kolmogorov-gdz-10- №1-325 (991260), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

К примеру, пусть f1(x) =Тогда f1′(x) = –1, f2′(x) =11и f2(x) = – .xx1– в т. x0 = 0, очевидно, у каждой изxx2функций производной не существует. Однако, ϕ(x) = f1(x) + f2(x)1 1= – = 0 – имеет производную, равную 0, в любой т. x0→R.x xб) Пусть ϕ(x) = f1(x) + f2(x) имеет производную в т. x0 и функцияf1(x) также имеет производную в т. x0, но функция f2(x) не имеет вэтой точке производной.

Обозначим ϕ′(x0) = a, f1′(x0) = b.Тогда f2′(x0) = ϕ′(x0) – f1′(x0) = a – b, т.е. функция f2(x) имеетпроизводную в т. x0, что противоречит предположению, т.е. ϕ(x) неимеет производной в точке x0.216. Производная сложной функции220.а) h(x) = cos3x;πб) h(x) = sin  2x −  ;3117π, g(y) = siny;3πг)h(x) = cos  3x +  ;4πy= f(x) = 3x + ; g(y) = cosy.4y= f(x) = 3x, g(y) = cosy;в) h(x) = tgy = f(x) =y= f(x) = 2x –x;2x; g(y) = tgy;2221.а) h(x) = (3 – 5x)5;б) h(x) = cos x ;5y = f(x) = 3 – 5x; g(y) = y ;y = f(x) = cosx; g(y) =в) h(x) = (2x + 1)7;г) h(x) = tgy = f(x) = 2x + 1; g(y) = y7;y = f(x) =y;1;x1; g(y) = tgy.x222.а) y = 9 − x 2 ;y ≥ 0: 9 – x2 ≥ 0;(x – 3)(x + 3) ≤ 0; –3 ≤ x ≤ 3;в) y = 0,25 − x 2 ;y ≥ 0: 0,25 – x2 ≥ 0;(x – 0,5)(x + 0,5) ≤ 0;–0,5 ≤ x ≤ 0,5;б) y =1;x 2 − 7 x + 12y > 0: x2 – 7x + 12 > 0;(x – 3)(x – 4) > 0; x < 3; x > 4;1;4x + 5 − x 2y > 0: 4x + 5 – x2 > 0;(x + 1)(x – 5) < 0;–1 < x < 5.г) y =223.а) y = cos x ;y ≥ 0: cosx ≥ 0;–118ππ+ 2πn ≤ x ≤ + 2πn, n ∈ Z;22б) y =1;πsin  x − 6πy ≠ 0: sin  x −  ≠ 0;6πx ≠ + πk, k ∈ Z;6 ππОтвет: − + 2πn; + 2πn / n ∈ Z  .22г) y = sin x ;в) y = tg2x;π2x ≠ + πn, n ∈ Z;2π πx ≠ + n, n ∈ Z;4 2y ≥ 0: sinx ≥ 0;2πk ≤ x ≤ π + 2πk, k ∈ Z.224.а) f′(x) = ((2x – 7)8)′ = 8(2x – 7)8-1(2x – 7)′ = 16(2x – 7)7;′1 = –3(5x + 1)-3-1(5x + 1)′ = – 15б) f′(x) = ;3 (5 x + 1) 4 (5 x + 1) в) f′(x) = ((9x + 5)4)′ = 4(9x + 5)4-1(9x + 5)′ = 36(9x + 5)3;′301= –5(6x – 1)5-1(6x – 1)′ = –.г) f′(x) = 5 (6 x − 1) 6 (6 x − 1) 225.′−9−9−1′x  xx9;а) f′(x) =  3 − = −9 3 − 3 −  =10222x2 3 − 288−1′ 1 1 1б) f′(x) =   x − 7  − (1 − 2 x )4  = 8 x − 7   x − 7  − 4 4 471– 4(1 – 2x)4-1⋅(1 – 2x)′ = 2  x − 7  + 8(1 – 2x)3;4в) f′(x) = ((4 – 1,5x)10)′ = 10(4 – 1,5x)10-1(4 – 1,5x)′ = –15(4 – 1,5x)9;г) f′(x) = ((5x – 2)13 – (4x + 7)-6)′ = 13(5x – 2)13-1⋅(5x – 2)′ +24+ 6(4x + 7)-6-1⋅(4x + 7)′ = 65(5x – 2)12 +.( 4 x + 7) 7226.а) y = 1− 2 cos x ;y ≥ 0: 1 – 2cosx ≥ 0; cosx ≤1;211911+ 2πn ≤ x ≤ 2π – arccos + 2πn;225ππ+ 2πn ≤ x ≤+ 2πn, n ∈ Z;334б) y =−1 ;x24y ≥ 0: 2 – 1 ≥ 0;x x 2 − 4 ≤ 0, ( x − 2)( x + 2) ≤ 0, − 2 ≤ x ≤ 2,⇒ x ∈ [–2; 0) ∪ (0; 2]; x ≠ 0; x ≠ 0; x ≠ 0;arccosв) y = sin x − 0,5 ;y ≥ 0: sinx – 0,5 ≥ 0; sinx ≥ 0,5;5ππ+ 2πk ≤ x ≤+ 2πk, k ∈ Z;661+1 ;г) y =x1x +1+ 1 ≥ 0;y ≥ 0:≥ 0;xx x ≤ −1; x( x + 1) ≥ 0;  x ≥ 0; ⇒ x ∈ (–∞; –1] ∪ (0; +∞). x ≠ 0; x ≠ 0.227.а) h(x) = f(g(x)) = 3 – 2x2;б) h(x) = g(p(x)) = sin2x;в) h(x) = g(f(x)) = (3 – 2x)2;г)h(x) = p(f(x)) = sin(3 – 2x).228.1а) h(x) = f(g(x)) =;cos x − 1cosx – 1 ≠ 0;x ≠ 2πk, k ∈ Z;D(h) = R\{2πk/k ∈ Z};1;б) h(x) = f(p(x)) =x −1120 x ≥ 0,x ≥ 0;D(h) = [0; 1) ∪ [1; +∞); x − 1 ≠ 0, x ≠ 1;в) h(x) = p(f(x)) = cos x ;cosx ≥ 0;ππ− + 2πn ≤ x ≤ + 2πn, n ∈ Z ;22 ππD(h) = − + 2πn; + 2πn / n ∈ Z  ;221;г) h(x) = p(f(x)) =x −1x – 1 > 0; x > 1;D(h) = (1; +∞).229.а) f(x) =11x, g(x) = 2x; f(g(x)) = (2x) = x;22б) f(x) = x2; g(x) = x , где x≥ 0.

