kolmogorov-gdz-10- №1-325 (991260), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

x = 4:f(4 – ∆x) = f(4 + ∆x) при ∆x→0 и ∆x > 0;f(4 – ∆x) = ∆x, f(4 + ∆x) = (4 + ∆x – m)2 при ∆x→0;(4 – m)2 = 0, m = 4;x 2 − 3x.x2 − mФункция f(x) – дробно-рациональная, поэтому она будетнепрерывна на R, если D(f)=R; выражение x2–m≠0 при любых x, еслиm< 0;3 x 2 + m, x ≤ 0,в) f(x) =  x + 2,x > 0;условие непрерывности в т.x = 0:f(0 – ∆x) = f(0 + ∆x) при ∆x→0 и ∆x > 0;f(0 – ∆x) = 3(∆x2) + m, f(0 + ∆x) = 2 + ∆x при ∆x→0;3⋅0 + m = 2 + 0, m = 2;б) f(x) =1295− xг) f(x) =x4 + m, D(f) = R, если x4+m ≠0 при любом x, т.е.

при m > 0.248.а) x4 – 10x2 + 9 ≤ 0;(x2 – 9)(x2 + 1) ≤ 0;(x – 3)(x + 3)(x – 1)(x + 1) ≤ 0;–+–3–++x31–1x ∈ [–3; 1] ∪ [1; 3];б) x4 – 8 ≥ 7x2;(x2 – 8)(x2 + 1) ≥ 0;(x – 2 2 )(x + 2 2 )(x2 + 1) ≥ 0;–+–2+x2 22x ∈ [–∞; –2 2 ] ∪ [2 2 ; +∞);в) x4 –5x2 + 6 > 0;(x2 – 2)(x2 – 3) > 0;(x – 2 )(x + 2 )(x – 3 )(x + 3 ) > 0;–+–3–+–1 22+3x ∈ (–∞; – 3 ) ∪ (– 2 ; 2 ) ∪ ( 3 ; +∞);г) 5x2 – 4 > x4;(x2 – 1)(x2 – 4) < 0;(x – 1)(x + 1)(x – 2)(x + 2) < 0;–+–++–1–2x ∈ (–2; –1) ∪ (1; 2).12249.а) (x2 – 1)(x + 4)(x3 – 8) ≤ 0;(x – 1)(x + 1)(x + 4)(x – 2)(x2 + 2x + 4) ≤ 0;130xx–+–+–4–1+21xx ∈ [–4; –1] ∪ [1; 2];x 2 − 4 (x – 3) < 0;б) x 2 − 4 > 0; ( x − 2)( x + 2) > 0; x − 3 < 0; x − 3 < 0;–2x32x ∈ (–∞; –2) ∪ (2; 3);в) x2(3 – x)(x + 2) > 0;x2(x – 3)(x + 2) < 0;––+( x − 2) 3 ( x + 5)( x + 3) 2≥ 0;–+x3–20x ∈ (–2; 0) ∪ (0; 3);г)++––5x2–3x ∈ (–∞; 5] ∪ [2; +∞);250.а) f(x) = 9 x − x 2 ;9x – x2 ≥ 0;x(x – 9) ≤ 0;–+0+9xD(f) = [0; 9].б) f(x) = x 2 −x2 –8≥ 0;x8;x( x − 2)( x 2 + 2 x + 4)≥0;x131–++0x2D(f) = (–∞; 0) ∪ [2; +∞).в) f(x) = 16 x − x 3 ;16x – x3 ≥ 0;x(x – 4)(x + 4) ≤ 0;––+–40+x4D(f) = (–∞; –4] ∪ [0; 4].г) f(x) = 1 −1–27x327x3;≥ 0;( x − 3)( x 2 + 3 x + 9)x3≥0;–+0+3xD(f) = (–∞; 0) ∪ [3; +∞).19.

