kolmogorov-gdz-10- №1-325 (991260), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

Наибольшее и наименьшее значения функции305.а) f(x)=x4-8x2-9;f′(x)=4x3-16x=4x(x-2)(x+2);D(f′)=R;f′(x)=0, при x=0; ± 2;f(-1)=-16,f(0)=-9,f(1)=-16.max f(x)=f(0)=-9, min f(x)=f(1)=f(-1)=-16;[ −1;1][ −1;1]f(2)=25;f(3)=0;max f(x)=f(3)=0, min f(x)=f(2)=-25;[ 0;3][ 0;3]2x +4;xD(f′)=R\ {0} ;б) f(x)=f′(x)=0, если x= ± 2;f(-4)=-5,f(-2)=-4;f(-1)=-5;max f(x)=f(-2)=-4, min f(x)=f(-4)=f(-1)=-5;[ −4;−1]f(1)=5,[ −4;−1]f(2)=4,f(3)=13;3max f(x)=f(1)=5, min f(x)=f(2)=4;[1;3][1;3]в) f(x)=3x5-5x3;D(f)=R;f′(x)=15x4-15x2=15x2(x-1)(x+1);D(f′)=R;f′(x)=0 при x=0; ± 1;f(0)=0,f(1)=-2,f(2)=56;max f(x)=f(2)=56, min f(x)=f(1)=-2;[ 0; 2][ 0; 2]f(3)=594;max f(x)=f(3)=594, min f(x)=f(2)=56;[ 2;3]x;x +1D(f)=R\ {− 1} ;г) f(x)=178[ 2;3]f′(x)=x +1− x(x + 1)D(f)=R\ {− 1} ;2=f(-3)=1,5,1(x + 1)2f(-2)=2;max f(x)=f(-2)=2, min f(x)=f(-3)=[ −3; −2][ −3; −2]3;256f(1)=0,5,f(5)= ;max f(x)=f(5)=15, min f(x)=f(1)= .26 [1;5][1;5]306.а) f(x)=x3+3x2-9x;D(f)=R;f′(x)=3x2+6x-9=3(x+3)(x-1);D(f′)=R;f′(x)=0, при x=-3; 1;f(-4)=20,f(-3)=27,f(0)=0;max f(x)=f(-3)=27, min f(x)=f(0)=0;[ −4;0][ 4;0]f(3)=27,f(4)=76;max f(x)=f(4)=76, min f(x)=f(3)=27;[3; 4][3;4]max f(x)= min f(x);[ −4;0][3; 4]б) f(x)=x4-2x2+4;D(f)=R;f′(x)=4x3-4x=4x(x-1)(x+1);D(f′)=R;f’(x)=0, при x=0; ± 1; 1 212f  −  =f   =39(f(x) – четная),16f(0)=4;9 11max f(x)=f(0)=4, min f(x)=f  −  = f   =3 ;161111 22− ;− ; 2 2 2 2f(2)=12,f(3)=67;max f(x)=f(3)=67, min f(x)=f(2)=12;[ 2;3][ 2;3]max f(x)< min f(x); 1 1− 2 ; 2 [ 2;3]179307.2 3t.3D(s)=[0;+ ∞ );s(t)=12t2-v(t)=s′(t)=24t-2t2=-2t(t-12),D(s′)=[0;+ ∞ );v′(t)=24t-4t=4(6-t),D(v′)=[0;+ ∞ );v′(t)=0, при t=6 (c);v(4)=64(м/с); v(6=72(м/с);v(10)=40(м/с);max v(t)=v(6)=72(м/с) – наибольшая скорость, при t=6c.[ 4;10]308.f(x)=21x+2x2-x3;3D(f)=R;f′(x)=21+4x-x2,D(f’)=R;f′′(x)=4-2x=2(2-x),D(f′′)=R;f′′(x)=0, при x=2;f′(-2)=9,f′(2)=25,f′(5)=16;max f’(x)=f’(2)=25, min f’(x)=f’(2)=9;[ −2;5][ −2;5]309.16v(t)= t3-12t=-2t(t-12);1 21t -12= (t-2 6 )(t+2 6 ),22D(a)=[0;+ ∞ );a′(t)=t,D(a′)=[0;+ ∞ );м 3π а   =-3;a(10)=38  2  ;с  2 a(t)=v′(t)=мmin a(t)=a(10)=38  2  .с [10;50]310.а) f(x)=2sinx+cos2x;f’(x)=2cosx-2sin2x=2cosx(1-2sinx),D(f’)=R;180ππ+ πn , n ∈ Z и x=(-1)k + πk , k ∈ Z;26π 3π π 5πна [0;2 π ]; f’(x)=0, если x= ; ; ; ;2 2 6 6π  3π  5π  3 3π f(0)=1, f   = , f   =1, f   = , f   =-3;6 22 6  2 2  π   5π  3π max f(x)=f   =f min f(x)=f   =-3; =1,5;π[0;2][ 0;2π ]66   2 f’(x)=0, если x=б) f(x)=1,5x2+D(f)=R\ {0};f’(x)=3x-81x281;x=3x 1 −3 27 3 9  =3x 1 −  1 + + 2  ;3x x x x D(f′)=R\ {0};f′(x)=0, при x=3;f(1)=82,5;f(3)=40,5,f(4)=44,25;max f(x)=f(1)=82,5;min f(x)=f(3)=40,5;[1; 4][1;4]в) f(x)=2sinx+sin2x;f′(x)=2cosx+2cos2x=2cosx+2(2cos2x-1)=4cos2x+2cosx-2;D(f′)=R;f′(x)=0: 2cos2x+cosx-1=0;cosx=-1,cosx=1;2π+ 2πn , n ∈ Z;3π 3π на 0;  : f′(x)=0 при x= π ; ;23x= π + 2πn , n ∈ Z,f(0)=1,x= ±3π f  = 3 +,3f( π )=0,2 3π  =-2; 2 f3π  3π , min f(x)=f   =-2;max f(x)=f   = 3 +π33π32  2 [ 0; ][ 0; ]221г) f(x)=x+;x+2D(f)=R\ {−2};181f′(x)=1-1(x + 2)D(f′)=R\ {−2};2=(x + 1)(x + 3) ;(x + 2)2f′(x)=0 при x=-1;-3;f(-5)=-16,3f(-3)=-4,max f(x)=f(-3)=-4,f(-2,5)=-4,5;min f(x)=f(-5)=-[ −5;−2,5][ −5;−2,5]16.3311.Пусть одно из слагаемых равно x, тогда второе 24-x.

