kolmogorov-gdz-10- №1-325 (991260), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

3π π– угол, под которым в+ 2πk  = –1, tgα2 = –1 и α2 =4 2f′  − π+ 2πk ; 0  график функции f(x) = –cosx пересекает ось OX. 2т.  −260.а)Пусть α угол, под которым касательная к графику функции f(x) вт. (x0; f(x0)) пересекает ось OX, то угол β, под которым этакасательная пересекает ось OY, равен:π1π; tgβ = tg  α −  = –ctgα = –;2f ′( x0 )2111f(x) =, f(0) = –1; f′(x) = –, tgβ =–= 1;x −1f ′(0)( x − 1) 2β =α –β=π– угол, под которым в т.

(0; –1) график функции41391пересекает ось OY;x −11 1  π1πб) f(x) = tg  x −  ; f(0) = tg  −  = – ;2 2  424111f′(x) =, tgβ == 1,π− f ′(0)2cos 2  x − 43π1– угол, под которым в т. (0; – ) график функцииβ=421 πf(x) = tg  x −  пересекает ось OY;2 4f(x) =в) f(x) =111(x – 1)2; f(0) = ; f′(x) = x – 1, tgβ == 1;22− f ′(0)π1– угол, под которым в т. (0; ) график функции4212f(x) = (x – 1) пересекает ось OY;2π 1πг) f(x) = sin  2π +  ; f(0) = sin = ;6 26β=f′(x) = 2cos  2x +1π= , tgβ =− f ′(0)61π− 2 cos6=1− 3; 1 π 5π= π – =– угол, под которым в т.6 63π1(0; ) график функции f(x) = sin  2π +  пересекает ось OY.62β = π + arctg 20. Приближенные вычисления261.а) f(2,016) ≈ f(2) + (2,016 – 2)⋅f′(2);f′(x) = 4x3 + 2, f′(2) = 4⋅8 + 2 = 34;f(2) = 16 + 2⋅2 = 20,f(2,016) ≈ 20 + 0,016⋅34 = 20,544;f(0,97) ≈ f(1) + (0,97 – 1)⋅f′(1);140f(1) = 1 + 2 = 3, f′(1) = 4 + 2 = 6;f(0,97) ≈ 3 – 0,03⋅6 = 2,82;б) f′(x) = 5x4 – 2;f(1,995) ≈ f(2) + (1,995 – 2) ⋅f′(2); f(2) = 25 – 22 = 28;f′(2) = 5⋅16 – 2⋅2 = 76;f(1,995) ≈ 28 – 0,005⋅76 = 27,62;f(0,96) ≈ f(1) + (0,96 – 1)⋅f′(1);f(1) = 0,f′(1) = 5 – 2 = 3;f(0,96) ≈ –0,04⋅3 = –0,12;f(3,02) ≈ f(3) + (3,02 – 3)⋅f′(3);в) f′(x) = 3x2 – 1;f(3) = 33 – 3 = 24;f′(3) = 3⋅32 – 1 = 26;f(3,02) ≈ 24 + 0,02⋅26 = 24,52;f(0,92) ≈ f(1) + (0,92 – 1)⋅f′(1);f(1) = 0, f′(1) = 3 – 1 = 2;f(0,92) = –0,08⋅2 = –0,16;г) f′(x) = 2x + 3;f(5,04) ≈ f(5) + (5,04 – 5)⋅f′(5);f′(5) = 2⋅5 + 3 = 13;f(5) = 52 + 3⋅5 = 40;f(5,04) ≈ 40 + 0,04⋅13 = 40,52;f(1,98) ≈ f(2) + (1,98 – 2)⋅f′(2);f′(2) = 2⋅2 + 3 = 7;f(2) = 22 + 3⋅2 = 10;f(1,98) ≈ 10 – 0,02⋅7 = 9,86.262.