kolmogorov-gdz-10- №1-325 (991260), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Понятие о производной188.а) Угловой коэффициент касательной к f(x) = x2 – 2x – 3 в точкеx0 = 0; k = –1 – отрицательный; в т.x0 = 3; k = 2 – положительный.104б) Угловой коэффициент касательной к f(x) =x2+ 1 в точке2x0 = –2;k=–1 – отрицательный; в т.x0 = 1; k=2 – положительный.189.Пусть k – коэффициент; α – угол с OX:а) k(x1) < 0, α(x1) – тупой;k(x4) > 0, α(x4) – острый;в т. x2 и x3 касательной не существует;б) k(x1), k(x2), k(x3), k(x4) > 0;α(x1), α(x2), α(x3), α(x4) – острые;в) k(x1) < 0, α(x1) – тупой;k(x3), k(x4) > 0; α(x3), α(x4) – острые;в т.

x2 касательной не существует;г) k(x1), k(x2), k(x3), k(x4) < 0;α(x1), α(x2), α(x3), α(x4) – тупые углы.105190.Функция возрастает на [a;b], [c,d]; функция убывает на [b;c], [d;e];k(b) = 0, k(x2) < 0, k(c) = 0, k(x3) > 0, k(d) = 0, k(x1) > 0, k(x4) < 0.191.а) ∆f = f(x0 + ∆x) – f(x0) = 2(x0 + ∆x)2 – 2x02 = 4x0∆x + 2(∆x)2 == 2∆x(2x0 + ∆x);2 ∆x ( 2 x 0 + ∆x )∆f= 2(2x0 + ∆x);=∆x∆x∆fесли x0 = 1, то= 2(2 + ∆x);∆x∆fпри ∆x = 0,5,= 2(2 + 0,5) = 5;∆x∆fпри ∆x = 0,1,= 2(2 + 0,1) = 4,2;∆x∆fпри ∆x = 0,01,= 2(2 + 0,01) = 4,02;∆xб) ∆f = f(x0 + ∆x) – f(x0) = (x0 + ∆x)2 – x02 = 2x0∆x + (∆x)2 == ∆x(2x0 + ∆x);∆f= 2x0 + ∆x;∆x∆f∆f 5= 2 + ∆x; если ∆x = 0,5,= ;∆x∆x 2∆f∆fесли ∆x = 0,1,= 2,1; если ∆x = 0,01,= 2,01;∆x∆xесли x0 = 1, то192.∆f∆f→8x0 при ∆x→0; если x0 = 2, то→ 16 при ∆x→0;∆x∆x∆fесли x0 = –1, то→ –8 при ∆x→0;∆x∆f∆fб)→3x02 при ∆x→0; если x0 = 1, то→ 3 при ∆x→0;∆x∆x∆fесли x0 = –21, то→ 1323 при ∆x→0;∆x∆f∆fв)→3x0 при ∆x→0; если x0 = 4, то→ 12 при ∆x→0;∆x∆x∆fесли x0 = 1, то→ 3 при ∆x→0;∆xа)106∆f→ –2x0 при ∆x→0;∆x∆fесли x0 = 1, то→ –2 при ∆x→0;∆x∆fесли x0 = 2, то→ –4 при ∆x→0;∆xг)193.а) f′(x) = (x3)′ = 3x2; f′(x0) = 3x02;f′(2) = 3⋅4 = 12, f′(–1,5) = 3⋅2,25 = 6,75;б) f′(x) = (4 – 2x)′ = –2; f′(x0) = –2; f′(0,5) = f′(–3) = –2;в) f′(x) = (3x – 2)′ = 3; f′(x0) = 3; f′(5) = f′(–2) = 3;г) f′(x) = (x2)′ = 2x; f′(x0) = 2x0; f′(2,5) = 2⋅2,5 = 5, f′(–1) = 2⋅(–1) = –2;194.а)∆ff ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) ( x0 − ∆x) 2 − 3( x0 + ∆x ) − x02 + 3 x0===∆x∆x∆x2 x0∆x + ( ∆x) 2 − 3∆x= 2 x0 + ∆x − 3 ;∆x∆f→2x0 – 3 при ∆x→0, т.е.

