kolmogorov-gdz-11-№326-580 и 1-281 (991264), страница 21
Текст из файла (страница 21)
а) ⎨⎧⎪2 x + 3 y = 17⎪⎩2 x + 2 + 3 y +1 = 5;б) ⎨⎧ y = 3,⎨ x = 1.⎩⎧⎪2 x + 3 y = 17,2х = и, 3у = v,⎨⎪⎩4 ⋅ 2 x − 3 ⋅ 3 y = 5.⎧−4u − 4v = −68,⎧u + v = 17,− 7v = −63, v = 9, u = 8; 2 x = 8,⎨4u − 3v = 5; ⎨4u − 3v = 5;⎩⎩3 y = 9; x = 3, y = 2.⎧⎪3log3 ( y + x) = 2, ⎧ y + x = 2, ⎧ x + y = 2,⎨2 x + y = 4; ⎨2 x + y = 4; x = 2, y = 0.2 x+ y⎩⎩= 16;⎩⎪2в) ⎨⎧⎪log 2 ( y − x ) = 4,⎧3 x + 2 ⋅ 3 4 + x − 2 = 171,⎨xy −2= 171; ⎩ y = 4 + x;⎩⎪3 + 2 ⋅ 3г) ⎨3x + 2 ⋅ 34+ x −2 = 171, 3x + 18 ⋅ 3x = 171, 19 ⋅ 3x = 171, 3x = 9, x = 2, y = 6 .⎧⎪3 x ⋅ 7 y = 63,xy⎩⎪3 + 7 = 16.193. а) ⎨3 x = и; 7у = v,⎧u ⋅ v = 63,⎨u + v = 16;⎩⎧(16 − v)v = 63,16v − v 2 − 63 = 0, v 2 − 16v + 63 = 0, v1 = 7, v 2 = 9 ;⎨u = 16 − v;⎩1212u1 = 9, u2 = 7; 3x = 9, 3x = 7; x1 = 2, x2 = log3 7; 7 y = 7, 7 y = 9;у1 = 1, у2 = log 7 9 .Ответ: (2; 1); ( log 3 7 ; log 7 9 ).x⎧3 x − 2 2 y = 77,⎪x3 2 = и, 2у = v,⎨⎪⎩ 3 x − 2 y = 7; ⎪3 2 − 2 y = 7.⎩⎧⎪3 x − 2 2 y = 77,б) ⎨⎧u 2 − v 2 = 77, ⎧7(u + v) = 77, ⎧u + v = 11,⎨⎨u − v = 7;⎨u − v = 7; u = 9, v = 2;⎩⎩⎩u − v = 7;x3 2 = 9,x= 2, x = 4, 2 y = 2; y = 1.2Ответ: (4; 1).183⎧⎪4 x ⋅ 4 y = 64,⎪⎩4 x − 4 y = 63.в) ⎨u ⋅ v = 64,4х = и, 4у = v, ⎧⎨⎩u − v = 63;⎧(63 + v)v = 64, 2v + 63v − 64 = 0, v1 = −64, v2 = 1; u1 = −1, u2 = 64 ;⎨u = 63 + v;⎩4х = –64 – уравнение не имеет смысла; 4х = 1, х = 0;4у = –1 – уравнение не имеет смысла; 4у = 64, у = 3.xxx⎧⎪ xyг) ⎨ 2 − 3 = −7, 2 2 − 2 x = −2, 2 x − 2 2 − 2 = 0.
Пусть 2 2 = z,xy⎪⎩2 − 3 = −5;xxz 2 − z − 2 = 0, z1 = 2, z 2 = −1; 2 2 = 2, 2 2 = −1 – уравнение нетогдаимеет смысла;x= 1, х = 2; 22 – 3у = –5, 3у = 9, у = 2.2⎧lg x − lg y = 1,lgx = u, lgy = v,22⎩lg x + lg y = 5.194. а) ⎨⎧u − v = 1,⎨ 22⎩u + v = 5;⎧u = 1 + v,1 + 2v + v 2 + v 2 = 5, 2v 2 + 2v − 4 = 0 ,⎨22⎩(1 + v) + v = 5;v 2 + v − 2 = 0, v1 = −2, v2 = 1; u1 = −1, u2 = 2; lg x = −1, lg x = 2,x1 0,1, x 2 = 100; lg y = −2, lg y = 1, y = 0,01, y = 10.Ответ: (0,1; 0,001); (100; 10).⎧ x > 0, y > 0,⎧ x > 0, y > 0,⎧log 2 ( x 2 + y 2 ) = 5, ⎪⎪ 2222б) ⎨⎨log 2 ( x + y ) = log 2 32, ⎨ x + y = 32,+=2loglog4;xy42⎩⎪log 2 x + log 2 y = log 2 16; ⎪ xy = 16;⎩⎩16 2562422x= ,+ y = 32, y − 32 y + 256 = 0, ( y − 16) 2 = 0,yy2y1 = 4, y2 = −4 − на удовлетворяет условию x > 0; x1 = 4 .