а) 1,002100 = (1 + 0,002)100 ≈ 1 + 100⋅0,002 = 1,2;б) 0,9956 = (1 – 0,005)6 ≈ 1 – 6⋅0,005 = 0,97;в) 1,003200 = (1 + 0,003)200 ≈ 1 + 200⋅0,003 = 1,6;г) 0,99820 = (1 – 0,002)20 ≈ 1 – 20⋅0,002 = 0,96.263.1⋅ 0,004 = 1,002 ;2 125,012 = 5 1,0048 ≈ 51 + ⋅ 0,00048  = 5 + 0,0012 = 5,0012 ; 2а) 1,004 = 1 + 0,004 ≈ 1 +б)в)г)1⋅ 0,003 = 0,9985 ;2 14,0016 = 2 1,0004 ≈ 21 + ⋅ 0,0004  = 2 + 0,0004 = 2,0004 ; 20,997 = 1 − 0,003 ≈ 1 −141264.а) tg44° = tg(45° – 1°) ≈ tg45° –б) cos61° ≈ cosππ1⋅=1−≈ 0,9651 ;2180 cos 45°903πππ π 1≈ 0,4849 ;+ − sin  = −3 180 3  2 360πππ 13π+≈ 0,5151 ;cos = +6 1806 2 3601π ππг) ctg47° ≈ ctg −= 1−≈ 0,9302 .4 90452 πsin4в) sin31° ≈ sin265.ππ3 1π+ 0,04  ≈ cos − 0,04 sin =− ⋅ 0,04 = 0,8460 ;66226а) cosππ3 1π− 0,02  ≈ sin − 0,02 cos =− ⋅ 0,02 ≈ 0,8560 ;33223б) sin ππ 13π+ 0,03  ≈ sin + 0,03 cos = + 0,03≈ 0,5264 ;66 226в) sin π1π+ 0,05  ≈ tg + 0,05= 1 + 2 ⋅ 0,05 = 1,01 .π44cos 24г) tg266.а)б)в)1= (1 + 0,003)-20 ≈ 1 – 20⋅0,003 = 0,94;1,003 2010,996 4012,00163= (1 – 0,004)-40 ≈ 1 + 40⋅0,004 = 1,16;1818= (2 + 0,0016)-3 = (1 + 0,0008)-3 ≈ (1 – 3⋅0,0008) =1= – 0,0003 = 0,1247;81-5г)0,994 5= (1 – 0,005) ≈ 1 + 5⋅0,006 = 1,03.21.

Производная в физике и технике142267.13а) Скорость: v(t) = x′(t) = – (t3)′ + 2(t2)′ + 5t′ = –t2 + 4t + 5 (м/сек);б) v(2) = –22 + 4⋅2 + 5 = 9 (м/сек);в) Остановка: v = 0: –t2 + 4t +5 = 0; t = 5 сек.268.v(t) = x′(t) = 3t2 – 8t (м/сек);v(5) = 3⋅52 – 8⋅5 = 35 (м/сек);a(t) = v′(t) = 6t – 8 (м/сек2);a(5) = 6⋅5 – 8 = 22 (м/сек2).269.ω(t) = ϕ′(t) = 6t – 4 (рад/сек);ω(4) = 6⋅4 – 4 = 20 (рад/сек).270.ω(t) = ϕ′(t) = 4 – 0,6t (рад/сек);ω(2) = 4 – 2⋅0,6 = 2,8 (рад/сек).271.v(t) = x′(t) = 6t2 + 1 (см/сек);a(t) = v′(t) = 12t (см/сек2);1сек.;121б) a = 2 (см/сек2): 12t = 2, t = сек.6а) a = 1 (см/сек2): 12t = 1, t =272.1 2t + 6t (м/сек);2v(t) = x′(t) = –a(t) = v′(t) = –t + 6 (м/сек2);а) a = 0: 6 – t = 0, t = 6 сек.;б) v(6) = –1 2⋅6 + 6⋅6 = 18 (м/сек).2273.v(t) =x′(t) =12 t1a(t) = v′(t) = –;4 t;a(t) = –2v3(t) – ускорение пропорционально скорости в кубе.143274.Имеем: v(t) = x′(t) = 6t2 – 2t;a(t) = v′(t) = 12t – 2;F(t) = m⋅a(t);F(2) = m⋅(12⋅2 – 2) = 22 т.275.Имеем: v(t) = x′(t) = 2t + 1 (см/сек);a(t) = v′(t) = 2 (см/сек2);а) F = m⋅a = 2⋅0,02 = 0,04 (н);б) E(t) =E(2) =m 2⋅v (t),22(2⋅2 + 1)2⋅0,012 = 0,025 (Дж).2276.