f′(x0) = 2x0 – 3;∆x=f′(–1) = –2 – 3 = –5; f′(2) = 2⋅2 – 3 = 1;б)∆f2( x0 + ∆x ) 2 − 2 x03 6 x02∆x + 6 x0 (∆x ) 2 + (∆x )3===∆x∆x∆x= 6 x02 + 6 x0 ∆x + ( ∆x ) 2 ;∆f→6x02 при ∆x→0, т.е. f′(x0) = 6x02; f′(0) = 0; f′(1) = 6;∆x∆x1  11 1∆f− =−=−в)= ;∆x ∆x  x0 + ∆x x0 ∆x( x0 + ∆x) x0x0 ( x0 + ∆x)11∆f1→ – 2 при ∆x→0, т.е. f′(x0) = – 2 ; f′(–2) = − ; f′(1) = –1;∆x4x0x0г)− 2 x0 ∆x − (∆x) 2∆f4 − ( x0 + ∆x )2 − 4 + x02=== −2 x 0 − ∆x ;∆x∆x∆x∆f→ –2x0 при ∆x→0, т.е. f′(x0) = –2x0;∆xf′(3) = –2⋅3 = –6; f′(0) = 0;107195.k=f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) ( x0 + ∆x ) 2 − x02== 2x0 + ∆x;∆x∆xИспользуя то, что k=2x0 и т.

(x0;x02) принадлежит прямой, получим:x02 = 2x0⋅x0 + b = x02 – 2x02 = –x02;y =2x0⋅x0 – x02 – уравнение касательной к графику функции y = x2bв точке x0;а) x0 = –1; y = –2x – 1;б) x0 = 3; y = 2⋅3x – 32 = 6x – 9;2г) x0 = 2; y = 2⋅2x – 22 = 4x – 4;в) x0 = 0; y = 2⋅0x – 0 = 0;196.а) Vср(∆t) =− (t0 + ∆t )2 + 8(t0 + ∆t ) + t02 − 8t0= −2t0 − ∆t + 8 ;∆tИмеем:Vср→ –2t0 + 8 при ∆t→0;Vмгн(t0) = –2t0 + 8; Vмгн(6) = –4;б) Vср(∆t) =3(t0 + ∆t )3 + 2 − 3t03 − 2= −9t02 + 9t0∆t + 3(∆t ) 2 ;∆tVср→ –9t02 при ∆t→0;Vмгн(t0) = –9t02 ; Vмгн(2) = 36;в) Vср(∆t) =Vср→t02Vмгн(t0) =x(t0 + ∆t ) − x(t0 ) (t0 + ∆t ) 2 − t02 2t0 + ∆t;==∆t4∆t4при ∆t→0;t0; Vмгн(4) = 2;2г) Vср(∆t) =x(t0 + ∆t ) − x(t0 ) 5(t0 + ∆t ) − 3 − 5t0 + 3==5;∆t∆tVср = Vмгн = 5 при любом значении t0.14.