Ответ: (4; 4).lg x − lg y = 7, ⎧ x > 0,в) ⎧⎨2 lg x = 12, lg x = 6, x = 10 6 ; 6 + lg y = 5,⎨⎩lg x + lg y = 5; ⎩ y > 0;1lg y = −1, y = .10⎧1⎞⎛⎪log 2 ( x + 1) = log 2 ⎜ y + ⎟,⎪4⎠⎝г) ⎨1⎛⎞⎪log x − 2 log ⎜ y − ⎟ = 0;222⎠⎝⎩⎪184Ответ: (106; 0,1).⎧ x > 0,⎪ x + 1 > 0,⎪⎪1⎨ y + > 0,4⎪⎪ y − 1 > 0;2⎩⎪⎧ x > 0,⎪ x > −1,⎪⎪1⎨y > − ,4⎪⎪y > 1 ;2⎩⎪⎧ x > 0,⎪⎨y > 1 ;⎪⎩21⎧⎪x + 1 = y + 4 ,⎪2⎨⎪ x = ⎛⎜ y − 1 ⎞⎟ ;2⎠⎝⎩⎪y2 − y +3⎧2⎪x − y = − 4 ,1⎞3⎛⎪⎜y− ⎟ −y =− ,2⎨1⎛⎞24⎝⎠⎪x = ⎜ y − ⎟ ;2⎠⎝⎩⎪13− y + = 0, y 2 − 2 y + 1 = 0, ( y − 1) 2 = 0, y = 1, x = 0,25.44⎧ y − log3 x = 1,⎧y = 1+ log3 x,⎧ y = 1+ log3 x,x > 0, x ≠ 1.
⎨⎨(1+ log x) log x = 12.y12yxlog=12log3;x=3;3333⎩⎩⎩195. а) ⎨log 3 = z, (1 + z)z = 12, z2 + z – 12 = 0, z1 = –4, z2 = 3;log 3 x1 = –4, log 3 x2 = 3; x1 =y2 = 1+ 3 , y2 = 4.1, x2 = 21; y1 = 1 – 4, y1 = –3,811Ответ: ( ; –3); (27; 4).81⎧ x 2 + y 2 ≠ 0,⎪ 22⎨ x − y ≠ 0,⎪ x > y;⎪⎩⎧⎪ 1+ log 3 ( x 2 + y 2 ) = 15,б) ⎨3⎪⎩log 3 ( x 2 − y 2 ) − log 3 ( x − y ) = 0;⎧3 ⋅ 3 log3 ( x 2 + y 2 ) = 15,⎪⎨ x2 − y2= 1;⎪⎩ x− y()⎧3 x 2 + y 2 = 15,⎨⎩( x + y ) = 1;⎧3(1 − y ) 2 + 3 y 2 = 15,⎨⎩ x = 1 − y;3 – 6у + 3у2 + 3у2 – 15 = 0, 6у2 – 6у – 12 = 0, у2 – у – 2 = 0,у1 = 2, у2 = –1; х1 = –1, х2 = 2; (–1; 2) – не является решением системы.⎧⎪log x + 3 log3 y = 7, ⎧log 5 x + y = 7,⎧ y = 7 − log 5 x,5⎨ y log x = 12 log 5; ⎨ y (log x) = 12;12y555⎩⎩⎩⎪ x = 5 ;в) ⎨(7 − log 5 x ) ⋅ log 5 x = 12. log 5 х = z, (7 – z)z = 12,7 z − z 2 − 12 = 0, z 2 − 7 z + 12 = 0, z1 = 3, z2 = 4; log5 x1 = 3,х1 = 125, у1 = 4; log 5 x 2 = 4 , х2 = 625, у2 = 3.Ответ: (125; 4); (625; 3).()⎧5 ⋅ x 2 − y 2 = 25,⎧⎪51+ log 5 ( x 2 − y 2 ) = 25,⎪ 2г) ⎨⎨x − y2= 1;⎪⎩log 5 x 2 − y 2 = log 5 ( x + y ); ⎪⎩ x+ y(⎧ x + y = 5,⎨ x − y = 1;⎩)x = 3, y = 2.⎧ x 2 − y 2 = 5,⎨⎩ x − y = 1;Ответ: (3; 2).185⎧log 4 x − 2 log 4 y = 0,⎧log 4 x − log 2 y = 0, ⎪ 22196.
