kolmogorov-gdz-11-№326-580 и 1-281 (991264), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Пусть х г – было количество раствора;– процентноесодержание соли в первоначальном растворе; х + 200 – количество40– процентное содержание соли в новомх + 2004040растворе. По условию задачи имеем уравнение:−= 0,1х х + 200нового раствора;40х + 8000 – 40х = 0,1(х2 + 200х), х2 + 200х – 8000 = 0, х1 = 200,х2 = –400 – не является решением по смыслу задачи.40⋅ 100% = 20%, 200 − 40 = 160 (г).200Ответ: 20%, 160 г воды.207. Пусть х – скорость третьей машины; t – время движениятретьей машины до встречи с первой.
Составим систему:1⎧⎪⎪ xt = 40 ⋅ 2 + 40t ,⎨ ⎛ 3⎞⎪ x⎜ t + ⎟ = 50 ⋅ 2 + 50t;⎪⎩ ⎝ 2 ⎠100 + 50t −20 + 40t⎧,⎪⎪ x =t⎨⎪ xt + 3 x = 100 + 50t ;⎪⎩233⎛ 20 + 40t ⎞ 3x = 20 + 40t , 80 + 10t = x, 80 + 10t = ⎜⎟⋅ ,22t⎝⎠ 2160t + 20t 2 = 60 + 120t , t 2 + 2t − 3 = 0, t1 = 1, t2 = −3 –решением задачи; х = 20 + 40 = 60 (км/ч).неявляетсяОтвет: 60 км/ч.208. Пусть V м/с – скорость поезда; S м – длина поезда. S = 7V,V =378 + 7V,2525V = 378 + 7V , 18V = 378, V = 21 (м/с);S = 7 ⋅ 21 = 147 (м).Ответ: V = 21 м/с, S = 147 м.209.
Пусть V1 км/ч – первоначальная скорость первого пешехода;V2 км/ч – второго пешехода. Имеем : 5(V1 + V2) = 50,5V150 − V1−= 2,V2 + 1 V1 − 15V1 (V1 − 1) − (50 − 5V1 )(V2 + 1) = 2(V2 + 1)(V1 − 1);V1 + V2 = 10, V2 = 10 − V1;V 2 = 10 − V1 , поэтому1895V1 (V1 − 1) − (50 − 5V1 )(10 − V1 + 1) = 2(10 − V1 + 1)(V1 − 1) ,V12 + 38V1 − 264 = 0, V1 = 6 км/ч, V 2 = 4 км/ч.Ответ: 6 км/ч, 4 км/ч.210. Пусть двигателей типа А изготовили х штук и у – типа В.2 x + 3 y = 130, ⎧ x = 80 − 2 y,Составим систему: ⎧⎨⎨⎩ x + 2 y = 80;⎩160 − 4 y + 3 y = 130;y = 30, x = 20.Ответ: 20 двигателей типа А , 30 двигателей типа В.211.
Пусть х дней нужно первому рабочему, тогда второмунеобходимо 25 – х. Составим уравнение, приняв всю работу за 1:111=+; x(25 − x) = 6(25 − x) + 6 x, 25x − x2 = 150 − 6 x + 6 x ,12 2 x 2(25 − x)x 2 − 25 x + 150 = 0, x1 = 15, x2 = 10.
Тогда второй соответственно за 10и 15 дней.Ответ: 15 дней и 10 дней.212. Пусть х масса первой жидкости, тогда масса II в смеси 60 – х.Объем первой жидкостисмесих,1,2объем второй60 − х, объем всей1,6х60 − х+, плотность смеси равана1,61,2⎛ х 60 − x ⎞28860 ⋅ 4,8288⎟⎟ =. По условию 8 ⋅= х,60 : ⎜⎜+=1,6 ⎠ 4 x + 3(60 − x) x + 180x + 180⎝ 1,2откуда х2 + 180х – 2304 = 0, х = 12 или х = –192 – не являетсярешением.Следовательно, при х = 12 плотность смеси равна1,5 г/см3; первой жидкости 12 г, второй – 48 г.288, то естьx + 180Ответ: 12 г, 48 г, 1,5 г/см3.213. Пусть х – масса серебра в сплаве, тогда т + 3 серебра составит90%, а масса серебра в нем равна х + 3; таким образом,9(m + 3) = x + 3 . В сплаве массой т + 2 серебро составит 84%; но10серебра в добавленных 2 кг сплава содержитсяпоэтомувновомсплавесеребро849(т + 2) = х + .