Понятие о непрерывности функциив предельном переходе197.а) непрерывна в т. x1, x2, x3;б) непрерывна в т. x1 и x3; в т. x2 не является непрерывной;в) непрерывна в т. x1, x2; в т. x3 не является непрерывной;г) непрерывна в т. x1, x2, x3;108198. x − 1, x ≤ −1,21 − x , x > −1;а) f(x) = Функциянеявляетсянепрерывной в т. x = –1.x < 0,4,24 − x , x ≥ 0;б) f(x) = Функцияявляетсянепрерывной во всех точкахобласти определения.2 − x, x ≤ 1,2 x − 1, x > 0;в) f(x) = Функцияявляетсянепрерывной во всех точкахобласти определения. x + 2, x < 1,x ≥ 1; x ,г) f(x) =  1Функциянеявляетсянепрерывной в точке x = 1.109199.а) f(x) = x3 – 4x = x(x – 2)(x + 2);Функция f(x) непрерывна в каждой точке (–∞; +∞);б) f(x) =x;x −1Функция f1(x) = x непрерывна на (0; +∞), а значит и на [2;+∞);функция f2(x) = x – 1 непрерывна на (–∞;+∞), а значит и на [2;+∞).f2(x) = 0 при x = 1 ∉ [2;+∞), следовательно,f(x) =f1 ( x)непрерывна на [2;+∞);f 2 ( x)в) f(x) = x2 + 2x – 1,функция f1(x) = x2 = x⋅x является непрерывной на R, аследовательно, и на [–10;20]; функция f2(x) = 2x – 1 непрерывна наR, следовательно, и на [–10;20], а следовательно, f(x) = f1(x) + f2(x)непрерывна на [–10;20];г) f(x) = 5x – x ;функция f1(x) = 5x непрерывна на R, а значит и на R+;функция f2(x) = x непрерывна на R+, а значит, f(x) = f1(x) – f2(x)непрерывна на R+.200.а) f(x) = x2 – 3x +4 = f1(x) + f2(x),где f1(x) = x2, f2(x) = 4 – 3x – функции непрерывные;если x→0, то f1(x) = x2→0 и f2(x) = 4 – 3x→4, тогда f(x)→4;если x→2, то f1(x)→4 и f2(x)→ –2, тогда f(x)→2;б) f(x) =x2x +1= f1 ( x) ⋅ f 2 ( x ) , где f1(x) = x, f2(x) =непрерывные при x ∈ R;12x +1– функции11, то f(x)→ ;2214если x→4, то f1(x)→4 и f2(x)→ , то f(x)→ ;1717xв) f(x) = 4 – – функция, непрерывная при x ∈ R;2если x→1, то f1(x)→1 и f2(x)→если x→ –2, то f(x)→5; если x→0, то f(x)→4;г) f(x) = 4x –xx2= f1 ( x) ⋅ f 2 ( x ) , где f1(x) = x, f2(x) = 4 − – функции44непрерывные при x ∈ R;110если x→ –1, то f1(x)→ –1 и f2(x)→4,25, тогда f(x)→ –4,25;если x→4, то f1(x)→4 и f2(x)→3, тогда f(x)→12;201.а) 3f(x)g(x) → 3⋅1⋅(–2) = –6;б)f ( x) − g ( x) 1 − (−2)→= −3 ;f ( x) + g ( x)1− 2в) 4f(x) – g(x) → 4⋅1⋅ – (–2) = 6;г) (3 – g(x))f(x) → (3 – (–2))⋅1 = 5.202.а)f ( x)→( g ( x )) 23( −0,5) 2= 12 ;б) (f(x) – g(x)2 → (3 – (–0,5))2 = 12,25;в) (f(x))2 + 2g(x) → 32 + 2(–0,5) = 8;г)( g ( x )) 2(−0,5) 2→= 0,25 .f ( x) − 23−2203.а) f(x) =x 2 + 3x + 3;x−3f1(x) = x2 + 3x + 2 при x→4f2(x) = x – 3 при x→4f1(x)→42 + 3⋅4 + 2 = 30;f2(x)→4 – 3 = 1;при x→4f(x) =б) f(x) =x 3 − 3xx 2 − 2x + 7f1 ( x )30→= 30 ;f 2 ( x)1;при x→ –1при x→ –1f1(x) = x3 – 3x → (–1)3 – 3(–1) = 2;f2(x) = x2 – 2x + 7 → (–1)2 – 2(–1) + 7 = 10;при x→ –1f(x) =в) f(x) =5 − 2x;2+ x2 1f1 ( x )→= ;10 5f 2 ( x)при x→ 2при x→ 2f1(x) = 5 – 2x → 5 – 2⋅2 = 1;f2(x) = 2 + x → 2 + 2 = 4;при x→ 2f(x) =f1 ( x )1→ ;f 2 ( x)4111г) f(x) =x 2 − 9 x 2 − 9 ( x − 3)( x + 3);== x – 3,( x + 3)x+3x+3т.е.