Касательная к графику функции251.1) Касательная горизонтальна:а) в т. B и т. D;б) в т. B, т. C и т. D;в) в т. A, т. C и т. E;г) в т. A, т. C и т. E;2) Касательная образует с осью абсцисс острый угол:а) в т. A и т. E;б) в т. E;в) в т. B и т. F;г) в т. D;3) Касательная образует с осью абсцисс тупой угол:а) в т. C;б) в т. A;в) в т. D ;г) в т. B и т. F.132252.1) Производная функции равна нулю:а) при x = b и x = d;б) при k = b и k = d;в) при x = a, x = b и x = d;г) при x = b и x = d.2) Производная функции больше нуля:а) при x = c; б) при x = a и x = e;в) при x = e; г) при x = c.3) Производная функции меньше нуля:а) при x = e; б) при x = c;в) при x = c; г) при x = a и x = e.253.13а) f′(x) = (x2)′ = 2x;б) f′(x) = (x3)′ –x′ = x2 – 1;tgα = f′(–3) = 2⋅(–3) = 6;в) f′(x) = (x3)′ = 3x2;tgα = f′(–1) = 3⋅(–1)2 = 3;tgα = f′(2) = 22 – 1 = 3;г) f′(x) = (x2)′ + 2x′ = 2x + 2;tgα = f′(1) = 2(1 + 1) = 4.254.а) f′(x) = 2(cosx)′ = –2sinx;π2tgα = f′   = –2sinπ= –2;2в) f′(x) = 1′ + (sinx)′ = cosx;tgα = f′(π) = cosπ = –1;255.1x′а) f′(x) = 3⋅   = –y =3x2б) f′(x) = –(tgx)′ = –tgα = f′(π) = –1cos 2 x1cos 2 π;= –1;г) f′(x) = –(cosx)′ = sinx;tgα = f′(–π) =sin(–π) = 0.; 3 3+ ( x − x0 ) ⋅  − 2  – уравнение касательной к графику x x0 0функции3в точке с абсциссой x0:x3при x0 = –1: y =– 3(x + 1) = –3x – 6;−13при x0 = 1: y = – 3(x – 1) = –3x + 6;1f(x) =133б) f′(x) = 2x′ – (x2)′ = 2 – 2x;y = 2x0 – x02 + 2(1 – x0)(x – x0) – уравнение касательной в точке сабсциссой x0:при x0 = 0: y = 2(1 – 0)(x – 0) = 2x;при x0 = 2: y = 2⋅2 –22 + 2(1 – 2)(x – 2) = –2x + 4;в) f′(x) = (x2)′ + 1′ = 2x;y = 1 + x02 + 2x0(x – x0) – уравнение касательной в точке сабсциссой x0:при x0 = 0: y = 1 + 0 + 2⋅0(x – 0) = 1;при x0 = 1: y = 1 + 1 + 2⋅1(x – 1) = 2x;г) f′(x) = (x3)′ – 1′ = 3x2;y = x03 –1 + 3x02(x – x0) – уравнение касательной в точке сабсциссой x0:при x0 = –1: y = (–1)3 – 1 + 3(x + 1) = 3x + 1;при x0 = 2: y = 23 – 1 + 3⋅22(x – 2) = 12x – 7.256.а) f′(x) = 3(sinx)′ = 3cosx;y = 3sinx0 + 3cosx0(x – x0) – уравнение касательной в точке сабсциссой x0:при x0 =ππππ: y = 3sin + 3cos (x – ) = 3;2222при x0 = π: y = 3sinπ + 3cosπ(x – π) = –3x + 3π;1б) f′(x) = (tgx)′ =y = tg(x0) +cos 2 x1cos 2 x0;(x – x0) – уравнение касательной в точке сабсциссой x0:при x0 =π:4πππ(x – ) = 1 + 2(x – ) = 2x + 1 – ;π442cos 24πпри x0 = :31πππ4πy = tg +(x – ) = 3 + 4(x – ) = 4x + 3 –;π3333cos 23y = tgπ+41в) f′(x) = 1′ + (cosx)′ = –sinx;134y = 1 + cosx0 – sinx0(x – x0) – уравнение касательной в точке сабсциссой x0:при x0 = 0: y = 1 + cos0 – sin0(x – 0) = 2;при x0 =πππππ: y = 1 + cos – sin (x – ) = –x + + 1;22222г) f′(x) = –2(sinx)′ = –2cosx;y = –2sinx0 – 2cosx0(x – x0) – уравнение касательной в точке сабсциссой x0:при x0 = –ππππ: y = –2sin(– ) – 2cos(– )(x + ) = 2;2222при x0 = π: y = –2sinπ – 2cosπ(x – π) = 2x – 2π.257.Касательная в точке (x0; f(x0)) параллельна оси OX, если в этойточке f′(x0) = 0а) f′(x) = 3x2 – 6x + 3;f′(x) = 0: 3x2 – 6x + 3 = 0;x = 1; f(1) = 1 – 3 + 3 = 1;в т.

A(1; 1) графика функции f(x) = x3 – 3x2 + 3x касательная кграфику параллельна оси OX;б) f′(x) = 2x3 + 16;f′(x) = 0: 2x3 + 16 = 0;2(x + 2)(x2 – 2x + 4) = 0;x = –2: f(–2) =1(–2)4 – 16⋅2 = –24;2в т. B(–2; –24) графика функции f(x) =1 4x + 16x касательная к2графику параллельна оси OX;в) f′(x) = 12x3 – 12x;f′(x) = 0: 12x(x – 1)(x + 1) = 0;x = 0, x = 1, x = –1: f(–1) = f(1) = –1; f(0) = 2;в т. A(–1; 1), т. B(1; –1), т. C(0; 2) графика функцииf(x) = 3x4 – 6x2 + 2 касательная к графику параллельна оси OX;г) f′(x) = 3x2 – 3;f′(x) = 0: 3(x – 1)(x + 1) = 0;x = 1, x = –1: f(–1) = (–1)3 – 3⋅(–1) + 1 = 3,f(1) = 1 – 3⋅1 + 1 = –1;в т. A(–1; 3), т.

