kolmogorov-gdz-10- №1-325 (991260), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

длина дуги равна l,l=αR, таким образом 3l=P.Следовательно, 3αR=2R+αR, α=1 (рад).1021.π4а) 3 sin  2α −  + 2 cos(3α − π ) = 3 sinπ3π2− 2 cos=−;442ππ 5π 3π  5π 3π б) sin 2  α −  + 3tg  −  = sin 2 + 3tg  −  =32 32  4 49ππ= sin 2 − 3ctg = − ;344ππππв) 4 cos 3α −  + ctg  α +  = 4 sin + ctg = 3;61264π3π2π3г) cos α +  ⋅ tg 2  2α +  = cos α +  ⋅ ctg 2 2α == cosππ3⋅ ctg 2 =.63622.а)1 + tgα cos α + sin α=⋅ tgα = tgα;1 + ctgα sin α + cos α 3π;2π , то sin α < 0 и2Если α ∈ 25 12 sin α = − 1 − cos 2 α = − 1 −   = − ;13 13 5 125tgα = − :=− ;13 131251+sin α + cos α tgα + 14 = 9;==б)sin α − cos α tgα − 1 5−14cos α + ctgα cos α(1 + sin α )== 1 + sin α;в)ctgαcos αпри α ∈  π;1 + sin α =3π 2 3− 2 2;3sin α < 0 и sin α = − 1 − cos 2 α = −(2 2;3)г) sin 2 α − cos 2 β = sin 2 β − cos 2 α = − cos2 α − sin 2 β = −0,5.1123.π2а) при α ∈  0;  имеем:sin α 1+ tg 2 α = sin α ⋅1cos2 απ2sin αsin2 α1;==cos αcos αcos α 1 + tg −2α= tgα =б) при α ∈  0;  имеем:1 + cos α1 − cos α−=1 − cos α1 + cos α−(1 + cos α )(1 + cos α ) −1 − cos 2 α(1 − cos α )(1 − cos α ) = 2 cos α = 2ctgα;1 − cos 2 αsin απ2в) при α ∈  0;  имеем:1 − sin 2 α cos αcos α==;sin αsin α1 − cos 2 αг)= tgα ==()sin 2 α + tg 2 α ⋅ sin 2 α = sin 2 α 1 + tg 2 α =12ctg α=12(cos α 1 + ctg 2 α)= π, если α ∈  0; . 2cos 2 α + ctg 2 α ⋅ cos 2 α124.π ππ42 4tgα + tgβ tgα − tgβ+= 1 − tgα ⋅ tgβ + 1 + tgα ⋅ tgβ = 2;б)tg (α + β ) tg (α − β)π4а) sin  + α  = cos −  + α   = cos − α ;π ππ244cos(α − β ) cos α ⋅ cos β − sin α ⋅ sin β== ctgβ − tgα.г)cos α ⋅ sin βcos α ⋅ sin βπ4в) tg  − α  = ctg  −  − α   = ctg  + α ;1225.(а) sin 2 t + 2 sin t ⋅ cos t − cos 2 t) = (2 sin t ⋅ cos t − (cos t − sin t )) =2222= sin 2 2t − 2 sin 2t ⋅ cos 2t + cos 2 2t = 1 − sin 4t ;2 sin 3α(sin 2α − 1)cos α − 2 sin α − cos 5α= tg 3α;=б)sin 5α − 2 cos 3α − sin α 2 cos 3α(sin 2α − 1)в)1 − 4 sin 2 t ⋅ cos 2 t=1 − sin 2 2t cos 2 2t== cos 2t ;cos 2tcos 2tcos 2 t − sin 2 t2 sin 2α ⋅ cos α + 2 sin 2αsin α + 2 sin 2α + sin 3αг)= tg 2α;=cos α + 2 cos 2α + cos 3α 2 cos 2α ⋅ cos α + 2 cos 2α26.ttt− sin 21 − tg 2222⋅=а) cos t =;ttttcos 2 + sin 2cos21 + tg 22222ββ2 β2 sincos2tgββ222 ;⋅=б) sin β = 2 sin ⋅ cos =β222 β2 β2 β+ sincoscos1 + tg2222cos 2t2cos 227.ππ 1π 1 1 1cos= sin = ⋅ = ;1212 26 2 2 42ππ2 sin cosπ2π 7π69 =1;− sin  : cos=б)  sin2π18 9 18cos9а) sin2в)  sin 2cosг)ππ− cos 2 88π11π− cos1212 =5πsin12ππ21 + cos  1 − cos44  =  2  = 1 ;=− 2 222π5π2 sin sin212 = −2 sin π = −2 ;5π2sin122132.