функция f(x)=x2 −9и g(x)=x–3 совпадают всюду, кроме x=–3;x+3при x → –1 g(x) = x – 3 → –1 – 3 = –4.204.Пусть H значение периметра квадрата, h – найденное значениепериметра, A – значение стороны квадрата, a – измененноезначение.По условию:|A – a| ≤ 0,01 дм; |4A – 4a| ≤ 4⋅0,01 дм; |H – h| ≤ 0,04 дм;Значит, периметр найден с точностью до 0,04 дм.205.Используем те же обозначения, что и в задаче 204.

Имеем:|H – h| ≤ 0,03 дм; |3A – 3a| ≤ 3⋅0,01 дм; |A – a| ≤ 0,01 дм;Сторону треугольника достаточно изменить с точностью до 0,01 дм.206.Пусть K – значение длины окружности, k – найденное значениедлины окружности, R – точное значение радиуса, r – измеренноезначение радиуса. Тогда:K = 2πR, k = 2πr дм; |K – k| = |2πR – 2πr| ≤ 0,06 дм;|R – r| ≤0,03дм или |R – r| ≤ 0,01 дм.πРадиус необходимо измерить с точностью до 0,01 дм.207.а) При x→a C→C, т.к. функция f1 = C непрерывна при каждом x;f(x) →A при x→a по условию задачи, тогдапри x→a Cf(x)→C⋅A;б) f(x)→A при x→a по условию, g(x)→B при x→a по условию,тогда –g(x)→ –B при x→a и f(x) – g(x)→A – B при x→a;в) (f(x))2 –(g(x))2 = (f(x) – g(x))(f(x) + g(x));при x→af(x) – g(x) → A – B и f(x) + g(x)→A + B,тогда при x→a (f(x) – g(x))(f(x) + g(x))→(A – B)(A + B) = A2 – B2;г) (f(x))n = f(x)⋅(f(x))n-1 = ...

= 1f ( x ) ⋅ f ( x) ⋅ ... ⋅ f ( x) ;44424443n разпри x→a f(x)→a по условию, тогда при x→a112(f(x))n = 1f ( x ) ⋅ f ( x) ⋅ ... ⋅ f ( x) = 1A ⋅4A2⋅ ...A = An, где n ∈ Z;4⋅344424443n разn раз15. Правила вычисления производных208.а) f′(x) = (x2 + x3)′ = 2x + 3x2;б) f′(x) = (1x′1+ 5x – 2)′ = – 2 + 5 = – 2 + 5;xxxв) f′(x) = (x2 + 3x – 1)′ = 2x + 3; 1г) f′(x) = (x + x )′ = (x )′ +  x 233′ = 3x2 + 1 .2 x209.а) f′(x) = (x3)′(4 + 2x – x2) + x3(4 + 2x – x2)′ == 3x2(4 + 2x – x2) + x3(2 – 2x) = –5x4 + 8x3 + 12x2;б) f′(x) = ( x )′(2x2 – x) + x (2x2 – x)′ =31=(2x2 – x) + x (4x – 1) = 5x x –x;22 xв) f′(x) = (x2)′(3x + x3) +x2(3x + x3)′ == 2x(3x + x3) + x2(3 + 3x2) = 9x2 + 5x4;г) f′(x) = (2x – 3)′(1 – x3) + (2x – 3)(1 – x3)′ == 2(1 – x3) – 3x2(2x – 3) = –8x3 + 9x2 + 2.210.