f(g(x)) = ( x )2 = x;12в) f(x) = x – ; g(x) = 3x + 2; f(g(x)) = – x 2 + 1 − 1 = –|x| = x33при x ≤ 0.230.а) f′(x)=17(x3 – 2x2 +3)17-1(x3 – 2x2 + 3)′ = 17(x3 – 2x2 + 3)16(3x2 – 4x) == 17x(x3 – 2x2 + 3)16(3x – 4);1′  1 ′ 14 −14б) f′(x) =  1 − x 4  +  2 = 1− x 2 1− x =  x +3 2(= (x2 + 3)-2(x2 + 3)′ = −в) f′(x) =(14x 2 + 521−122x31− x4) (4 x2−)) (2x( x + 3) 2′+5 =2);4x4x 2 + 5;1−11г) f′(x) = 5(3 – x3)5-1(3 – x3)′ + (2 x − 7) 2 (2 x − 7)′ =21.= –15x2(3 – x3)4 +2x − 712117. Производные тригонометрических функций231.а) y′(x) = 2cosx;б) y′(x) = –в) y′(x) = –0,5cosx;г) y′(x) =232.а) y′(x) = –3sinx;1cosx;23cosx.2б) y′(x) = 1 – 2sinx;3г) y′(x) = 2cosx – sinx.2в) y′(x) = sinx;233.а) y′(x) = –в) y′(x) =32cos x122 cos x;б) y′(x) = –sinx –;г) y′(x) =2cos 2 x1cos 2 x;– cosx.234.11(cos(2x – π))′ = – (–sin2x)⋅2 = sin2x;22f′(x) = f′(π) = 0;2б) f′(x) = x′ + (tgx)′ = 1 +;cos 2 2 x2f′(0) = f′(π) = 1 + = 3;1′′  x π xxx 1в)f′(x) = 3  sin  −   = −3 cos  = −3 −  sin = sin ;333 3  3 2 а) f′(x) =f′(0) = 0; f′(π) = sin3π;=32′xxx 1г) f′(x) = 2  cos  = 2 ⋅  −  sin = − sin ;222 2πf′(0) = 0; f′(π) = –sin = –1.2122235.11x′ + (cosx)′ = – sinx;221f′(x) = 0: – sinx = 0;2πто x = (–1)k + πk, k ∈ Z;61б) f′(x) = x′ – (tgx)′ = 1 –;cos 2 x1f′(x) = 0: 1 –= 0;cos 2 xто cosx = –1 либо cosx = 1;x = π + 2πn, n ∈ Z либо x = 2πk, k ∈ Z;в) f′(x) = 2(sinx)′ – 1′ = 2cosx;f′(x) = 0: cosx = 0;πто x = + πn, n ∈ Z;2г) f′(x) = x′ – (cosx)′ = 1 + sinx;f′(x) = 0: 1 + sinx = 0;πто x = – + πn, n ∈ Z.2а) f′(x) =236.а) f′(x) = 3x2sin2x + 2x3cos2x;2б)f′(x) = 4x3 +;cos 2 2 x(cos 3 x)′ ⋅ x − cos 3 x ⋅ x ′ −3 x sin 3x − cos 3x=в) f′(x) =;x2x2x ′ sin x − x(sin x)′ sin x − x cos x=.г) f′(x) =sin 2 xsin 2 x237.а) f′(x) = 2sinx⋅(sinx)′ = 2sinxcosx = sin2x;11− 4(cos 2 x − sin 2 x) − 4 cos 2 x;б) f′(x) =−==cos 2 x sin 2 x(2 cos x sin x) 2sin 2 2 xв) f′(x) = 2cosx⋅(cosx)′ = –2cosxsinx = –sin2x;г) f′(x) = (sin2x + cos2x)′ = 0.123238.а) f′(x) = (cos2xsinx + sin2xcosx)′ = 3cos3x;б) f′(x) =  cos 2′1xxx− sin 2  = − sin ;4422в) f′(x) = (sin5xsin3x + cos5xsin3x)′ = –2sin2x;г) f′(x) = (sin3xcos3x)′ = 3cos6x.239.а) f′(x) = 2(sin2x)′ – 2 x′ = 2sin2x – 2 ;f′(x) = 0: 2sin2x – 2 = 0;2ππ π+ πk; x = (–1)k + k, k ∈ Z; f′(x) > 0: sin2x >;48 223π3πππ+ 2πn < 2x <+ 2πn; + πn < x <+ πn, n ∈ Z;4488б) f′(x) = 2x′ + (cos(4x – π))′ = 2 – (cos4x)′ = 2 + 4sin4x;f′(x) = 0: 2 + 4sin4x = 0;ππ π+ k, k ∈ Z;4x = (–1)k+1 + πk; x = (–1)k+1624 41f′(x) > 0: sin4x > – ;27π7π πππ π+ 2πn; –+ n<x<+ n, n ∈ Z;– + 2πn < 4x <6624 224 2в) f′(x) = (cos2x)′ = –2sin2x; f′(x) = 0: –2sin2x = 0;π2x = πn; x = n, n ∈ Z; f′(x) > 0: –2sin2x > 0;2π–π + 2πk < 2x < 2πk; – + πk < x < πk, k ∈ Z;2г) f′(x) = (sin2x)′ – 3 x′ = 2cos2x – 3 ; f′(x) = 0: 2cos2x – 3 = 0;2x = (–1)k3ππ+ 2πk; x = ± + πk, k ∈ Z; f′(x) > 0: cos2x >;6122ππππ– + 2πn < 2x < + 2πn; – + πn < x < + πn, n ∈ Z.6612122x = ±240.а) f(x) = x + cosx + 5;в) f(x) = 20 – sinx;124б) f(x) = sin2x + 1;г) f(x) = 2 – 3cosx.§ 5.

ПРИМЕНЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИИ ПРОИЗВОДНОЙ18. Применение непрерывности241.а) f(x) = x4 – x + 1;f′(x) = 4x3 – 1, D(f′) = R – непрерывна на R, а значит и вт. x1 = 0 и x2 = –1.x ≤ −1; x + 1,б) f(x) =  2 x − x, x > −1.f′(x1 = 0) = 2⋅0 – 1 = –1 – дифференцируема в т. x1 = 0 и, значит,непрерывна в этой точке.f(x2 + ∆x)→2 при ∆x > 0 и ∆x→0;f(x2 + ∆x)→2 при ∆x < 0 и ∆x→0,поэтому в т. x2 = –1 функция является непрерывной.1 − x 2 ,x < 0;в) f(x) = 5 − 2 x, x ≥ 0.f′(x) = –2⋅(–1) = 2 – функция непрерывна в т. x2 = –1.f(x1 + ∆x)→5 при ∆x > 0 и ∆x→0;f(x1 + ∆x)→1 при ∆x < 0 и ∆x→0,значит, f(x) в т. x1 = 0 не является непрерывной.г) f(x) = 2x – x2 + x3;f′(x) = 2 – 2x + 3x2 , D(f′) = R – функция непрерывна при x ∈ R,а значит и в т.

