kolmogorov-gdz-10- №1-325 (991260), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

функция возрастает при x∈(0;-2]∪[0;2];убывает при x∈[-2;0]∪[2;+∞);xmax = 2; ymax = 4; xmax = -2; ymax = 4;xmin = 0; ymin = 0.в) y =1( x + 1) 3− 2 ; D (y) = R / {-1}.Если x1 < x2 < -1, то1( x1 + 1)3>1( x 2 + 1) 3, т.е. функция убываетна (-∞;-1);Аналогично, функция убывает на (-1;+∞);Точек max и min нет.46( x − 1) 2 − 1, x ≥ 0;2( x + 1) − 1, x < 0;г) y = x2 - 2x; y = Т.е.

функция возрастает при x∈[-1;0]∪[1; +∞);убывает при x∈(-∞;-1]∪[0;1];xmin = 1; ymin = -1; xmin = -1; ymin = -1; xmax = 0; ymax = 0.4789.π4а) y = cos( x − ); D (y) = R;ππ( x ′ + ) max = 2πn; x max = − + 2πn; y max = 1; n ∈ Z .443ππ( x + ) min = π + 2πn; x min =+ 2πn; y min = −1; n ∈ Z .443π πФункция убывает на − + 2πn; + 2πn , n ∈ Z ;4 4π 3π+ 2πn;− + 2πn , n ∈ Z .44возрастает на −πб) y = 1 − sin( x − ); D (y) = R;35ππx min =+ 2πn; ymin = 0; n ∈ Z ; x max = − + 2πn; ymax = 2; n∈Z.665π πФункция убывает на − + 2πn; + 2πn , n ∈ Z ;6 6 5π11π+ 2πn , n ∈ Z .возрастает на  + 2πn;66π6в) y = sin( x + ); D (y) = R;4ππ+ 2πn; y min = −1; n ∈ Z .

x max = + 2πn; ymax = 1; n∈Z.33π 2π+ 2πn; + 2πn , n ∈ Z ;Функция возрастает на −3 3x min =π4π+ 2πn , n ∈ Z .убывает на  + 2πn;33π3г) y = 2 + cos( x − ); x min = −2π+ 2πn; y min = 1; n ∈ Z .3π+ 2πn; ymax = 3; n∈Z.34ππ+ 2πn , n ∈ Z ;Функция убывает на  + 2πn;33x max =46π 2π+ 2πn; + 2πn , n ∈ Z .3 3возрастает на −90.25π7π4π3π5π5π; sin; cos(− ) = cos( );= cos= cos91099393π 4π 5π 7 πт.к. 0 <<<<<πи1099925π5π4π4πy = cos x ↓ на [0;π] ⇒ cos.< cos(− ) < cos< sin99995π15π2π3πб) ctg (− ) = tg; ctg= tg (− );7878π7π3π 2π 3π πт.к.

− < −<−<<< и21687827π3π2π3ππ πy = tg x ↑ на (− ; ) , то tg (− ) < tg (− ) < tg;< tg2 2781687π15π5π3πtg (− ) < ctg.< tg (− ) < tg1687812π2π6π2π; tg;в) ctg= ctg= ctg55553π 2π 7 π 9π0<<<<< π и y = ctg x ↓ на (0;π), то105 15 109π7π12π6πсtg< ctg< сtg< tg .10155513ππ17 ππг) cos= sin( − ); sin= sin ;242466ππ π 5π π5π π π− <−<−< << и y = sin x ↑ на − ;  , то21224 6 24 2 2 2а) cossin( −5π13π17 π5π) < cos.< sin< sin122462491.а) f(x) = x4 + 3x;Пусть x1, x2 ∈ [0;+∞) и x1< x2, то x14 + 3x1 < x 24 + 3x 2 ;f(x1) < f(x2), т.е.