а) y′(x) ==(3 − 5 x )22(3 − 5 x ) + 5(1 + 2 x )(3 − 5 x )б) y′(x) ==(1 + 2 x )′(3 − 5 x) − (1 + 2 x)(3 − 5 x)′211(3 − 5 x ) 2;( x 2 )′(2 x − 1) − x 2 (2 x − 1)′(2 x − 1) 22 x(2 x − 1) − x 2 ⋅ 2(2 x − 1)в) y′(x) ==2=2 x ( x − 1)(2 x − 1) 2=;(3 x − 2)′(5 x + 8) − (3 x − 2)(5 x + 8)′(5 x + 8) 2==113=3(5 x + 8) − 5(3 x − 2)(5 x + 8)234(5 x + 8) 2;(3 − 4 x)′ ⋅ x 2 − (3 − 4 x )( x 2 )′г) y′(x) =( x 2 )2− 4 x 2 − 2 x(3 − 4 x )==x4=4 x2 − 6 xx3=.211.а) y′(x) = (x8)′ – 3(x4)′ – x′ + 5′ = 8x7 – 12x3 – 1;′ 1 +2x 13( x )′ =б) y′(x) = ( x)′ − 41=11 −1 81+ 8 x −3 + x 2 = + 3 +;323 x2 xв) y′(x) = (x7)′ – 4(x5)′ + 2x′ – 1′ = 7x6 – 20x4 + 2;г) y′(x) =′1 2′  1 19x + 3 3  + 1′ = ⋅ 2 x − 3 ⋅ 3x − 4 = x − 4 .22xx ( )212.а) f′(x) = (x2)′ – 3x′ = 2x – 3; 1 2f′  −  = –4;f′(2) = 1;б) f′(x) = x′ – 4f′(0,01) = 1 –f′(4) = 1 –( x )′ = 1 –20,012= 0;21x;′1x2; f′( 2 ) = 32 ;( )21  = 1 + − 3 = 4;3(3 − x)′(2 + x) − (3 − x)(2 + x)′г) f′(x) =114x= –19;в) f′(x) = x′ –   =1 +f′  −2(2 + x)2=−5(2 + x) 2;f′(–3) = –5; f′(0) = –5.4213.а) f′(x) = 2(x2)′ – x′ = 4x – 1;4x – 1 = 0;x = 0,25;f′(x) = 0 при x = 0,25;б) f′(x) = –2 3(x )′ + (x2)′ + 12′ = –2x2 + 2x;3–2x2 + 2x = 0;x(1 – x) = 0;x = 0 или x = 1;f′(x) = 0 при x = 0; 1;13в) f′(x) = (x3)′ – 1,5(x2)′ – 4x′ = x2 – 3x – 4;x2 – 3x – 4 = 0;x = –1 либо x = 4;f′(x) = 0 при x = –1; x =4;г) f′(x) = 2x′ – 5(x2)′ = 2 – 10x;2 – 10x = 0; x = 0,2;f′(x) = 0 при x = 0,2.214.а) f′(x) = 4x′ – 3(x2)′ = 4 – 6x;f′(x) < 0: 4 – 6x < 0;x>2;3б) f′(x) = (x3)′ + 1,5(x2)′ = 3x2 + 3x = 3x(x +1);f′(x) < 0: 3x(x + 1) < 0; x ∈ (–1; 0);в) f′(x) = (x2)′ – 5x′ = 2x – 5;f′(x) <0: 2x – 5 < 0; x ∈ (–∞; 2,5);13г) f′(x) = 4x′ – (x3)′ = 4 – x2 = (2 – x)(2 + x);f′(x) < 0: (2 – x)(2 + x) < 0;x ∈ (–∞; –2) ∪ (2; +∞).215.