Тригонометрические функции и их графики28.б)а)Pπ2Pπв)πг)29.Точка Ρα имеет следующие координаты: 2 2 ; (−1;0) ;а) (0;1) ; ; 3 1  1 3  ; (0;−1) ;б) ;−  ;  − ;1 3 ; (−1;0) ;в) (0;−1) ;  ;2 2   13 г)  −;; (0;1) .;;− 22 2 2 2   2 2  22   222 30.π2 3π;2π  — IV четверть; 2а) α ∈  0;  — I четверть;б) α ∈  3π α ∈  π;  — III четверть; 2 πα ∈  − π;−  — III четверть;2 3πα ∈  ;2π  — IV четверть; 2 7πα∈−π;−3π  — II четверть;214 3π;2π  — IV четверть; 2π2в) α ∈ г) α ∈  ; π  — II четверть; π α ∈  − ;0  — IV четверть; 2 π α ∈  ; π  — II четверть;2  5πα∈−;−2π  — IV четверть;2 3π α ∈  π;  — III четверть. 2 31.3ππ9π3πcos tg 2,3π = − sin cos tg 0,3π < 0;7878б) sin 1 ⋅ cos 3 ⋅ ctg 5 = sin 1 ⋅ (− cos(π − 3))(−ctg (2π − 5)) =а) sin= sin 1 ⋅ cos(π − 3)⋅ ctg (2π − 5) > 0;7π2π⋅ tg 2,9 = − sin 0,3π ⋅ cos⋅ tg (π − 2,9 ) < 0;99πг) sin 8 > 0, т.к. 2,5 < 8 < 3π; cos 0,7 > 0, т.к.> 0,7 > 0;25πtg 6,4 > 0, т.к.

2π < 6,4 <; поэтому, sin 8 ⋅ cos 0,7 ⋅ tg 6,4 > 0 .2в) sin 1,3π ⋅ cos32.а) sin 4π = 0; cos 4π = 1; sin (−π ) = 0; cos(−π ) = −1;5π5π 11π  11π = 1; cos= 0; sin  − = 1; cos − = 0;22 2  2 в) sin π = 0; cos π = −1; sin (−2π ) = 0; cos(−2π ) = 1;б) sin9ππ9ππ= sin = 1; cos= cos = 0;22223π 3π  3π = 1; cos −  = 0.sin  −  = − sin2 2  2 г) sin33. 3π+ x  = sin x. 2а) y = cosТаким образом, график данной функции есть синусоида, т.е.имеет период 2π.15б) y = − sin (π + x ) = sin xСмотри пункт а).π2в) y = cos − x  = sin xСмотри пункт а).г) y = tg( x + π ) = tgxТаким образом, график данной функции есть график функцииy=tgx, т.е. имеет период π.34.12а) Pα (x ; y ), y = 0,5, x > 0б) x = − , y > 0ууРα0,5Рα−х1612хв) x =3,2y>0г) y = −2,2x>0ууРα32хРα22х35.а)б)в)г)36.а) y = sin x + 2; D( y ) = R ;т.к. sin x ∈[ −1;1], то E ( y ) = [1;3]17б) y = 1 + tgx;т.к.

функция y=tgx не определена в точках видаπ+ πn , то2πD (y ) = R \  + πn n ∈ Z ; E (y ) = R2в) y = cos x − 1;D( y ) = R ; т.к. cos x ∈[ −1;1] , то E ( y ) = [ −2;0]г) y = 3 + sin x ;D( y ) = R ; т.к. sin x ∈ [−1;1] , то E (y ) = [2;4]yy = 3 + sin x4320−2π−3π −π2−1xππ22π37.а) y = 2 sin x;D (y ) = R; т.к. sin x ∈ [−1;1] , то E (y ) = [−2;2]183π22π12б) y = − cos x; 1 1D (y ) = R; т.к.

cos x ∈ [−1;1], то E (y ) = − ;  2 2в) y = 0,5 ⋅ tgx;т.к. функция y=tgx не определена в точках видаπ+ πn,n ∈ z;2πD (y ) = R \  + πn n ∈ Z ; E (y ) = R232D (y ) = R; т.к. sin x ∈ [−1;1] , то E (y ) = [−1,5;1,5]г) y = − sin x;1938.а) y = sin x ;Точки пересечения графика данной функции с осями координат:(πn;0), n ∈ Z ; (0;0);б) y = 1 + cos x;Точки пересечения графика данной функции с осями координат:(π + 2πn;0), n ∈ Z ; (0;2);в) y = cos x;Точки пересечения графика данной функции с осями координат:π + πn;0 , n ∈ Z ; (0;1);2г) y = sin x − 1;Точки пересечения графика данной функции с осями координат:π + πn;0 , n ∈ Z ; (0;−1);239.а) y = x 2 − 3x;пересечения с осью OХ: (0;0) и (3;0);пересечения с осью OY: (0;0);б) y = sin x − 1,5;пересечения с осью OX график функции не имеет;пересечения с осью OY: (0;-1,5);в) y = 2,5 + cos x;пересечения с осью OX график функции не имеет;пересечения с осью OY: (0;3,5);г) y =1+ 1;xпересечения с осью OX: (-1;0);пересечения с осью OY график функции не имеет.20§2.

