kolmogorov-gdz-11-№326-580 и 1-281 (991264), страница 23

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 23)

а) f ( x) = x 2 ( x − 2) 2 = x 4 − 4 x3 + 4 x 2 ;1) D( f ) : x ∈ (−∞; ∞); 2) E ( f ) : y ∈ (−∞; 0);3) нули: x 2 ( x − 2)2 = 0,х1 = 0, х2 = 2;4) промежутки знакопостоянства:f (–2) > 0 ; f (5) > 0; f (1) > 0, y ≥ 0 при любом х;1985) f (− x) = (− x)2 (− x − 2)2 = x 2 (− x − 2)2 ≠ f ( x) ≠ − f ( x),ни четная, ни нечетная;6) f ′( x) = 4 x3 − 12 x 2 + 8 x; найдем критические точки:4 x 3 − 12 x 2 + 8 x = 0, 4 x ( x 2 − 3x + 2) = 0, x1 = 2, x 2 = 1, x 3 = 0,возрастает прих ∈ [0; 1] ∪ [2; ∞],убывает при х ∈ (–∞; 0] ∪∪ [1; 2], x min = 0, x min = 2, x max == 1,f ′(3) > 0, f (0) = 0,f (1) = 1, f (2) = 0;8 x 16 + x 2+ =;x 22x1) D( f ) : x ∈ (−∞; 0) U (0; ∞); 2) E ( f ) : y ∈ (−∞; 4) U (4; ∞);б) f ( x) =3) нулей нет;4) знакопостоянство:y > 0 при x > 0, y < 0 при x < 0;5) f (− x) =16 + (− x) 216 + x 2=−= − f ( x) –2(− x)2xнечетная;6) f ′( x) ===(4x4 x 2 − 32 − 2 x 24x 22 x 2 − 324x 2)2 x ⋅ 2 x − 16 + x 2 2=2==x 2 − 162x 2;7) критические точки:x 2 − 16= 0, х1 = 4, х2 = –4;2x 2f ′(5) > 0, f (1) < 0, f ′(−1) < 0, f ′(−5) > 0;x max = −4,f (–4) = –4, xmin = 4,f (4) = 4,возрастает при х ∈ (–∞; –4] ∪ [4; ∞),убывает при х ∈ [4; 0) ∪ (0; 4];199в) f ( x) = x3 − 3x 2 − 9 x;1) D( f ) : x ∈ (−∞; ∞);2) E ( f ) : y ∈ (−∞; ∞);3) нули: x3 − 3x − 9 x = 0,x( x3 − 3x − 9) = 0,х1 = 0,х2 =3+3 53−3 5, х3 =;224) знак: f (20) > 0;5) f ′(− x) = (− x)3 − 3(− x 2 ) − 9(− x) = − x3 − 3x 2 + 9 x ≠ f ( x) ≠ − f ( x) –ни четная, ни нечетная;6) f ′( x) = 3x 2 − 6 x − 9; найдем критические точки:3х2 – 6х – 9 = 0,х2 – 2х – 3 = 0,х1 = 3, х2 = –1;возрастает при х ∈ (–∞; –1] ∪ [3; ∞), убывает при х ∈ [–1; 3],xmax = –1, xmin = 3, f (–1) = 5, f (3) = –27;x;4 − x21) D( f ) : x ∈ (−∞; 2) U (−2; 2) U (2; ∞);г) f ( x) =2) E ( f ) : y ∈ (−∞; ∞);3) нули:x4 − x2= 0, x = 0,4) знак:f (3) < 0, f (1) > 0, f (–1) < 0, f (–3) > 0;5) f (− x) =200−x4 − (− x)2=−x4 − x2– функция нечетная;6) f ( x) =4 − x 2 − x(−2 x)(4 − x 2 ) 2=4 − x 2 + 2x 2=(4 − x 2 ) 2x2 + 4(4 − x 2 ) 2;х = ± 2 – точки разрыва функции;возрастает при х ∈ (–∞; –2) ∪ (–2; 2) ∪ (2; ∞), f (5) > 0,f ′(0) > 0,f ′( −5) > 0, экстремумов нет.233.а) f ( x) = 1 − 2 sin 2 x;1) D( f ) : x ∈ (−∞; ∞);2) E ( f ) : y ∈ [−1; 3];3) нули: 1 – 2sin2x = 0,1, 2x =2π= (−1) k + πk , k ∈ Z ,6πx = (−1) k + πk , k ∈ Z ,6sin 2 x =4) знак:f (− x) = 1 − 2 sin(−2 x) = 1 + 2 sin 2 x ≠ f ( x) ≠ − f ( x) – ни четная, ни5)нечетная;6) f ′( x) = −4 cos 2 x;критические точки: –4cos2x = 0, 2 x =ππ πn,+ πn, n ∈ Z , x = +24 2n ∈ Z; возрастает приπ⎡ 3π⎤+ πn; − + πn⎥, n ∈ Z ,4⎣ 4⎦х ∈ ⎢−⎡ π⎣ 4убывает при х ∈ ⎢− + πn;π⎤+ πn⎥, n∈Z ,4⎦πππxmax = − + πn, n ∈ Z , xmin = + πn, n ∈ Z, f (− + πn) = 3, n ∈ Z ,444πf ( + πn) = −1, n ∈ Z ;42017) периодическая с Т = π;б) f ( x) = cos2 x − cos x ;1) D( f ) : x ∈ (−∞; ∞) ;142) E ( f ) : y ∈ [− ; 2] ;3) нули: cos2x – cosx = 0,cosx(cosx – 1) = 0,cosx1 = 0 или cosx2 – 1 = 0, x1 =π+ πn, n ∈ Z ,2cosx2 = 1, x2 = 2πk, k ∈ Z;4) знак:5) f (− x) = cos2 (− x) − cos(− x) = cos2 x − cos x – четная;6) f ′( x) = −2 cos x ⋅ sin x + sin x = sin x(1 − 2 cos x) ;критические точки: sin x(1 − 2 