а) f′(x) =( x 3 − 3 x )′(1 + 4 x 5 ) − ( x 3 − 3 x )(1 + 4 x 5 )′(1 + 4 x 5 ) 2=115=(3 x 2 − 3)(1 + 4 x 5 ) − ( x 3 − 3x ) ⋅ 20 x 4− 8 x 7 + 48 x 5 + 3 x 2 − 3=(1 + 4 x 5 ) 2(1 + 4 x 5 ) 2′′33б) f′(x) =  + x 2  2 − x +  + x 2  2 − x =xx1  33==  − 2 + 2 x  2 − x +  + x 2  −x 2 x  x()(=−=−6x26x2+ 4x ++ 4x +в) f′(x) ==())3x x32x x− 2x x −−32x x−x x=25x x;2(5 − 2 x 6 )′(1 − x 3 ) − (5 − 2 x 6 )(1 − x 3 )′(1 − x 3 ) 2− 12 x 5 (1 − x 3 ) + 3 x 2 (5 − 2 x 6 )(1 − x 3 ) 2==− 12 x 5 + 6 x 8 + 15 x 2(1 − x 3 ) 2г) f′(x)=( x )′(3x5 – x)+ x (3x5 – x)′ ==;12 x;(3x5 – x) + x (15x4 – 1) =3x (11x4 – 1).2216.13а) f′(x) = (x5)′ – 3 (x3)′ + 5x′ = 5x4 – 10x2 + 5 = 5(x – 1)2(x + 1)2;f′(x) = 0: 5(x – 1)2(x + 1)2 = 0; x = –1 либо x = 1;б) f′(x) = 2(x4)′ – (x8)′ = 8x3 – 8x7 = 8x3(1 – x2)(1 + x2) == 8x3(1 – x)(1 + x)(1 + x2);x = –1 либо x = 0 либо x = 1;в) f′(x) = (x4)′ + 4x′ = 4x3 + 4 = 4(x + 1)(x2 – x + 1);f′(x) = 0: 4(x + 1)(x2 – x + 1) = 0; x = –1;г) f′(x) = (x4)′ – 12(x2)′ = 4x3 – 24x = 4x(x2 – 6) = 4x(x – 6 )(x + 6 );f′(x) = 0: 4x(x – 6 )(x + 6 )= 0; x = – 6 либо x = 6 ;217.а) f′(x) = (x3)′ – 6(x2)′ – 63x′ = 3x2 – 12x – 63 = 3(x2 – 4x – 21);f′(x) < 0: x2 – 4x – 21 < 0; (x + 3)(x – 7) < 0; x ∈ (–3; 7);б) f′(x) = 3x′ – 5(x2)′ + (x3)′ = 3 – 10x + 3x2;1161313f′(x) < 0: 3 – 10x + 3x2 < 0; 3(x – )(x – 3) < 0; x ∈ ( ; 3);в) f′(x) =2 3(x )′ – 8x′ = 2x2 – 8 = 2(x – 2)(x + 2);3f′(x) < 0: (x – 2)(x + 2) < 0;x ∈ (–2; 2);13г) f′(x) = 3(x2)′ – 9x′ – (x3)′ = 6x – 9 – x2;f′(x) < 0: 6x – 9 – x2 < 0; x2 – 6x + 9 > 0;x ∈ (–∞; 3) ∪(3; +∞).218.а) g(x) = x2 + 3x + 10; g′(x) = (x2)′ + 3x′ + 10′ = 2x + 3;б) f(x) = 4x4 – 0,4x + 2; f′(x) = (4x4)′ – 0,4x′ + 2′ = 16x3 – 0,4;в) h(x) = 4x2 – 2x; h′(x) = 4(x2)′ – 2x′ = 8x – 2;г) ϕ(x) = 3x3 –111x + 1,5; ϕ′(x) = 3(x3)′ – x′ + 1,5′ = 9x2 – .222219.а) Утверждение неверно.

Характеристики

Список файлов книги