ρ(l) = m′(l) = 6l + 5 (г/см).а) ρ(10) = 6⋅10 + 5 = 65 (г/см),б) ρ(20) = 6⋅20 + 5 = 125 (г/см).277.v1(t) = x1′(t) = 8t,v2(t) = x2′(t) = 3t2;v1(t) > v2(t): 8t > 3t2;83833t  t −  < 0; 0 < t < .83При t ∈  0;  скорость первой точки больше скорости второйточки.278.rr rvотн = v1 − v 2 ;r2vотн=v12 + v22 – 2v1v2cos60°;v1 = 5 км/ч,v2(t) = S′(t) = 4t + 1 (км/с) = 3600(4t + 1) (км/ч);vотн = 5 2 + 3600 2 (4t + 1) 2 − 2 ⋅ 5 ⋅ 3600(4t + 1)1  км =2  ч  км . ч = 3600 2 ⋅ 16t 2 + (3600 2 ⋅ 8 + 18000 ⋅ 4)t + 25 + 3600 2 + 18000 144§6.

ПРИМЕНЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙК ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ22. Признак возрастания (убывания) функции279.а) f(x)=3-1x;2D(f)=R;E(f)=R;f’(x)=-1<0 при, x ∈ D(f) – функция убывает на R;2б) f(x)=-x2+2x–3;D(f)=R;E(f)= (−∞;−2] ;f’(x)=2(1-x);f’(x)<0: 2(1-x)<0, x>1;f’(x)>0: 2(1-x)>0, x<1;Функция возрастает при x ∈ (−∞;1]и убывает при x ∈ [1;+∞ ) ;в) f(x)=4x–5;D(f)=R;E(f)=R;f’(x)=4>0 при x ∈D(f) – функция возрастает на R;г) f(x)=5x2–3x+1;D(f)=R; 81;+∞  ;100E(f)= f’(x)=10x–3;f(x)<0: 10(x-0,3)<0; x<0,3;f’(x)>0: 10(x-0,3)>0; x>0,3;Функция возрастает, при x ∈ [0,3;+∞ )и убывает при x ∈ (−∞;0,3] .280.а) f(x)=1462+1;xD(f)=R/ {0};1 ;E(f)=R/ {}f’(x)=2x2;f’(x)>0, при x ∈D(f);Значит, функция возрастает на R/ {0};б) f(x)=x2(x-3);D(f)=R;E(f)=R;f’(x)=3x2-6x=3x(x-2);–+0+x2f’(x)<0, при x ∈(0;2), f’(x)>0, при x ∈(- ∞ ;0) U (2;+ ∞ ).Функция убывает, при x ∈[0;2]; функция возрастает,при x ∈(- ∞ ;0] U [2;+ ∞ ).x−3;xD(f)=R/ {0}E(f)=R/ {}1 ;3в) f(x)=f’(x)=x2; f’(x)>0, при x ∈D(f).Функция возрастает на R/ {0}.г) f(x)=x3-27x;D(f)=R;E(f)=R;f’(x)=3x2-27=3(x-3)(x+3);–+-3+3xf’(x)<0 на (-3;3), f’(x)>0 на (- ∞ ;-3) U (3;+ ∞ ).Функция убывает на [-3;3], функция возрастает на (- ∞ ;-3] ина [3;+ ∞ ).281.а) f(x)=12x+3x2-2x3;D(f)=R; E(f)=R;147f’(x)=12+6x-6x2=-6(x2-x-2)=-6(x-2)(x+1);+––-1x2f’(x)<0 на (- ∞ ;-1) U (2;+ ∞ ); f’(x)>0 на (-1;2).Функция убывает на [- ∞ ;-1] и на [2;+ ∞ ), функция возрастаетна [-1;2].б) f(x)=4-x4;D(f)=R; E(f)=(- ∞ ;4];f’(x)=-4x3;–+0f′(x)<0 на (0;+ ∞ ),f′(x)>0 на (- ∞ ;0).Функция убывает на [0;+ ∞ ), функция возрастает на (- ∞ ;0].