а) ⎨ 2⎨ x − 2 y = 8;2⎩ x − 2 y = 8;⎪ x > 0, y > 0;⎩х = у2, у4 – 2у2 – 8 = 0, у = 2 или у = –2 – не удовлетворяет условиюсистемы; у = 2, х = 4. Ответ: (4; 2).⎧⎪ 2 x − y= 81,б) ⎨3⎪⎩lg xy = 1 + lg 3;⎧ 2 x− y= 34 ,⎪⎪3⎨lg xy = lg 10 ⋅ 3,⎪ x > 0, y > 0;⎪⎩⎧ x > 0, y > 0,⎪⎨2 x − y = 4, Пусть⎪ x ⋅ y = 30.⎩x = и,⎧ x > 0, y > 0,⎪⎨2 x − y = 4,⎪ xy = 30;⎩2u − v = 4,y = v, тогда ⎧⎨⎩u ⋅ v = 30;⎧v = 2u − 4,22⎨u ⋅ (2u − 4) = 30; 2u − 4u − 30 = 0, u − 2u − 15 = 0, u1 = 5, u2 = −3 ;⎩v1 = 6, v 2 = −10;x = 25,y = 6,x = 5,y = −10 – уравнение решений не имеет; у = 36.⎧log 9 x − log 3 y = 0,22⎩ x − 5 y + 4 = 0;в) ⎨x = −3 – уравнение решений не имеет;⎧ x > 0, y > 0,⎪2⎨x = y ,⎪ x 2 − 5 y 2 + 4 = 0;⎩y 4 − 5y 2 + 4 = 0 ,у = 2, х = 4; у = –2 – не удовлетворяет условию;у = 1, х = 1; у = –1 – не удовлетворяет условию.Ответ: (4; 2), (1; 1).⎧⎪2 log 2 x − 3 y = 15,yy +1⎩⎪3 log 2 x = 2 log 2 x + 3 .г) ⎨2u − v = 15,Пусть log 2 х = и, 3у = v, тогда ⎧⎨⎩v ⋅ u = 2u + 3v;⎧v = 2u − 15,⎨(2u − 15)u = 2u + 3(2u − 15);⎩2u 2 − 15u − 2u − 6u + 45 = 0 ,2u 2 − 23u + 45 = 0, u1 = 9, u 2 = 2,5; v1 = 3, v 2 = −10; log 2 x1 = 9 ,log 2 x 2 = 2,5; x1 = 512, x 2 = 2 2,5 ; 3 y = 3, y1 = 1, 3 y = −10 –не имеет смысла.
Ответ: (512; 1).186уравнение20. Задачи на составление уравненийи систем уравнений197. Пусть х км/ч – скорость автобуса по старому расписанию,тогда (х + 10) км/ч – скорость по новому расписанию; t – времядвижения по старому расписанию; (t –2) – время движения по3новому расписанию.