Получим систему:1005190составит2⋅99кг = кг,1059⎞⎛⎜ х + ⎟ кг5⎠⎝и⎧9( т + 3) = х + 3,⎪⎪10⎨ 849⎪( т + 2) = х + ;⎪⎩1005⎧9( т + 3) = 10( х + 3),⎪⎧9т + 27 = 10 х + 30,⎨21(т + 2) = 25( х + 9 );⎨21m + 42 = 25 x + 45;⎩⎪⎩510 x + 3⎧m=,7⎧9m = 10 x + 3, ⎪⎪9(10 x + 3) = 25 x + 3 ,⎨21m = 25 x + 3; ⎨ 10 x + 3⎩⎪21 ⋅= 25 x + 3; 3⎪⎩91210⋅ 2,4 + 32770х + 21 = 75х + 9, 5х = 21 – 9, х =, х = 2,4, m =, m= ,5992,4т = 3.
2,4% – а%, 3 – 100%, a =⋅100 = 80% .3Ответ: масса сплава 3 кг, процентное содержание серебра 80%.214. Пусть первая точка делает оборот за х с, тогда вторая – за (х + 5)6060с. Тогда за 1 мин. первая точка сделаетоборотов, втораях+5хоборотов.
По условию6060–= 1, значит 60(х+5–х)= х(х + 5),хх+5х2 + 5х – 300 = 0, х = –20 (не подходит) или х = 15. Получили, чтопервая точка делает полный оборот за 15 с, вторая за 20 с. Скоростьпервой точки 4 м/с, второй 3 м/с. Ответ: 4 м/с, 3 м/с.215. Пусть число десятков а, число единиц b. Число равно 10а + b.22⎧ 2⎧ 2a2 + b2 = 13; 10a + b – 9 = 10b + a. ⎨а + b = 13, ⎨а + b = 13,⎩9a − 9b = 9;⎩a − b = 1;(b + 1) 2 + b 2 = 13, b 2 + 2b + 1 + b 2 = 13, 2b 2 + 2b − 12 = 0, b 2 + b − 6 = 0 ,b = 2 или b = –3 – не цифра. По смыслу b > 0, поэтому b = 2, а = 3и исходное число равно 32.Ответ: 32.216.a 2 − b 2 = 55,a, b ∈ N .
(a − b)(a + b) = 55,причем a − b ,a+b –натуральные числа. Но 55 = 55 ⋅ 1= 5 ⋅ 11, поэтому либо⎧a − b = 1,⎨a + b = 55,⎩a − b = 5,либо ⎧⎨⎩a + b = 11.Из первой системы 2b = 54, b = 27 и а = 28;из второй системы 2а = 16, а = 8 и b = 3.Ответ: 27 и 28; 3 и 8.191§ 5. Производная, первообразная,интеграл и их применения21. Производная217. а) ∆f = f ( x 0 + ∆x) − f ( x 0 ),1111∆f 0,105∆f = (1,1)2 − ⋅12 = (1,12 − 12 ) = ⋅ 0,21 = 0,105,== 1,05 ;2222∆x0,1∆f0,1 10б) ∆f = 2,21 − 1 − 2 − 1 = 1,1 − 1 = 0,1 ,;==∆x 0,21 21∆f−0,4в) ∆f = 3 − 2( 2,2) − (3 − 2 ⋅ 2) = 3 − 4,4 − 3 + 4 = −0,4,== −2 ;∆x0,211 11011− =−1 =−1 = −г) ∆f =,1,1 + 1 1 2,1212111−∆f11 ⋅101105= 21 = −=−= −5.