функция возрастает.б) f(x) = - x3 - 2x;Пусть x1, x2 ∈ R и x1< x2, то − x13 − 2 x1 > −2 x 2 − x 23 ;47f(x1) > f(x2), т.е. функция убывает.в) f(x) = x6 – 0.5;Пусть x1, x2 ∈ (-∞;0] и x1< x2, то (+ x 2 ) 6 − 0.5 < ( + x1 ) 6 − 0.5;f(x1) > f(x2), т.е. функция убывает.г) f(x) = x5 + 1.5x;Пусть x1, x2 ∈ R и x1< x2, то x15 + 1.5 x1 < x 25 + 1.5 x 2 ;f (x1) < f(x2), т.е. функция возрастает.92.а) Если f – четная функция, то f(x0) = f(-x0), следовательно, если x0– точка максимума, то и (-x0) – точка максимума.б) Пусть f – нечетная функция и на [a;b] f(x) ↓, т.е.

для любыхx1, x2 ∈ [a;b], x1< x2: f (x1) > f(x2). Тогда в силу нечетности, для любых-x1 и -x2 x1, x2 ∈[-b;-a], что x1>x2 f (x1)<f(x2), т.е. f (x)↓ на [-b;-a].в) Если f – нечетная функция, то f(x0) = -f(-x0), следовательно, еслиx0 – точка максимума, то (-x0) – точка минимума.г) Пусть f – четная функция и на [a;b] f(x)↑, т.е. для любыхx1, x2 ∈ [a;b], что x1< x2 и f (x1) < f(x2). Тогда в силу четности длялюбых -x1 и -x2 из [-b;-a], что x2 < x1: f (-x1) < f(-x2), т.е. на [-b;-a]функция убывает.6.

Исследование функций93.а) D(f) = [-8;5]; E(f) = [-2;5]; f(x) = 0, если x = 1; f(0) = 2.5;f(x) > 0 на [-8;1); f(x) < 0 на (1;5];f(x) ↓ на [-8;-5]∪[-1;3]; f(x) ↑ на [-5;-1]∪[3;5].xmin = -5; ymin = 1; xmin = 3; ymin = -2;xmax = -1; ymax = 3.f(5) = 0, f(-8) = 5.б) D(f) = R \ {-2}; E(f) = R \ {2};f(x) = 0, если x = 0; f(0) = 0;f(x) > 0 на [-∞;-2)∪(0; +∞); f(x) < 0 на (-2;0);f(x) ↑ на (-∞;-2)∪(-2;+∞);y = 2 – горизонтальная асимптота;x = -2 – вертикальная асимптота.в) D(f) = [-6;6]; E(f) = [-2;2];f(-x)= -f(x), следовательно функция нечетная;f(x) = 0, если x = 0;±4; f(0) = 0;48f(x) > 0 на (-4;0)∪(4;6]; f(x) < 0 на [-6;-4)∪(0;4);f(x) ↑на [-6;-2]∪[2;6]; f(x) ↓на [-2;2].xmin = 2; ymin = -2; xmax = -2; ymax = 2.f(-6) = -2, f(6) = 2.г) D(f) = [-5;7]; E(f) = [-3;3];f(x) = 0, если x = 5;-4;±1; f(0) = 1;f(x) > 0 на [-5;-4)∪(-1;1)∪(5;7]; f(x) < 0 на (-4;1)∪(1;5);f(x) ↓ на [-5;-3]∪[0;3]; f(x) ↑ на [-3;0]∪[3;7].xmin = -3; ymin = -2; xmin = 3; ymin = -3;xmax = 0; ymax = 1.f(7) = 3, f(-2) = -1.94.а)б)в)49г)95.а) f(x) = 5 – 2x;D(f) = R; E(f) = R;5; f(0) = 5;25f(x) > 0 если x ∈ (-∞; );25f(x) < 0 если x ∈ ( ;+∞);2f(x) = 0, если x =Функция убывает на R.