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ3. Функции и их графики40.121x52а) f (x ) = x + ; f (− 1) = −2; f   = ; f (10) = 10,1;π4 π 4б) f (x ) = 3 cos x − ; f  −  = 0; f (0) =3 23 2; f (π) = −;22в) f (x ) = 5 x − x 2 ; f (0 ) = 0; f (1) = 2; f (2) = 6 ; π 4 5π  3= . 12  2г) f (x ) = 2 − sin 2 x; f  −  = 3; f (0) = 2; f 41.а) f (x ) = x 2 + 2 x;б) f (x ) = tg 2x;f (a ) = tg 2a;f (x 0 ) = x 02 + 2 x 0 ;f (b − 1) = tg (2b − 2 );f (t + 1) = t 2 + 4t + 3;1+ 1;x1f (x 0 ) =+ 1; x 0 ≠ 0;x0x3г) f (x ) = 2 cos ;в) f (x ) =f (a + 2 ) =zf (z ) = 2 cos ;3π hf (h + π ) = 2 cos + .3 3a+3;a+242.Графиком функции называется фигура, у которой каждомузначению аргумента соответствует одно значение функции,поэтому:а) и г) — являются графиками:б) и в) — не являются графиками.43.а) D( f ) = R \ x : x 2 + 4 x + 3 = 0 = R \ {1;3};{{}}б) D( f ) = x : x 2 − 9 ≥ 0 = (− ∞;−3]U [3;+∞ );{}в) D( f ) = R \ x : x + 2 x − 8 = 0 = R \ {− 4;2};{2}г) D( f ) = x : 36 − x ≥ 0 = [− 6;6].22144.π2а) D( f ) = R \ {0}; б) D( f ) = R \  + πn n ∈ Z ;в) D( f ) = R \ {πn n ∈ Z }; г) D( f ) = R \ {0}.45.а) y = 2cos (x-π); D(y) = R; E(y) = [-2; 2];34; D(y) = R \{x: x-3=0} = R\{3};x −34≠ 0;E(y) =R \ {2}, т.к.x −33в) y =– 1; D(y) = R \ {x: x+1=0} = R\{-1};x +13≠ 0;E(y) = R \ {-1}, т.к.x +1πг) y = 3+ 0,5 sin (x+ ); D(y) = R;4π5 7E(y) =  ;  , т.к.

sin (x + ) ∈ [-1; 1].42 2б) у = 2 +46.а) D(f) = [-5; 6];б) D(f) = [-6; 4]; E(f) = [-2; 2];в) D(f) = [-6; 1,5) U (1,5; 6]; E(f) = [-3; 3);г) D(f) = [-4; 3]; E(f) = (-1; 4].47.а) D(f) = [-2; 4]; E(f) = [-3; 3];б) D(f) = [-5; 3]; E(f) = [2; 6];2248.а) График функции у =11+ 2 есть график функции у =соxxсдвигом на две единицы вверх вдоль оси OY.График функции у =11есть график функции у =со сдвигомx−2xна 2 единицы вправо по оси OX.б) График функции y = cos x – 3 есть у = cos x со сдвигом на 3единицы вниз по оси OY.График функции y = cos(x +ππ) есть y = cos x со сдвигом на44влево по оси OX.23в) График функции у = 4-x2 есть у = -x2 со сдвигом на 4 единицывверх по оси OY.График функции у = - (x-2)2 есть у = -x2 со сдвигом на 2 единицывправо по оси OX.г) График функции y = sin x + 2 есть y = sin x со сдвигом на 2единицы вверх по оси OY.ππГрафик функции y = sin (x + ) есть у = sin x со сдвигом на3влево по оси OX.24349.a)б)в)2550.a)б)в)г)51. x, x ≥ 0; 11а) f(x) = f(-2) = 2; f  −  = ; f(0) = 0; f(5) = 5.3− x, x < 0. 3 2б) f(x) =  x − 1,1 − x,26x ≥ −1; f(-2) = 3; f(-1) = 0; f(0) = -1; f(4) = 15.x < −1.1 π ππ 1 sin x, x > 0;f  −  =–1; f  −  =– ; f(0)=0; f   = .2cos x − 1, x ≤ 0.

Характеристики

Список файлов книги