∆x0,1212121218.а) f ′( x) = lim∆f∆x →0 ∆x==lim∆x→0f ( x + ∆x) − f ( x)1 − 4( x + ∆x) − (1 − 4 x)= lim=∆x∆x∆x→01 − 4 x − 4∆x − 1 + 4 x−4∆x= −4 ;= lim∆x∆x →0∆x →0 ∆xlim1,5( x + ∆x)2 − 1,5x21,5x2 + 3x∆x + 1,5∆2 x − 1,5x2= lim=∆x∆x∆x→0∆x→0б) f ′( x) = lim=lim∆x→0∆x(3x − 1,5∆x)= lim (3x + 1,5∆x) = 3x; при х0 = 2 имеем f ′(x0) = 6;∆x∆x→03( x + ∆x) + 2 − 3x − 23 x + 3∆x + 2 − 3 x − 2== lim∆x∆x∆x →0∆x →0в) f ′( x) = lim=3∆x=3;lim∆x →0 ∆xг) f ′( x) = lim =∆x →0=3lim∆x →0=192( x + ∆x) 3 + 1 − x 3 − 1=∆xx + 3x 2 ∆x + 3x∆2 x + ∆3 x + 1 − x 3 − 1=∆x∆x(3x 2 + 3 x∆x + ∆2 x)=∆x∆x → 0lim222lim (3x − 3x∆x + ∆ x) = 3x ; при х0 = –1 имеем f ′( x 0 ) = 3 .∆x →01 4 1 3 1 2x − x + x − x + 5, f ′( x) = x 3 − x 2 + x − 1 ;432б) f ( x) = (4 − x 2 ) sin x, f ′( x) = (4 − x 2 )′ ⋅ sin x + (4 − x 2 )(sin x)′ =219.
а) f ( x) == −2 x ⋅ sin x + ( 4 − x 2 ) cos x ;в) f ( x) = ( x2 + 5)(x3 − 2 x + 2), f ′( x) = 2x( x3 − 2 x + 2) − ( x2 + 5)(3x2 − 2) == 2 x 4 − 4 x 2 + 4 x − 3x 4 + 2 x 2 − 15 x 2 + 10 = − x 4 − 17 x 2 + 4 x + 10 ;cos x,г) f ( x) =2 − x3− sin x(2 − x 3 ) − cos x ⋅ (−3x 2 ) − 2 sin x + x 3 sin x + 3x 2 cos x.f ′( x) ==222 − x32 − x3(220. а) f ( x) =3x3)−5 x +(1= 3 ⋅ x −3 − x 553x41−+ 5⋅ x 3),11 −5915⎛ 1 ⎞ −1x + 5⋅⎜− ⎟⋅ x 3 = −−−;5⎝ 3⎠x 4 55 x 4 33 x 4⎛1 ⎞⎟2− xtgx +;б) f ( x) = (2 − x ) tgx , f ′( x) = ⎜⎜ −⎟cos 2 x⎝ 2 x⎠x 3 − 3xв) f ( x) =,1 − 2xf ′( x) = 3 ⋅ ( −3 x − 4 ) −(3x2 − 3)(1− 2x) − (x3 − 3x)(−2) 3x2 − 6x3 − 3+ 6x + 2x3 − 6x − 4x3 + 3x2 −3;==(1− 2x)2(1− 2x)2(1− 2x)2sin xcos x − 2cos x(1 − 2 cos x) − sin x ⋅ 2 sin xг) f ( x) =, f ′( x) ==.1 − 2 cos x(1 − 2 cos x) 2(1 − 2 cos x) 2f ′(x) =1;x ln 1042б) f ( x) = e −3 x + 2 log 3 2 x, f ′( x) = −3e −3 x +;= −3e −3 x +2 x ln 3x ln 3в) f ( x) = x 2 ⋅ 52 x , f ′( x) = 2 x ⋅ 52 x + x 2 ⋅ 2 ⋅ 52 x ⋅ ln 5 = 2 ⋅ 52 x ⋅ x(1 + x ln 5) ;221.