Точек max и min нет.б) f(x) = 3 – 2x – x2 = 4 – (x + 1)2;D(f) = R; E(f) = (-∞;4];f(x) = 0, если x = -3; x = 1; f(0) = 3;f(x) > 0 на (-3;1);f(x) < 0 на (-∞;3)∪(1; +∞);f(x) ↑ на (-∞; -1].f(x) ↓ на [-1; +∞);xmax = -1;ymax = 4.в) f(x) = 3x - 2;50D(f) = R; E(f) = R;2; f(0) = -2;32f(x) < 0 если x ∈ (-∞; );32f(x) > 0 если x ∈ ( ;+∞);3f(x) = 0, если x =Функция возрастает на R.Точек max и min нет.г) f(x) = x2 – 3x +2 = -0.25 + (x D(f) = R; E(f) = [-3 2);21;+∞);4f(x) = 0, если x = 1; x = 2; f(0) = 2;f(x) > 0 на (-∞;1)∪(2; +∞);f(x) < 0 на (1;2);33]; f(x) ↑ на [ ;+∞).2231xmin = ; ymin = − .24f(x) ↓ на (-∞; +96.а) f(x) =1−2;xD(f) = R / {0}; E(f) = R / {-2};f(x) = 0, если x = 0 и x = 5;f(x) < 0 если x ∈ (-∞;0)∪(1;2+∞);f(x) > 0 если x ∈ (0;1);2f(x) ↓ на (-∞;0)∪(0; +∞);y = -2 и x = 0 – асимптоты.

Точек max и min нет.б) f(x) = - (x–3)4;D(f) = R; E(f) = R;f(x) = 0, если x = 0 и x = 5; f(0) = -81;f(x) < 0 на D(f) / {3};f(x) ↓ на [3; +∞);f(x) ↑ на (-∞;3];51xmax = 3; ymax = 0.в) f(x) =1;x+2D(f) = R / {-2}; E(f) = R / {0};f(x) ≠ 0; f(0) =1;2f(x) < 0 если x ∈ (-∞;-2);f(x) > 0 если x ∈ (-2; +∞);y = 0 и x = -2 – асимптоты.Точек max и min нет.г) f(x) = x3-1;D(f) = R; E(f) = R;f(x) = 0 при x =1; f(0) = -1;f(x) < 0 если x ∈ (-∞;1);f(x) > 0 если x ∈ (1; +∞);f(x) ↑ на R;Точек max и min нет.97.а) f(x) = x − 3 ;D(f) = [3; +∞); E(f) = [0; +∞);f(x) = 0 при x =3; f(0) неопределено;f(x) > 0 если x ∈ (3; +∞);f(x) ↑ на D(f);б) f(x) = 4x–x2 = 4-(x-2)2;D(f) = R; E(f) = (-∞;4];f(x) = 0, если x = 0 или x = 4;f(x) < 0 если x ∈ (-∞;0)∪(4; +∞);f(x) > 0 если x ∈ (0;4);f(x) ↓ на [2; +∞);f(x) ↑ на (-∞;2];xmax = 2;ymax = 4.в) f(x) = x + 1 ;52D(f) = [-1; +∞); E(f) = R+;f(x) = 0 при x = -1; f(0) = 1;f(x) > 0 если x ∈ (-1; +∞);f(x) ↑ на D(f);Точек max и min нет.