Рассмотримf(x)=x2+(24-x)2. Найдем min f(x):[ 0; 24]f′(x)=2x-2(24-x)=4(x-12),D(f′)=[0;24];f′(x)=0, при x=12;f(0)=576=f(24),f(12)=288;min f(x)=f(12)=288;[ 0; 24]Первое слагаемое x=12, а второе слагаемое равно 24-12=12.312.Пусть одно из слагаемых равно y, тогда второе 4-y. Рассмотримg(y)=y(4-y). Найдем max g(y):[ 0; 4]g′(y)=4-y-y=2(2-y),D(y′)=[0;4];g′(y)=0, при y=2;g(0)=g(4)=0, g(2)=4;max g(y)=g(2)=4.[ 0; 4]Т.е. y=2 и 4-y=2.313.Пусть длина меньшей стороны прямоугольника равна x (м), тогдадлина второй стороны равна (24-x) м.Площадь прямоугольника, как функция x, есть s(x)=x(24-x) (м2),при x ∈ (0;24). Найдем max g(х):[ 0; 24]s′(x)=24-2x=2(12-x),D(s′)=[0;24].s(0)=s(24)=0, s(12)=144;182max s(x)=s(12)=144.[ 0; 24]Следовательно, длина меньшей стороны должна быть 12 м, длинабольшей стороны 24-12=12 м.Ответ: 12м.314.Пусть первое слагаемое равно х, второе 2х – согласно условию,тогда третье 54-3х.