а) f ( x) = 2 x + lg x, f ′( x) = 2 x ln 2 +г) f ( x) =ln xe x + e −x,1 x(e + e − x ) − ln x(e x − e − x )xf ′( x) =.(e x + e − x ) 2222.а) f ( x) = sin 3 x + cos 5 x,б) f ( x) = 4 1 + x 2 +f ′( x) = 3 cos 3 x − 5 sin 5 x ;1(2 x − 1) 3;f ′( x) =4(2x4 1+ x)2 3−6(2 x − 1) 4;193в) f ( x) = (3 − 2 x3 )5 ,f ′( x) = 5(3 − 2 x3 ) 4 ⋅ ( −6 x 2 ) = −30 x 2 (3 − 2 x3 ) 4 ;π4г) f ( x) = lg(3 x) + 3tg (2 x − ) ,f ′( x) =3+3x ln 103⋅ 216.=+π ⎞ x ln 10π⎞⎛⎛cos 2 ⎜ 2 x − ⎟cos 2 ⎜ 2 x − ⎟4⎠4⎠⎝⎝223.а) f ′( x) = 4 x3 − 4 x, 4 x3 − 4 x = 0, 4 x( x2 − 1) = 0, x1 = 0, x2 = 1, x3 = −1 ;б) f ′( x) = 3 cos 2 x − 5 cos x − 1, 3 cos 2 x − 5 cos x − 1 = 0,6 cos2 x − 3 − 5 cos x − 1 = 0 .
cosx = у, 6у2 – 5у – 4 = 0,111y1 = 1 , y 2 = − ; cos x = 1 – не имеетсмысла;1221212πcos x = − , x = ±+ 2πn, n ∈ Z ;23в) f ′( x) = − x 4 + 10 x 2 − 9, − x 4 + 10 x 2 − 9 = 0, x 4 − 10 x 2 + 9 = 0 ;Пусть х2 = у, тогда у2 – 10у + 9 = 0, у1 = 9, у2 = 1; х2 = 9, х2 = 1;х1 = 3, х2 = –3, х3 = 1, х4 = –1;12π6г) f ′( x) = 1 − 2sin 2x, 1 − 2sin 2x = 0, sin 2x = , 2x = (−1)k + πk, k ∈ Z ,x = (−1) kπ πk+, k∈Z .12 2224.а) 1)а) f ′( x) > 0 в точке х3;′б) f ( x) < 0 в точках х1, х5;в) f ′(x) = 0 в точках х2 и х4.2) а) f ′(x) > 0 при х ∈ (х2; х4);б) f ′(x) < 0 при х ∈ (а; х2)∪(х4; b);в) f ′(x) = 0 при х2 и х4.3) Функция имеет производнуюво всех точках (a; b).б) 1)а) f ′(x) > 0 в точках х1 и х8;б) f ′(x) < 0 в точке х6;в) f ′(x) = 0 в х2, х3, х4, х5, х7.2) а) f ′(x) > 0 при х ∈ (а; х2) U (х7; b);б) f ′(x) < 0 при х ∈ (х5; х7);в) f ′(x) = 0 при х ∈ (х2; х5) и в х7.3) Функция не имеет производнойво всех х2, х5.194в) 1)б)в)2) а)б)а) f ′(x) > 0 х1 и х4;f ′(x) < 0 в х3, х6;f ′(x) = 0 в х2, и х5.f ′(x) > 0 при х ∈ (а; х2) U (0; х5);f ′( x ) < 0 при х ∈ (х2; 0) U (х5; b);в) f ′( x ) = 0 в х2 и х5.3) Производная не существует в точке 0.г) 1)а) f ′(x) > 0 в х3;б) f ′(x) < 0 в х1, х5, х6;в) f ′(x) = 0 в х4.2) а) f ′(x) > 0 при х ∈ (х2; х4) ;б) f ′(x) < 0 при х ∈ (а; х2) U (х4; b);в) f ′(x) = 0 в х4.3) Производная не существует в х2.225.а) y ′( x1 ) > y ′( x 2 ) ;б) y ′( x1 ) > y ′( x 3 ) ;в) y ′( x 2 ) = y ′( x 4 ) ;г) y ′( x 3 ) < y ′( x 5 ) .226.а) y ′( x1 ) < y ′( x 2 ) ;б) y ′( x 3 ) > y ′( x 5 ) ;в) y′( x4 ) = y′( x5 ) ;г) y ′( x 2 ) > y ′( x 4 ) .227.(uvw)′ = (u ⋅ (vw))′ = u′(vw) + u(vw)′ = u′vw + u(v′w + vw′) = u′vw + uv′w + uvw′ ,что требовалось доказать.22.