Составим систему уравнений:325⎧⎪⎪ x = t ,⎨⎪ xt − 2 x + 10t − 20 = xt;⎪⎩33325–2х + 30t – 20 = 0, −+ 15t − 10 = 0, 3t 2 − 2t − 65 = 0, t1 = 5,t26– не является решением по смыслу задачи;t2 = −6⎧ x ⋅ t = 325,⎪⎨(x + 10 )⎛⎜ t − 2 ⎞⎟ = 325;⎪⎝ 3⎠⎩х = 325 : 5 = 65 (км/ч); х + 10 = 65 + 10 = 75 (км/ч).Ответ: скорость автобуса по старому расписанию 65 км/ч, поновому – 75 км/ч.198. Пусть скорость течения х км/ч, тогда (15 – х) км/ч – скоростьлодки против течения и (х + 15) км/ч – скорость лодки по течению.Можно составить уравнение по условию задачи.111394184183 +3 = 20,+= 20, x ≠ 15, x ≠ −15;3( x + 15) 3(15 − x)x + 15 15 − x139418(15–х)+418(х+15)=60(152–х2), 418(15 – х + х + 15) = 30(152 – х2),209 ⋅ 30 = 30 ⋅ (15 2 − x 2 ), 209 = 15 2 − x 2 , x 2 = 16, x1 = −4 – не являетсярешением: х2 = 4.
Ответ: скорость течения 4 км/ч.199. Пусть х км/ч – первоначальная скорость; t – время в пути,16тогда х ⋅ t = 220; (х + 5) км/ч – новая скорость, (t – 2 ) ч – время,16затраченное на оставшийся путь, тогда 2х + (х + 5)(t – 2 ) = хt.Получим систему уравнений:⎧ 220⎧ x ⋅ t = 220,t=,⎪⎪⎪x⎨2 x + ( x + 5)⎛⎜ t − 2 1 ⎞⎟ = xt; ⎨⎪⎪2 x + xt + 5t − 2 1 x − 65 = xt;6⎠⎝⎩66⎩⎪187220⎧t=,⎪⎪x⎨⎪5t − 1 x − 65 = 0;⎪⎩66x 2 + 65 x − 6600 = 0,5 ⋅ 220 x 65− −= 0, 6600 − x 2 − 65 x = 0,x6 6x1 = 55,x2 = −120 – не является решением.Ответ: первоначальная скорость 55 км/ч.200. Пусть ч км/ч – скорость I теплохода, тогда (x + 6) км/ч –скорость второго теплохода.
Т.к. они двигались перпендикулярно:(2 x) 2 + ( 2( x + 6)) 2 = 602 , 4 x 2 + 4( x + 6) 2 = 60 2 ,4 x 2 + 4 x 2 + 48 x + 144 = 3600, x 2 + 6 x − 432 = 0, x1 = 18, x2 = −24 –не решение. х + 6 = 18 + 6 = 24 (км/ч). Ответ: 18 км/ч, 24 км/ч.201. Пусть t – время до встречи первого тела; (t – 5) с – времядвижения второго тела. Путь первого тела:t12 + 6(t − 1)= 6t + 3t 2 − 3t = 3t 2 + 3t .2Путь второго тела: 12(t – 5).
3t 2 + 3t + 12t − 60 = 390 ,t 2 + 5t − 150 = 0, t1 = 10, t2 = −15 – не является решением, т.к. мыпользуемся положительным временем.Ответ: 10 с.202. Пусть п – дневная норма по плану; тогда2160 2320 − 3n=+ 4, 2160n + 80 ⋅ 2160 = 2320n − 3n 2 + 4n 2 + 320n ,nn + 80n 2 + 480n − 172800 = 0, n1 = 240, n 2 = −700 – не может выражать объемгрунта.Ответ: 240 м3.203. Пусть х – число дней, необходимое I бригаде, тогда х + 6 –число дней, необходимое второй бригаде. Имеем уравнение:111+= , x2 + 6 x − 8x + 24 = 0, x 2 − 2 x − 24 = 0, x1 = 6, x2 = −4 – неx x+6 4может выражать число дней; х + 6 =12Ответ: 6 дней, 12 дней.204. Пусть затребовали х машин; грузоподъемность каждой60машины.
Имеем уравнение:x6060− 0,5 =, 120( x + 4) − ( x + 4) x = 120 x, x 2 + 4 x − 480 = 0 ,xx+4х1 = 20, х2 = –24 – не является решением.Ответ: 20 машин.188205. Пусть х% меди в первом куске, (х + 15)% меди во второмкуске. Имеем уравнение:5 ⋅100 4 ⋅100+= 30, 50 x + 750 + 40 x = 3 x 2 + 45 x, x 2 − 15 x − 250 = 0 ,xx + 15х1 = 25, х2 = –10 – не является решением.Ответ: 25%40х206.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