г) f(x) = 4-x2;D(f) = R; E(f) = (-∞;4];f(-x) = f(x) – четная функция;f(x) = 0, если x = ±2; f(0) = 4;f(x) < 0 если x ∈ (-∞;-2)∪(2; +∞);f(x) > 0 если x ∈ (-2;2);f(x) ↑ на (-∞;0];f(x) ↓ на [0; +∞);xmax = 0.ymax = 4;98.а) f(x) = x4+4x2 = (x2+2) 2-4;D(f) = R; E(f) =R+;f(-x) = f(x) – функция четная;f(x) = 0, если x =0;f(x) > 0 если R / {0};f(x) ↓ на R-;f(x) ↑ на R+;xmin = 0.ymin = -4;б) f(x) = 1 − x + 4 ;D(f) = [-4; +∞); E(f) = (-∞;1];f(x) = 0, если x = -3; f(0) = -1;f(x) < 0 если x ∈(-3; +∞);f(x) > 0 если x ∈ [-4;-3);f(x) ↓ на [-4; +∞);xmax = -4.ymax = 1;в) f(x) = x3+x;D(f) = R; E(f) = R;f(x) = 0 при x =0;f(x) < 0 если x ∈ (-∞;0);53f(x) > 0 если x ∈ (0; +∞);f(x) ↑ на R;Точек max и min нет.г) f(x) = x − 2 − 2 ;D(f) = [2; +∞); E(f) = [-2;+∞);f(x) = 0, если x = 6;f(x) < 0 если x ∈[2;6);f(x) > 0 если x ∈ (6; +∞);f(x) ↑ на D(f);xmin = 2;ymin = 2.99.а) f(x) = x2- 2 x +1 == ( x ) 2 − 2 x + 1 = (1 + x ) 2 ;f(x) ↓ на (-∞;-1]∪[0;1];f(x) ↑ на [-1;0]∪(1; +∞);xmin = ±1;ymin = 0;xmax = 0;ymax = 1.б) f(x) = 1 +2;x −1D(f) = R / {1}; E(f) = R / {1};f(x) = 0, если x = -1; f(0) = -1f(x) < 0 если x ∈ (-1;1);f(x) > 0 если x ∈ (-∞;-1)∪(1; +∞);y = 1 и x = 1 – асимптоты.Точек max и min нет.f(x) ↓ на D(f).54D(f) = R; E(f) =R+;f(-x) = f(x) – четная функция;f(x) = 0, если x ± 1; f(0) = 1f(x) > 0 еслиx ∈ (-∞;-1)∪(-1;1);∪(1; +∞);12в) f(x) = x − x 2 = 0.25 − ( x − ) 2 ;D(f) = R;E(f) = (-∞;1];4f(-x) = f(x) – четная функция;f(x) = 0, если x ± 1; x =0;f(x) > 0 если x ∈ (-1;1);f(x) < 0 если x ∈ (-∞;-1)∪(1; +∞);12121212f(x) ↓ на [− ;0] ∪ [ ;+∞] ; f(x) ↑ на [0; ] ∪ (−∞;− ] ;xmin = 0;ymin = 0;11; ymax = .241г) f(x) = 2 + ;xxmax = ±D(f) = R / {0}; E(f) = R / {-2};1;21f(x) < 0 если x ∈ ( − ;0);2f(x) = 0, если x = −f(x) > 0 еслиx ∈ (-∞; −1)∪(0; +∞);2y = 2 и x = 0 – асимптоты.Точек max и min нет.f(x) ↓ на D(f).7.

