 = 0,ππ+ πk , k ∈ Z ; ctgx = 1, x = + πn, n ∈ Z .24ππОтвет:+ πk , k ∈ Z ; + πn, n ∈ Z .24б) 1 + 2 cos 3 x ⋅ cos x − cos 2 x = 0, 1 + cos 2 x + cos 4 x − cos 2 x = 0 ,x=cos 4 x = −1, 4 x = π + 2πn, n ∈ Z , x =Ответ:в)π πn+, n∈Z .42π πn+, n∈Z .42π15= 11 − 2 sin x; sin x ≠ −1, x ≠ − + 2πn, n ∈ Z ;sin x + 1215 = 11 sin x + 11 − 2 sin 2 x − 2 sin x ; sinx = y,12 y 2 − 9 y + 4 = 0, y1 = 4, y 2 = ; sin x = 4 – не имеет смысла;21ππsin x = , x = (−1) k + πk , k ∈ Z .
Ответ: (−1) k + πk , k ∈ Z .266156г) ctgx +sin x= 2;1 + cos xπ⎧⎪ x ≠ + πn,⎨2⎪⎩cos x ≠ −1;π⎧⎪ x ≠ + πn,⎨2⎪⎩ x ≠ π + 2πn, n ∈ Z ;cos xsin x+− 2 = 0, cos x + cos 2 x + sin 2 − 2 sin x(1 + cos x) = 0 ,sin x 1 + cos xcos x + 1 − 2 sin x − 2 sin x ⋅ cos x = 0, (cos x + 1) − 2 sin x(1 + cos x) = 0 ,(cos x + 1)(1 − 2 sin x) = 0, cos x = −1 или122 sin x = 1, x = π + 2πn, n ∈ Z – неудовлетворяет условиям; sin x = , x = (−1) kπ+ πk , k ∈ Z .6π πnπ⎧⎧⎪⎪3 x ≠ 2 + πn, n ∈ Z , ⎪⎪ x ≠ 6 + 3 , n ∈ Z ,157.
а) tg3x − tgx = 0; ⎨⎨⎪ x ≠ π + πn, n ∈ Z ; ⎪ x ≠ π + πn, n ∈ Z ;⎪⎩⎪⎩22πnsin 2 xπn. Ответ: x =, n∈Z .= 0, sin 2 x = 0, 2 x = πn, n ∈ Z , x =2cos 3x ⋅ cos x2б) tgx − sin x = 2 sin 2xπsin x; x ≠ + πn, n ∈ Z ;− sin x = 1 − cos x ,22cos xsin x − cos x ⋅ sin x − cos x + cos 2 x = 0,sin x(1 − cos x) − cos x(1 − cos x) = 0, (1 − cos x)(sin x − cos x) = 0,1 − cosx = 0 и sin x − cosx = 0, cosx = 1, x = 2πn, n ∈ Z ; разделим на cos x ≠ 0,ππ+ πk, k ∈ Z . Ответ: 2πn, n ∈ Z ; + πk, k ∈ Z .44πв) sin x ⋅ tgx = cos x + tgx; x ≠ + πn, n ∈ Z ; sin x ⋅ tgx − cos x − tgx = 0 ;2tgx −1 = 0, tgx = 1, x =sin xsin2 x− cos x −= 0, sin2 x − cos2 x − sinx = 0, sin2 x −1+ sin2 x −sinx = 0 .cos xcos x1sinx = y, 2 y 2 − y − 1 = 0, y1 = 1, y 2 = − ; sin x = 1 и21πsin x = − ; x = + πk , k ∈ Z – не удовлетворяет условиям;22⎛ π⎞х = (−1) k ⎜ − ⎟ + πk , k ∈ Z .⎝ 6⎠г) sin x + sin 2 x = tgx, x ≠πsin x,+ πn, n ∈ Z ; sin x + 2 sin x cos x =2cos xsin x cos x + 2 sin x cos 2 x − sin x = 0, sin x(cos x + 2 cos 2 x − 1) = 0 ,sinx = 0, x = πk, k ∈ Z;1572cos2x + cosx – 1 = 0; y = cosx, 2y2 + y – 1 = 0, D = 9,12ππx2 = ± + 2πk, k ∈ Z .
Ответ: x = π + 2πk , k ∈ Z ; x = ± + 2πk, k ∈ Z .3312y1 = –1, y2 = , cos x = −1, x1 = π + 2πk , k ∈ Z , cos x = ,2π11 + 2 x 2π1 + 2x1= − , значит=, cos=− ,323332152 + 4х = –3, х = − , х = –1 .44158. а) arccosб) arctg(2 x − 1) = −π⎛ π⎞, так как tg⎜ − ⎟ = −1 , то 2х–1=–1, 2х = 0, х = 0;4⎝ 4⎠3x+23x+2π⎛ π⎞, то,=−= − , sin ⎜ − ⎟ = −43242⎝ 3⎠в) arcsin2х + 4 = –4 3 , 2х = –4 3 – 4, х = –2 3 – 2;г) arctg(2 − 3 x) =3π4нет решений, поскольку3π ⎛ π π ⎞∉⎜− ; ⎟ .4 ⎝ 2 2⎠159.а) sin(223π, − cos ≤,− x) ≤222cos ≥ −2.2Ответ: x ∈ [−б)3 tg (3π3π+ 2πn;+ 2πn], n ∈ Z .44π3π;− x) ≥ −1 , tg ( − x) ≥ −344−πππ+ πn ≤ − x < + πn ,642−π5π− πn < x ≤− πn, n ∈ Z .412π4Ответ: х ∈ (− − πn;1585π− πn], n ∈ Z .12xx 1x1− cos 2 x ⋅ cos > , − cos(2 x + ) > ,22 22211− cos(2,5 x) > , cos 2,5 x < − .22в) sin 2 x ⋅ sin4π2π+ 2πn < 2,5 x <+ 2πn, n ∈ Z ,334π 4πn8π 4πn+<x<+, n∈Z ;155155г) sin 3x ⋅ cos x + sin x ⋅ cos 3x ≤sin 4 x ≤3,23.2−4ππ+ 2πn ≤ 4 x ≤ + 2πn, n ∈ Z ,33−π πnπ πn+≤x≤+, n∈Z .32122160.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