cos x) = 0, sinx1 = 0 или1 − 2 cos x = 0,x1 = πn, n ∈ Z , cos x =1,2x2 =π+ 2πk , k ∈ Z ,3π+ 2πk , k ∈ Z ,3= πn, n ∈ Z ,x3 = −x maxππ+ 2πk , x min = − + 2πk , k ∈ Z ;3311⎛ π⎞⎛ π⎞f ⎜ − ⎟ = − , f (0) = 0, f ⎜ ⎟ = − , f (π) = 2 ; возрастает при3432⎝⎠⎝ ⎠x min =ππ+ 2πn; 0 + 2πn] ∪ [ + 2πn; π + 2πn], n ∈ Z ,33π5πубывает при х ∈ [2πn; + 2πn] ∪ [π + 2πn;+ 2πn; ], n ∈ Z ;33х ∈ [−7) периодическая с Т = 2π;в) f ( x) = 3 − cos202x;21) D ( f ) : x ∈ ( −∞; ∞ ) ; 2) E ( f ) : y ∈ [ 2; 4] ;xx= 0, cos = 3 , нет корней;224) y > 0 при всех х ∈ D(f);xx5) f ( − x) = 3 − cos(− ) = 3 − cos – четная;223) нули: 3 − cos6) f ′( x) =1xsin ;22критические точки:1xxsin = 0,= πn, x = 2πn, n ∈ Z ;222возрастает на [0 + 2πn; 2π + 2πn], n ∈ Z , убывает на[2π + 2πn; 4π + 2πn], n ∈ Z ; xmax = 2π + 4πn, n ∈ Z ,f ( 2π) = 4, xmin = 4πn, n ∈ Z , f (0) = 2 .7) периодическая с Т = 4π;г) f ( x ) = sin 2 x − sin x ;1) D( f ) : x ∈ (−∞; ∞) ;142) E ( f ) : y ∈ [− ; 2] ;3) нули:sin2x – sinx = 0, sinx(sinx – 1) = 0,sin x1 = 0 или sin x 2 = 1, x1 = πn, n ∈ Z , x 2 =π+ 2πk , k ∈ Z ;24) знак:5) f ( x) = sin 2 (− x) − sin(− x) = sin 2 x + sin x ≠ f ( x) ≠ − f ( x) –ни четная, ни нечетная;6) f ′( x) = 2 sin x ⋅ cos x − cos x ;критические точки: 2 sin x ⋅ cos x − cos x = 0 ,cos x(2 sin x − 1) = 0, cos x = 0, x =x = (−1) kπ1+ πn, n ∈ Z , sin x = ,22π+ πk , k ∈ Z , возрастает при6203π3π⎡π⎤ ⎡ 5π⎤х ∈ ⎢ + 2πn; + 2πn⎥ U ⎢ + 2πn;+ 2πn⎥, убывает при22⎣6⎦ ⎣ 6⎦π5π⎡ π⎤ ⎡π⎤+ 2πk ⎥, n ∈ Z , k ∈ Z ,х ∈ ⎢− + 2πk ; + 2πk ⎥ U ⎢ + 2πk ;66⎣ 2⎦ ⎣2⎦ππ+ πn, n ∈ Z , x min = (−1) k + πk , k ∈ Z ;621⎛ 5π ⎞⎛ 3π ⎞⎛π⎞f ⎜ ⎟ = 0, f ⎜ ⎟ = − ; f ⎜ ⎟ = 2 .4⎝2⎠⎝ 6 ⎠⎝ 2 ⎠x max =7) периодическая с Т0 = 2π.234.а) f ( x) = x ln x ; 1) D( f ) : x ∈ (0; ∞) ;⎡⎞; ∞ ⎟⎟ ;⎣ e⎠2) E ( f ) : y ∈ ⎢−22x ln x = 0, x1 = 0 ,3) нули:x 2 = 1; 0 ∈ D ( f ) ;4) знак:5) ни четная, ни нечетная;6) y ′( x) =12 xln x + x1 ln xx=+;x 2 xxкритические точки:ln x2 x+xx ln x + 2 x= 0,= 0 , x ln x + 2 x = 0, x (ln x + 2) = 0 ,x2x xx1 = 0, ln x2 = −2, 0 ∈ D( f ), x2 = e−2 ; возрастает при x > e-2,убывает при х ∈ (0; е-2]; xmin = e− 2 ,2⎛ 1 ⎞f ⎜⎜ 2 ⎟⎟ = − .e⎝e ⎠7) не периодическая.ex; 1) D ( f ) : x ∈ ( −∞; 0) U (0; ∞) ;x2) E ( f ) : y ∈ (−∞; 0) U [e; ∞) ;б) f ( x) =3) нулей нет;4) знак:204y > 0 при x > 0, y < 0 при x < 0;5) f ( − x) =e −x1=−≠ f ( x) ≠ − f ( x) – ни четная, ни нечетная;−xxe x6) f ′(x) = критические точки:exx −exe x ( x − 1)=0,= 0, x = 1 ,x2убывает при x ∈ (−∞; 0) и (0; 1], возрастает приx2x ∈ [1; ∞);x min = 1,f (1) = e ;7) не периодическая;2в) f ( x) = 2 x − 4 x ;1) D ( f ) : x ∈ (−∞; ∞) ;2) E ( f ) : y ∈ [1; ∞) ;163) нулей нет;4) y > 0 при всех х ∈ D(f);f (− x) = 2 (− x)5)2− 4( − x )= 2x2+4 x≠ f ( x) ≠ − f ( x)– ни четная, нинечетная;6) f ′( x) = 2 x2x22−4 x⋅ ln 2 ⋅ (2 x − 4) ;−4 x⋅ ln 2 ⋅ (2 x − 4) =0,возрастает при x ∈ [2; ∞) , убывает при x ∈ (−∞; 2] ,x min = 2, f (2) =1;167) не периодическая;г) f ( x) = x − ln x ;1) D( f ) : x ∈ (0; ∞) ; 2) E ( f ) : y ∈ [1; ∞) ; 3) нулей нет;4) знак y > 0 при всех х;5) ни четная, ни нечетная;6) f ′( x) = 1 −1 x −1;=xxкритические точки:x −1= 0, х = 1,xубывает при х ∈ (0; 1],возрастает при х ∈ [1; ∞),x min = 1, f (1) = 1 ;7) не периодическая.205235.