Свойства тригонометрических функций.Гармонические колебания.100.18π2ππ28π= −tg= − sin ;;sin5533π15π8π2πctg ( − ) = ctg ;) = cos ;б) cos(−8855а) tg55ππ14π15π= −tg ;) = − sin ; tg5588ππ20π35πг) cos= − cos ;= −ctg .ctg7799в) sin(−101.а) D(f) = R; E(f) = [-4;2];πб) D(f) = R / { n / n ∈ Z }; E(f) = R;3в) D(f) = R / { π + 2πn / n ∈ Z }; E(f) = R;1 32 2г) D(f) = R; E(f) = [ − ; ].102.а) f(x) = -sin 3x;πn,n∈ Z ;32πn π 2πnf(x) < 0 если x ∈ (; +), n ∈ Z ;3 33π 2πn 2πnf(x) > 0 если x ∈ (− +;), n ∈ Z ;3332xб) f(x) = tg;33πnf(x) = 0, если x =,n ∈ Z ;23π 3πn 3πnf(x) < 0 если x ∈ (−;), n ∈ Z ;+4223πn 3π 3πn;), n ∈ Z ;f(x) > 0 если x ∈ (+2 42xв) f(x) = cos ;2f(x) = 0, если x =π+2πn, n∈Z;f(x) > 0 если x ∈ (-π+4πn; π+4πn), n∈Z;f(x) < 0 если x ∈(π+4πn; 3π+4πn), n∈Z;г) f(x) = ctg 2x;π πnf(x) = 0, если x = + , n ∈ Z ;4 2f(x) = 0, если x =56π4πnf(x) > 0 если x ∈ ( ;2f(x) < 0 если x ∈ ( +πn π πn; + ), n ∈ Z ;2 2 2π πn+ ), n ∈ Z .4 2103.а) f(x) = 4cos3x;π 2πn 2πn;], n ∈ Z ;f(x) ↑ на [− +3332πn π 2πn; +], n ∈ Z .f(x) ↓ на [3 33π 2πnxmin = +; ymin = -4; n∈Z;332πnxmax =; ymax = 4; n∈Z.3xб) f(x) = 0.5сtg ; f(x) ↓ на R \ {4πn, n∈Z};4Точек max и min нет.в) f(x) = 2tgx; f(x) ↑ на R \ {π + 2πn, n∈Z};2Точек max и min нет.г) f(x) =0.2sin4x;π8πn π πn; + ], n ∈ Z ;2 8 2π πk 3π πkf(x) ↓ на [ + ; + ], k ∈ Z .8 2 82π πnxmin = − +; ymin = -0.2; n∈Z;8 2π πnxmax = +; ymax = 0.2; n∈Z.82f(x) ↑ на [− +104.а) f(x) = 0.5 cosx;31 12 2D(f) = R; E(f) = [ − ; ];f(-x) = f(x) – четная функция;периодическая: Т = 6π;57f(x) = 0, если x =f(0) =3π+ 3πn, n ∈ Z ;21;23π3π+ 6πn;+ 6πn), n ∈ Z ;223π9πf(x) < 0 на ( + 6πn;+ 6πn), n ∈ Z ;22f(x) > 0 на (−f(x) ↑ на [-3π+6πn; 6πn], n∈Z;f(x) ↓ на [6πn; 3π+6πn], n∈Z.xmin = 3π+6πn, n∈Z; ymin = −xmax = 6πn, n∈Z; ymax =1;21.2б) f(x) = -2 sin2x;D(f) = R; E(f) = [-2;2];f(-x) = -f(x) – нечетная функция;периодическая с Т = π;πk,k ∈ Z ;f(x) = 0, если x =2f(0) =0;π+ πk ; πk ), k ∈ Z ;2πf(x) < 0 на (πk ; + πk ), k ∈ Z ;2π3πf(x) ↑ на [ + πk ;+ πk ], k ∈ Z ;44ππf(x) ↓ на [− + πk ; + πk ], k ∈ Z .44f(x) > 0 на (−58π+ πk , k ∈ Z ;4ymin = -2;3πxmax =+ πk , k ∈ Z ;4ymax = 2.xmin =в) f(x) = -1.5 cos3x;3 32 2D(f) = R; E(f) = [ − ; ];f(-x) = f(x) – четная функция;23π πn3f(x) = 0, если x = + , n ∈ Z ; f (0) = − ;6 32π 2 π 2f(x) > 0 на  + πn; + πn , n ∈ Z ;632 3 периодическая с Т = π ;2πn π 2πn; +], n ∈ Z ;3 33π 2πn 2πn;f(x) ↓ на [− +], k ∈ Z .333π 2πnxmax = +,n ∈ Z ;333ymax = .22πnxmin =,n ∈ Z ;33ymin = − ;2f(x) ↑ на [59г) f(x) = 3 sinx;2D(f) = R; E(f) = [-3;3];f(-x) = -f(x) – нечетная функция;периодическая с Т = 4π;f(x) = 