Применение производнойк исследованию функций228. f ( x) ≈ ( x 0 ) + f ′( x 0 )∆x ; а) f ( x) =f ( x1 ) ≈ f (2) + f ′(2) ⋅ 0,0057 =1 3x − x,3f ′( x) = x 2 − 1 ,82− 2 + 3 ⋅ 0,0057 = + 0,0171 =33= 0,6667 + 00171 = 0,6838 ;195f (x2 ) ≈ f (2) − f ′(2) ⋅ 0,021≈ 0,6667− 0,063 ≈ 0,6037≈ 0,604;б) f ( x) = 2 + 4 x − x 2 +1 4x ,4f ′( x) = 4 − 2 x + x 3 ;f ( x1 ) ≈ f (3) + 0,005 f ′(3) = 2 + 12 − 9 +x1 = 3 + 0,005 ,1⋅ 81 + 0,005(4 − 6 + 27) =410,005 ⋅ 25 = 5 + 20,25 + 0,125 = 25,375; x 2 = 2 − 0,02 ,41f ( x 2 ) ≈ f ( 2) − 0,02 f ′(2) = 2 + 8 − 4 + ⋅16 − 0,02( 4 − 4 + 8) =4= 10 − 0,02 ⋅ 8 = 10 − 0,16 = 9,84 .= 5 + 20⎛⎞12229. а) 9,009 = 9(1 + 0,001) = 3 1 + 0,001 ≈ 3⎜1 + ⋅ 0,001⎟ = 3 + 0,0005= 3,0005;⎝15⎠15б) 1,0001 = (1 + 0,0001) = 1 + 15 ⋅ 0,0001 = 1,0015 ;в) 0,999−5 = (1 − 0,001)−5 ≈ 1 − 0,001 ⋅ (−5) = 1,005 ;г)2⎛ 1⎞8,008 = 3 8(1,001) = 23 1 + 0,001 ≈ 2⎜1 + ⋅ 0,001⎟ ≈ 2 + ⋅ 0,001 ≈33⎝⎠≈ 2 + 0,666 ⋅ 0,001 = 2,006 .3230.13а) f ( x) = − x3 + 4 x2 − 7 x + 18, D( f ) = (−∞; ∞), f ′( x) = − x2 + 8x − 7 .критические точки:f ′( x) = 0, − x 2 + 8 x − 7 = 0, x 2 − 8 x + 7 = 0, x1 = 7, x2 = 1 ;f ′(0) < 0, f (2) > 0, f ′(8) < 0;f (x) возрастает при х ∈ [1; 7], убывает при х ∈ (–∞; 1] ∪ [7; ∞);хmin = 1, xmax = 7.б) f ( x) =f ′( x) =2x 2, D( f ) = (−∞; 3) U (3; ∞) ,3− x4 x(3 − x) + 2 x 2(3 − x) 2Критические точки:=− 4 x 2 + 12 x + 2 x 2(3 − x) 2=− 2 x 2 + 12 x(3 − x) 2− 2 x 2 + 12 x(3 − x) 2− 2 x 2 + 12 x = 0, − x (2 x − 12) = 0, x1 = 0, x2 = 6 ;196.f ′(−1) < 0, f ′(1) > 0, f ′(4) > 0, f ′(7) < 0 ;f (x) возрастает при х∈ [0;3) и (3;6], убывает при х∈ (–∞;0] ∪ [6;∞);хmin = 0, xmax = 6;в) f ( x) =f ′( x) =x( x 3 − 4) 1 4= ( x − 4 x), D( f ) = (−∞; ∞) ,221⋅ (4 x 3 − 4) = 2 x 3 − 2; f ′( x) = 0, 2 x3 − 2 = 0,22( x3 − 1) = 0, x3 = 1, x = 1.f ( x) возрастает при х ∈ [1; ∞), убывает приf ′(0) < 0, f ′(2) > 0;х ∈ (–∞; 1]; xmin =1;x, D( f ) = (−∞; 4) U ( 4; ∞) ,4− x4 − x − x(−1) 4 − x + x4; при любом х ≠ 4f ′( x) ===(4 − x) 2(4 − x ) 2 (4 − x) 2г) f ( x) =х > 0,поэтому функция возрастает на D(f), экстремумов нет.231.