B(1; –1) графика функции f(x) = x3 – 3x + 1касательная к графику параллельна оси OX.135258.а) f′(x) = –2sinx + 1;f′(x) = 0: sinx =x = (–1)k1;2π+ πk, k ∈ Z;6π5π+ 2πn, n ∈ Z; x2 =+ 2πk, k ∈ Z;66ππ πf  + 2πn  = 2 cos + 2πn  + + 2πn =66 6x1 =π+ 2πn , n ∈ Z;6 5π 5π 5π+ 2πn  = 2 cosf+ 2πk  ++ 2πk =66 65π=− 3++ 2πk , k ∈ Z;6ππв т.  + 2πn; 3 + + 2πn  , n ∈ Z и665π 5π+ 2πk  , k ∈ Zт.  + 2πk ; − 3 +66= 3+графика функции f(x) = 2cosx + x касательная к графикупараллельна оси OX;б) f′(x) = 2cos2x + 3 ;f′(x) = 0: cosx = –3;25π7π+ 2πn, 2x =+ 2πk,665π7πx=+ πn, n ∈ Z и x =+ πk, k ∈ Z;1212 5π 3π 1 3π 5π+ πn  ;+ πn  = + 3 + 2πn  + 3 f+ πn  = sin 126122121 7π 7π 7π 7π+ πk  = − + 3 + πk  ;f+ πk  = sin + 2πk  + 3 2 12 12 12 122x = 5π+ πn; 12в т.

1361 5π+ 3+ πn   , n ∈ Z и2 12 7π1 7π+ πk ; − + 3 + πk   , k ∈ Z12212т. графика функции f(x) = sin2x + 3 x касательная к графикупараллельна оси OX;π3π3в) f′(x) = –sin  x −  ; f′(x) = 0: –sin  x −  = 0;πx = + πn, n ∈ Z;3πππf  + πn  = cos + πn −  = cos πn , n ∈ Z;333Если n = 2k, k ∈ Z, то cosπn = 1,если n = 2k + 1, k ∈ Z, то cosπn = –1;ππ+ 2πk ; 1 и т.  + 2πk ; − 1 (k ∈ Z)33в т. π3графика функции f(x) = cos  x − касательная к графикупараллельна оси OX;г) f′(x) = 2 – 2cosx; f′(x) = 0: cosx =2;2ππ+ 2πn, x = – + 2πk, n, k ∈ Z;44πππf  + 2πn  = 2  + 2πn  − 2 sin  + 2πn  =444x=π = 2  − 1 + 2 2 πn ;4  π π πf  − + 2πk  = 2  − + 2πk  − 2 sin  − + 2πk  =444 π= 2 1 −  + 2 2 πk ; 4ππ + 2πn; 2  − 1 + 2 2 πn  , n ∈ Z и4 4в т.

 π π+ 2πk ; 2 1 −  + 2 2 πk  , k ∈ Z4 4т.  −137графика функции f(x) = 2 x – 2sinx касательная к графикупараллельна оси OX.259.а) f(x) = 3x – x3;f(x) = 0: 3x – x3 = 0;x = – 3 ; x = 0; x = 3 ;f′(x) = 3 – 3x2;f′(– 3 ) = 3 – 3(– 3 )2 = –6, tgα1 = –6, α1 = π + arctg(–6) – угол,под которым в т. (– 3 ; 0) график функции f(x) = 3x – x3 пересекаетось OX;f′(0) = 3, tgα2 = 3, α2 = arctg3 – угол, под которым в т. (0; 0)график функции f(x) = 3x – x3 пересекает ось OX;f′( 3 ) = 3 – 3(– 3 )2 = –6, tgα3 = –6, α3 = π + arctg(–6) – угол, подкоторым в т. ( 3 ; 0) график функции f(x) = 3x – x3 пересекает осьOX;π;4ππ = 0; x = – + πn, n ∈ Z,44б) f(x) = sin  x +f(x) = 0: sin  x +f′(x) = cos  x + 1, n = 2k ;π π ; f′  − + πn  = cosπn = 4 4− 1, n = 2k + 1; k ∈ Z ;График функции f(x) = sin  x +π4пересекает ось OX в т.π3π π 3π;+ 2πk ; 0  под углом − + 2πk ; 0  под углом , а в т.

44 4 4в) f(x) = x2 – 3x + 2;f(x) = 0: x2 – 3x + 2 = 0; x = 1; x = 2;f′(x) = 2x – 3; f′(1) = –1, tgα1 = –1 и α1 =3π– угол, под которым в4т. (1;0) график функции f(x) = x2 – 3x + 2 пересекает ось OX;f′(2) = 1, tgα2 = 1 и α2 = 45° – угол, под которым в т. (2;0) графикфункции f(x) = x2 – 3x + 2 пересекает ось OX;г) f(x) = –cosx;f(x) = 0: –cosx = 0;138π+ 2πn,2πx = – + 2πk,2x=π+ 2πn  = 1, tgα1 = 1 α1 = 45° – угол, под которым в2f′(x) = sinx; f′ π+ 2πn; 0  график функции f(x) = –cosx пересекает ось OX;2т.

Характеристики

Список файлов книги