0, если x = 2πk, k∈Z;f(x) > 0 на (4πk; 2π+4πk), k∈Z;f(x) < 0 на (-2π+4πk; 4πk), k∈Z;f(x) ↑ на [-π+4πn; π+4πn], n∈Z;f(x) ↓ на [π+4πk; 3π+4πk], k∈Z;xmax =π+4πn, n∈Z; ymax = 3;xmin =π+4πn, n∈Z; ymin = -3.105.1tg2 x ;2π πnD(f) = R / { + , n ∈ Z }; E(f) = R;4 2а) f(x) =f(-x) = -f(x) – нечетная функция;60периодическая с Т =π, поэтому достаточно исследовать ее на2одном периоде;f(x) = 0, если x =πn,n∈ Z ;2f(0) =0;π2π π + n , n ∈ Z ;4 2  π π π π f(x) < 0 при x ∈  − + k ; + k , k ∈ Z 4 2 4 2 f(x) > 0 при x ∈  n;Функция возрастает на каждом из интервалов D(f);Точек max и min нет.б) f(x) = − 3 cos3x;2D(f) = R; E(f) = [-3;3];f(-x) = f(x) – четная функция;4π;периодическая с Т =3π 2πnf(x) = 0, если x = +,n∈ Z ;33f(0) = -3;π3f(x) > 0 при x ∈  +4πn4πn ;π +, n ∈ Z ;33  π 4π π 4π +k; +k , k ∈ Z ;3 3  3 3 4πk 2π 4πk  2π 4πn 4πn f(x)↑при x ∈  ; +, k ∈ Z ; f(x)↓при x ∈ − +, k ∈Z .;3 3 3  3 3 3f(x) < 0 при x ∈  −612π 4π+ k, k ∈ Z ; ymax = 3;3 34πn, n ∈ Z ; ymin = -3.xmin =3xmax =в) f(x) = − 2ctgx;3D(f) = R / {3πn, n∈Z}; E(f) = R;f(-x) = -f(x) – нечетная функция;периодическая с Т =3π;3π+ 3πn, n ∈ Z ;f(x) = 0, если x =2f(x) < 0 при x ∈  3πk ;3π+ 3πk , k ∈ Z ;2 3π+ 3πn ; 3πn , n ∈ Z ;2f(x) > 0 при x ∈  −Функция возрастает на каждом из интервалов D(f);Точек max и min нет.г) f(x) =4x55 5; D(f) = R; E(f) = [ − ; ];sin232 2f(-x) = -f(x) – нечетная функция; периодическая с Т =623π;23πn,n∈ Z ;43π3πf(0) = 0; f(x) > 0 на (0; ) ; f(x) < 0 на (− ;0) ;443π 9π3π 3πf(x) ↑ на [− ; ] ; f(x) ↓ на [ ; ] .8 88 83π53π5xmax =; ymax = ; xmin = −; ymin = − .8282f(x) = 0, если x =106.а) x(t) =x(731cos 4πt ; A = (см); ω = 4π (рад/с); Т = (с);2221) = 1.75(см).12б) x(t) = 5 cos(3πt +π1) ; A = 5(см); ω = 3π (рад/с); Т = (с);6395x ( ) = (см).22в) x(t) = 1.5 cos 6πt ; A = 1.5(см); ω = 6π (рад/с); Т =1(с);343x ( ) = (см).32ππt π11г) x(t) = cos( + ) ; A = (см); ω =(рад/с); Т = 4(с);22 3221x(8) = (см).4107.14а) I(t) = sin 50πt ; A =11(A); ω = 50π (рад/с); Т =(с).425632π1(с).=ω 10111в) I(t) = sin 10πt ; A = (A); ω = 10π (рад/с); Т = (с).2251г) I(t) = 3 sin 30πt ; A = 3(A); ω = 30π (рад/с); Т =(с).15б) I(t) = 5 sin 20πt ; A = 5(A); ω = 20π (рад/с); Т =108.а) U(t) = 220 cos πt ; A = 220(В); ω = 60π (рад/с); Т =1(с).301(с).151в) A = 360(В); ω = 20π (рад/с); Т =(с).102г) A = 180(В); ω = 45π (рад/с); Т =(с).45б)A = 110(В); ω = 30π (рад/с); Т =109.а) cos (-12.5) = cos (4π - 12.5);cos 9 = cos (7 - 2π); cos 4 = cos (2π - 4);0 < 4π - 12.5 < 7 - 2π < 2π - 4 < 9 - 2π < π, тоcos 9 < cos 4 < cos 7 < cos(-12.5),т.к.

Характеристики

Список файлов книги