а) f ( x) = cos 2 x − 2 cos x, D( f ) = (−∞; ∞) ,f ′( x) = −2 sin 2 x + 2 sin x; − 4 sin x ⋅ cos x + 2 sin x = 0,− 2 sin x (2 cos x − 1) = 0, sin x = 01π, x = ± + 2πn, n ∈ Z ;23⎡ π⎤х ∈ ⎢− + 2πn; 0 + 2πn ⎥ ∪⎣ 3⎦cos x =⎡π⎣3или2 cos x = 1, x = πn, n ∈ Zилиf (x) возрастает при⎤∪ ⎢ + 2πn; π + 2πn⎥ , n ∈ Z,⎦убывает наππ⎤⎡⎤+ 2πn ⎥ ∪ ⎢2πn; + 2πn ⎥ , n ∈ Z,33⎣⎦⎣⎦ππx min = − + 2πn, x min = + 2πn, x max = 0 + 2πn. ;33x1x1xб) f ( x) = 2 − sin , D( f ) = (−∞; ∞), f ′( x) = − cos ; − cos = 0,22222xx πcos = 0,= + πn, n ∈ Z , x = π + 2πn, n ∈ Z ;22 2⎡х ∈ ⎢− π + 2πn; −197⎛ 3π ⎞⎛π⎞f ′⎜ ⎟ < 0, f ′⎜ ⎟ > 0;⎝ 2 ⎠⎝2⎠возрастает при х ∈ [π + 4πn; 3π + 4πn], n ∈ Z, убывает прих ∈ [–π + 4πn; ∞ + 4πn], n ∈ Z, xmin = π + 4πn, n ∈ Z,xmax = 3π + 4πn, n ∈ Z;в) f ( x) = 2 sin x + 2 cos 2 x, D( f ) = (−∞; ∞), f ′( x) = 2 cos x − 2 sin 2 x;2 cos x − 2 sin 2 x = 0,2 cos x − 4 sin x ⋅ cos x = 0,2 cos x(1 − 2 sin x ) = 0, cos x = 0 или sin x =1,2ππ+ πn, x = (−1) k + πk , k ∈ Z ; возрастает при265ππ⎡π⎤⎡ π⎤х ∈ ⎢− + 2πn; + 2πn⎥ ∪ ⎢ + 2πn;+ 2πn ⎥, n ∈ Z ,66⎣2⎦⎣ 2⎦x=убывает прих∈(ππ5π3ππ+ 2πn ; + 2πn ) ∪ (+ 2πn ;+ 2πn ), x max = + 2πn ;66662x max =5ππ+ 2πn , x min = + 2πn, n ∈ Z .26г) f ( x) = 3 x − cos 3 x, D( f ) = (−∞; ∞), f ′( x) = 3 + 3 sin 3 x;3 − 3 sin 3 x = 0, sin 3 x = 1, 3x =π+ 2πn, n ∈ Z .2π 2πn+, n∈Z ,63⎛π⎞f ′ (0) > 0, f ′ ⎜ ⎟ > 0; возрастает на (–∞; ∞).⎝4⎠x=232.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