а) Найдем значения функции на концах промежутка:f (1) = 18 ⋅ 1 + 8 ⋅ 1 − 3 ⋅1 = 18 + 8 − 3 = 23 , f (3) = 18 ⋅ 9 + 8 ⋅ 27 − 3 ⋅ 81 = 135 .Критические точки функции:f ′( x) = 36 x + 24 x 2 − 12 x3 , 36 x + 24 x 2 − 12 x3 = 0 ,3x + 2 x 2 − x3 , x(3 + 2 x − x 2 ) = 0, x1 = 0 ,x 2 − 2 x − 3 = 0, x2 = 3, x3 = −1, − 1 ∈ [1; 3] .Значение функции в критической точке: f (0) = 0.Ответ: наибольшее значение функции равно 135, наименьшее – 0.б) f (0) = 2 cos 0 − cos 0 = 2 − 1 = 1, f (π) = 2 cos π − cos 2π = −2 − 1 = −3 ,f ′( x) = −2 sin x + 2 sin 2 x, −2 sin x + 2 sin 2 x = 0, − 2 sin x + 4 sin x ⋅ cos x = 0 ,− 2 sin x(1 − 2 cos x) = 0, sin x = 0, cos x =1π, x = π, x = ,23πππ1f (π) = −3, f ( ) == 2 cos − cos = 1 .233321в) f ( x) = + x 2 , [ ; 1] ,x221122⎛1⎞ 2 ⎛1⎞f ⎜ ⎟ = + ⎜ ⎟ = 4 + = 4 , f (1) = + 1 = 3, f ′( x) = −+ 2x ,1441⎝2⎠⎝2⎠x222f ′( x) = 0, −+ 2 x = 0, − 2 + 2 x 3 = 0, x 3 = 1, x = 1, f (1) = 3 .x2г) f ( x) = sin x − x, [− π; π], f (− π) = sin( − π) − (− π) = π,ππ πf (π) = sinπ = −π, f ′(x) = cosx −1, cosx − 1 = 0, cosx = 1, x = , f ( ) = .222Ответ: наибольшее значение функции π , наименьшее – π .236.