в) f(x)=x(x2-12);D(f)=R;E(f)=R;f′(x)=3x2-12=3(x2-4)=3(x-2)(x+2);–++-22xf′(x)<0 на (-2;2);f′(x)>0 на (- ∞ ;-2) U (2;+ ∞ ).Функция убывает на [-2;2], функция возрастает на (- ∞ ;-2] ина [2;+ ∞ ).г) f(x)=3;x2D(f)=R/ {0};6f′(x)=-x3E(f)=R+;;–+0f′(x)>0 на (- ∞ ;0), f′(x)<0 на (0;+ ∞ ).Функция возрастает на [- ∞ ;0), функция убывает на(0;+ ∞ ).282.а)148б)в)г)149283.а) f(x)=x3+3x2-9x+1;D(f)=R;E(f)=R;f′(x)=3x2+6x-9=3(x+3)(x-1);–+-3+x1f′(x)<0 на (-3;1), f′(x)>0 на (- ∞ ;-3) U (1;+ ∞ ).Функция убывает на [-3;1], функция возрастаетна (- ∞ ;-3] U [1;+ ∞ ).б) f(x)=4x3-1,5x4;D(f)=R;E(f)=R;f′(x)=12x2-6x3=6x2(2-x);++02xf′(x)<0 на (2;+ ∞ ); f′(x)>0 на (- ∞ ;0) U (0;2).Функция убывает на [2;+ ∞ ), функция возрастает на (- ∞ ;2].150в) f(x)=2+9x+3x2-x3;D(f)=R;E(f)=R;f’(x)=9+6x-3x2=-3(x2-2x-3)=-3(x-3)(x+1);––+–13f′(x)<0 на (- ∞ ;-1) U (3;+ ∞ );f′(x)>0 на (-1;3).Функция убывает на [- ∞ ;-1] U [3;+ ∞ ), функция возрастаетна (-1;3];г) f(x)=x4-2x2;D(f)=R;E(f)=R;f′(x)=4x3-4x=4x(x-1)(x+1);–+–+f′(x)<0 на (- ∞ ;-1) U (0;1); f′(x)>0 на (-1;0) U (1;+ ∞ ).Функция убывает на [- ∞ ;-1] U [0;1], функция возрастаетна [-1;0] U [1;+ ∞ );f(-x)=f(x) – функция четная;f(x)=0, при x2(x- 2 )(x+ 2 )=0, x= ± 2 , x=0;151284.а) f(x)=2-4;0,5 x − 1D(f)=R\ {2};E(f)=R/ {2};f′(x)=4(0,5 x − 1) 2;++хf′(x)>0 на D(f);Функция возрастает на (- ∞ ;2) U (2;+ ∞ );f(x)=0 при4=2, x=6;0,5 x − 1− x + 1, x ≤ 3, x − 5, x > 3;б) f(x)=|x-3|-2= D(f)=R;E(f)=R;− 1, x ≤ 3,1, x > 3;f′(x)= Очевидно, что в точке (3;-2) f(x) не имеет производной; функцияубывает на (- ∞ ;3];функция возрастает на [3;+ ∞ ); f(x)=0 при x=1,5.152в) f(x)=8x2-x4;D(f)=R;E(f)=R;f′(x)=16x-4x3=-4x(x-2)(x+2);02f′(x)<0 на (-2;0) U (2;+ ∞ ), f′(x)>0 на (- ∞ ;-2) U (0;2).Функция убывает на [-2;0] U [2;+ ∞ ),функция возрастает на (- ∞ ;-2] U [0;2]; f(-x)=f(x) – функция четная;f(x)=0 при x2(2 2 -x)(2 2 +x)=0, x=0, x= ± 2 2 . 11 − , x > 1, x < 0,1г) f(x)= − 1 =  xx 1 − 1,0 < x ≤ 1; xD(f)=R/ {0};E(f)=R+;1531 2 , x > 1, x < 0,f′(x)=  x− 1 ,0 < x < 1; x 2Очевидно, что в точке (1;0) f(x) не имеет производной;функция убывает на (0;1],функция возрастает на [1;+ ∞ ) U (- ∞ ;0).285.а) f(x)=3x+cos2x;D(f)=R;E(f)=R;f′(x)=3-2sin2x;3-2sin2x ≥ 1 для любого x ∈ D(f), т.е.