Рассмотрим функцию h(x)=3x ⋅ 2x(18-x). Будемискать max h(x):[ 0;18]h′(x)=216x-18x2=18x(12-x);h′(x)=0, при x=0;12;h(0)=h(18)=0,h(12)=5184;max h(x)=h(12)=5184.[ 0;18]Итак, первое слагаемое равно 12, второе 2⋅12=24, третье 54-312=18.Ответ: 12; 24; 18.315.Пусть один из сомножителей равен t, тогда другой равен16.t2 16  , и D(f)=(0;+ ∞ ). t Рассмотрим f(t)=t2+ Задача сводится к нахождению наименьшего значения f(t) на(0;+ ∞ ).f’(t)=2t-2 ⋅ 256t3=2(t 4 − 256)t3=2(t − 4)(t + 4)(t 2 + 16)t3;на (0;+ ∞ ): f′(t)<0, при t ∈ (0;4), f′(t)=0 при t=4 – точка минимумаf(t), при t=4 – минимум.Итак, один сомножитель равен 4, другой равен16=4.4Ответ: 4 и 4.316.Пусть длина одной стороны равна х (см), тогда длина другойстороны равна64(см).хТогда периметр прямоугольника равен Р(х)=2  x +D(P)=(0;+ ∞ ).64  , причемx 183Найдем min P(x).[ 0; +∞ )P’(x)=2-128x2=2( x − 8)( x + 8)x2;на (0;+ ∞ ): P′(x)<0, при x ∈ (0;8); P′(x)=0, при x=8 и P′(x)>0, приx ∈ (8;+ ∞ ).

Точка х=8 – точка минимума для P(x) на (0;+ ∞ ), своенаименьшее значение P(x) достигает при x=8.Длина сторон прямоугольника должна быть равна 8 (см).Ответ: 8 (см) и 8 (см).317.S=Sосн.+Sбок.поверх.. При этом Sосн.=x2, где х – сторона квадрата восновании;Sбок.поверх.=4xh, где h – высота параллелепипеда. По условиюV=13,5 (л) или V=x2 h, откуда h=S(x)=x2+4xS′(x)=2x-13,5x254x2==x2+Vx2=13,5x2(дм). Следовательно,54(дм2). Найдем min S(x) на R+:x2( x 3 − 27)x2=2( x − 3)( x 2 + 3 x + 9)x2;S′(x)<0 на (0;3); S′(x)=0 при x=3;S′(x)>0 на (3;+ ∞ ) – точках=3 есть точка минимума функции S(x) на (0;+ ∞ ).При х=3 (дм), h=13,532=1,5 (дм).Ответ: 3х3х1,5 (дм) – размеры бака.318.Обозначим |ED|=x.BOx=BO =184AOAD;2AB − AO2, AO =1AC =30 (см);2BO = 50 2 − 30 2 =40 (см);AD =AO xBO=30x2 ⋅ 30 x, DG = AC − 2 AD =60=60-1,5x;4040SDEFG= ED ⋅ DG =x(60-1,5x), где x ∈ (0;30).