Если первое слагаемое х, то второе слагаемое 10 – х.Исследовав функцию у = х3 + (10 – х)3 на [0; 10], найдем еёа) наибольшее; б) наименьшее значения на этом промежутке.f (0) = 1000, f (10) = 1000, f ′(x) = 60x – 300, 60x – 300 = 0, x = 5;f (5) = 125 + 125 = 250.237. Пусть первый катет х см, тогда второй 20 – х см. ИсследуемфункциюS ( x) =1x(20 − x) , равную площади этого треугольника,2найдем её наибольшее значение на D(S).S′(x)=10–x, S′(15)<0, S′(5)>0,10 – точка максимума.Ответ: I, II катеты по 10 см.206238.

Пусть одна диагональ х см, вторая 12 – х см. Сумма квадратовдиагоналей равна сумме квадратов всех его сторон.P ( x) = x 2 + (12 − x) 2 на D(P).P′( x) = 4 x − 24, 4 x − 24 = 0, x = 6,х = 6 – точка минимума, значит, S (6) = 72 – нименьшее значение.Ответ: 72 см2.239.Пусть первая машина находится впункте В, а вторая в пункте А.Когда первая машина прибудет впункт D, а вторая машина в пунктЕ. Это время обозначим t.DC = 2 – 40t, EC = 3 – 50t,DE = (2 − 40t ) 2 + (3 − 50t ) 2 .S (t ) = (2 − 40t ) 2 + (3 − 50t ) 2Рассмотрим функциюнаименьшее значение на М(S).8200t − 460S ′(t ) =22 (2 − 40t ) + (3 − 50t )2, 8200t − 460 = 0, t =и найдем её23,410(2 − 40t )2 + (3 − 50t )2 = 4 − 160t + 1600t 2 + 9 − 300t + 2500t 2 = 4100t 2 − 460t ,23⎛ 23 ⎞– точка минимума, значит, S ⎜⎟ – наименьшее.410⎝ 410 ⎠240.Пусть наблюдатель находится за х мот стены в точке О.∠ЕОВ;∠ЕОВ = ∠ЕОА – ∠ВОА, поэтому:tg∠EOB = tg(∠EOA – ∠BOA) =3,2 1,8−x = 1,4 x ,= x3,2 1,8 x 2 + 5,761+⋅x xf(x) =1,4 x2x + 5,76.

Характеристики

Список файлов книги