f′(x)>0при x ∈ R – функция возрастает на R;б) g(x)=-x3-x;3D(g)=R;E(g)=R;g′(x)=-x2-1<0 для любого x ∈ D(g), т.е. функция убывает на R;в) f(x)=x7+2x5+3;D(f)=R;E(f)=R;f′(x)=7x6+10x4 ≥ 0 для любого x ∈ D(f), функция возрастает на R;г) g(x)=-4x+sin3x;D(g)=R;E(g)=R;g′(x)=-4x+3cos3x;-4+3cos3x ≤ -1 для любого x ∈ D(g), g′(x)<0при x ∈ R, т.е.

функция убывает на R.154286.а) f(x)=x3-27x+2;D(f)=R;f’(x)=3x2-27=3(x-3)(x+3) – функция возрастаетна (- ∞ ;3] U [3;+ ∞ ), функция убывает на [-3;3];f(-1)=28>0, f(1)=-24<0,f(x) непрерывна и убывает на [-1;1] –существует единственная точка x0 ∈ [-1;1]: f(x0)=0;f(4)=-42<0, f(6)=56>0,f(x) непрерывна и возрастает на [4;6] –существует единственная точка x0 ∈ [4;6]: f(x0)=0.б) f(x)=x4-4x-9;D(f)=R;f’(x)=4x3-4=4(x-1)(x2+x+1) – функция возрастает на [1;+ ∞ ],функция убывает на (- ∞ ;1];f(-2)=15>0, f(0)=-9<0,f(x) непрерывна и убывает на [-2;0] –существует единственная точка x0 ∈ [-2;0]: f(x0)=0;f(2)=-1<0, f(3)=60>0,f(x) непрерывна и возрастает на [2;3] –существует единственная точка x0 ∈ [2;3]: f(x0)=0;в) f(x)=x4+6x2-8;D(f)=R;f’(x)=4x3+12x=4x(x2+3) – функция убывает на (- ∞ ;0], функциявозрастает на [0;+ ∞ );f(-2)=32>0, f(-1)=-1<0,f(x) непрерывна и убывает на [-2;-1] –существует единственная точка x0 ∈ [-2;-1]: f(x0)=0;f(1)=-1<0, f(2)=32>0,f(x) непрерывна и возрастает на [1;2] –существует единственная точка x0 ∈ [1;2]: f(x0)=0;г) f(x)=-1+3x2-x3;D(f)=R;f’(x)=6x-3x2=-3x(x-2) – функция возрастает на [0;2], функция убывает на (- ∞ ;0] U [2;+ ∞ );f(-2)=19>0, f(0)=-1<0,f(x) непрерывна и убывает на [-2;0] –существует единственная точка x0 ∈ [-2;0]: f(x0)=0;f(2)=3>0, f(3)=-1<0,f(x) непрерывна и убывает на [2;3] –существует единственная точка x0 ∈ [2;3]: f(x0)=0;23.

Характеристики

Список файлов книги