Найдем max S(x):[ 0;30)S′(x)=60-3x=3(20-x);S′(x)<0, при x ∈ (20;30), S′(x)=0, при x=20, S′(x)>0, при x ∈ (0;20).Т.е. наибольшее значение на (0;30) S(x) достигает при х=20.Тогда:ЕD = FG =20 (см), ЕD = ЕF =60-60 ⋅ 20=30 (см).40Ответ: 20 (см), 30 (см).319.2Пусть АD =х, где 0<х<2r. Тогда (2r)2=x2+ СD ,СD = 4r 2 − x 2 ;SABCD=S(x)=x ⋅ 4r 2 − x 2 .Найдем max S(x):( 0;22)S′(x)=4r 2 − x 2 -2x222 4r − x2=4r 2 − 2 x 24r 2 − x 2=2( 2 r − x )( 2 r + x )S′(x)>0, при x ∈ (0; 2 r ),S′(x)=0, при x= 2 r ,x ∈ ( 2 r ;2r).Значит, max S(x)=S( 2 r )=2r2.4r 2 − x 2;S′(x)<0 при,( 0;2 r )Т.к. r=20 (см), то x=20 2 (см).Ответ: 20 2 см, 20 2 см.185320.Время, которое курьер затрачивает на дорогу от точки В до точкиР равно:t=BO8+OP10ч;|BO|= 9 2 − x 2 = 81 + x 2 , |OP|=15-x, где х – расcтояние ОA;81 + x 2 15 − x, где x ∈ [0;15].+810Найдем min t(x):t(x)=[ 0;15]t′(x)=x8 81 + xxt′(x)=0:t(0)=281 + x-21;10=0,8; x2=0,64(81+x2);9 3 21=2,625;+=8 10 8t(12)=x=12;15 3=2,175;+8 10t(15)=min t(x)=t(12)=2,175.[ 0;15]Ответ: 3 (км) от населенного пункта.321.Воспользуемся результатами предыдущей задачи, тогда:9 + x2 5 − x, где x ∈ [0;5];+45Найдем min t(x)t(x)=[ 0;5]186306;8t′(x)=x4 9 + x2xt′(x)=0:9 + x2t(0)=1,75;15- ;=0,8;t(4)=1,45;x2=0,64(9+x2),t(5)=x=4 (км);34;4min t(x)=t(4)=1,45.[ 0;5]Ответ: 4 км от ближайшей точки на берегу.322.Обозначим искомое число через х, тогда рассматриваемая суммаимеет вид: S(x)=x+x2, x ∈ R.Найдем min S(x):RS′(x)=1+2x;S′(x)=0, при х=-0,5;на (- ∞ ;-0,5) S’(x)<0 – функция убывает на (- ∞ ;0,5],на (0,5;+ ∞ ) S’(x)>0 – функция возрастает на [-0,5;+ ∞ ),точка х=-0,5 - точка минимума S(x) на R;min S(x)=S(-0,5)=-0,25.(−∞;+∞ )Ответ: -0,5.323.Пусть гипотенуза прямоугольного треугольника имеет длину с, адлина одного из катетов равна х.

Тогда длина другого катета равнас 2 − х 2 и площадь треугольника S(x)=S′(x)=1x c 2 − x 2 , где x ∈ (0;c).2(c − 2 x)(c + 2 x)x2c 2 − 2x 21==;x c2 − x2 222222 c2 - x22 c −x2 c −xS′(x=0), при x=c2;S′(x)>0, при x ∈  0;c  ,2S′(x)=0, при x=,c2187; c  ; 2  cS′(x)<0, при x ∈  c  c2 =max S(x)=S ;( 0; c ) 2 4cДлина одного катета равна2, а длина другого катета2 c c =c 2 − — треугольник равнобедренный, ч.т.д.22324.Решение этой задачи повторяет решение задачи 319.max S(x)=S( 2 r )=2r2, где r – радиус окружности.

Т.к. длина( 0;2 r )другой стороны этого прямоугольника равна( )=4r 2- 2 rэтот прямоугольник является квадратом со стороной22 r , то2r .325.BαxrOαADCПусть |AB|=|BC|=x, ∠BAO = ∠ABO = α .Тогда x=2rcos α , cos α =|AC|=2xsin α =2x 1 −|BD|=xcos α =SABC(x)=188x24r 2x;2r,x2;2rx31 x3x21|AC| ⋅ |BD|=1 − 2 = 2 4r 2 − x 2 , где x ∈ (0;2r).22 r4r4rНайдем max S(x):( 0;2 r )S′(x)==3x 24r 24r 2 − x 2 −x 2 ( 3r -x)( 3r + x)r 2 4r 2 − x 2x44r 4 4 r 2 − x 2=x 2 (3r 2 − x 2 )r 2 4r 2 − x 2=;S′(x)=0, если x= 3r на (0;2r);S′(x)>0, если x ∈ (0;max S(x)=S( 3r )=( 0;2 r )3r ), S′(x)<0, если x ∈ ( 3r ;2r);2 3r 2.4Таким образом, |AB|=|BC|= 3r и |AC|= 3r , т.е.

треугольник АВСявляется равносторонним, ч.т.д.189.

Характеристики

Список файлов книги