x1 = 0 и x2 = –1.242.а) f(x) = x3 – 2x2;f′(x) = 3x2 – 4x, D(f′) = R – функция f(x) непрерывна при x ∈ R;x 3 + 27;б) f(x) =3x + x 2D(f) = (–∞; –3) ∪ (–3; 0) ∪ (0; +∞);т.е. x ∈ (–∞; –3), x ∈ (–3; 0), x ∈ (0; +∞);в) f(x) = 2x4 – 3x2 + 4;f′(x) = 8x3 – 6x, D(f′) = R – функция f(x) непрерывна при x ∈ R;x 2 − 5x + 6;г) f(x) =x3 − 8D(f) = (–∞; 2) ∪ (2; +∞); т.е. x ∈ (–∞; 2), x ∈ (2; +∞).125243.а) f(x) = 1,4 – 10x2 – x3 непрерывна на [0, 1] и f(0) = 1,4 > 0,f(1) = –9,6 < 0 – функция f(x) имеет на [0; 1] корень;f(0,2) = 0,992 > 0, f(0,4) = –0,264 < 0 – корень x0 ∈ [0,2; 0,4],x0 ≈ 0,3 с точностью до 0,1;б) f(x) = 1 + 2x2 – 100x4 непрерывна на [0, 1] и f(0) = 1 > 0,f(1) = –97 < 0 – функция f(x) имеет на [0; 1] корень;f(0,3) = 0,37 > 0, f(0,5) = –4,75 < 0 – корень x0 ∈ [0,3; 0,5],x0 ≈ 0,4 с точностью до 0,1;в) f(x) = x3 – 5x + 3 непрерывна на [0, 1] и f(0) = 3 > 0,f(1) = –1 < 0 – функция f(x) имеет на [0; 1] корень;f(0,6) = 0,216 > 0, f(0,8) = –0,488 < 0 – корень x0 ∈ [0,6; 0,8],x0 ≈ 0,7 с точностью до 0,1;г) f(x) = x4 + 2x – 0,5 непрерывна на [0, 1] и f(0) = –0,5 < 0,f(1) = 2,5 > 0 – функция f(x) имеет на [0; 1] корень;f(0,2) = –0,0984 < 0, f(0,4) = 0,3256 > 0 – корень x0 ∈ [0,2; 0,4],x0 ≈ 0,3 с точностью до 0,1.244.а) x2 – 5x + 4 > 0;(x – 4)(x – 1) > 0;–++1x4Ответ: (–∞; 1) ∪ (4; +∞).x+3б) 2≥0;x + 4x − 5x+3≥0;( x + 5)( x − 1)––5+–+–3x1Ответ: (–5; –3] ∪ (1; +∞).в) x2 – 3x – 4 ≤ 0;(x + 1)(x – 4) ≤ 0;–+–1Ответ: [–1; 4].126+4xx2 − 7x + 6<0;x−2( x − 1)( x − 6)<0;x−2г)––+1+2x6Ответ: (–∞; 1) ∪ (2; 6).245.а)( x − 2)( x − 4)x 2 + 2x − 3≥0;( x − 2)( x − 4)≥0;( x − 1)( x + 3)–+–3–++21x4Ответ: (–∞; –3) ∪ (1; 2] ∪ [4; +∞).8<1;б) 2x − 6x + 8x 2 − 6x>0;x 2 − 6x + 8x ( x − 6)>0;( x − 2)( x − 4)–+0–++421x6Ответ: (–∞; 0) ∪ (2; 4) ∪ (6; +∞).2x 2 + 5xв) 2≥1;x + 5x + 4( x − 2)( x + 2)≥0;( x + 1)( x + 4)+–+–2–1–2–4Ответ: (–∞; –4) ∪ [–2; –1) ∪ [2; +∞).+x127x 2 − 2x − 3<0;( x + 3)( x − 4)г)( x + 1)( x − 3)< 0;( x + 3)( x − 4)–+–1–3–++x43Ответ: (–3; –1) ∪ (3; 4).246.а) f(x) = x −4;x−34≥0;x −3( x + 1)( x − 4)≥ 0;x −3x−––+1+3x4D(f) = [–1; 3) ∪ [4; +∞).б) f(x) =32x −43+1 ;2x −4+1 ≥ 0 ;( x − 1)( x + 1)≥0;( x − 2)( x + 2)–+–2–+–11D(f) = (–∞; –2) ∪ [–1; 1] ∪ (2; +∞).в) f(x) =x 2 + 7 x + 12;xx 2 + 7 x + 12≥0;x128+2x( x + 3)( x + 4)≥0;x–+–+–4–3x0D(f) = [–4; –3] ∪ (0; +∞).8;г) f(x) = 1 − 2x −181− 2≥0;x −1( x − 3)( x + 3)≥0;( x − 1)( x + 1)–+–3–+–11+3xD(f) = (–∞; –3] ∪ (–1; 1) ∪ [3; +∞).247.x < 4,4 − x,а) f(x) = 2( x − m) , x ≥ 4;Видим, что f(x) является непрерывной на R при любом m, кромеx = 4; условие непрерывности в т.

Характеристики

Список файлов книги