kolmogorov-gdz-10- №1-325 (991260), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

Критические точки функции, максимумы и минимумы287.Слева: точка x2, x=0, точка x3 и точка x4 (f’(x2)=f’(0)=f’(x3)=0, f’(x4)не существует и эти точки являются внутренними для D(f)).Точка x2, точка x4, точка x5, точка x6, точка x7 (f’(x7)=0; f’(x2), f’(x4) иf’(x6) не существует, и все эти точки являются внутренними для D(f)).155288.а) f(x)=4-2x+7x2;D(f)=R;f′(x)=-2+14x;D (f′)=R;f’(x)=0:x=1;7б) f(x)=1+cos2x;D(f)=R;f′(x)=-2sin2x;D(f′)=R;f’(x)=0: sin2x=0, x=πn, n ∈ Z;2в) f(x)=x-2sinx;D(f)=R;f′(x)=1-2cosx;D(f′)=R;f’(x)=0: cosx=г) f(x)=4x-π1, x= ± + 2πk , k ∈ Z;23x3;3D(f)=R;f′(x)=4-x2;D(f′)=R;f’(x)=0: 4-x2=0, x= ± 2;289.Слева: максимум: точки x2 и x4: f′(x2)=f′(x4)=0; минимум: точка x1и x3: f′(x1)=f’(x3)=0.Справа: максимум: точки x1 и x3: f′(x1) не существует f′(x3)=0; минимум: точки x2 и x4: f’(x2)=0, f’(x4) не существует.290.а) f(x)=5+12x-x3;D(f)=R;f′(x)=12-3x2=-3(x-2)(x+2);D(f′)=R;–+-2156+2xКритические точки x= ± 2, где x=-2 – точка минимума, x=2 – точкамаксимума.б) f(x)=9+8x2-x4;D(f)=R;f’(x)=16x-4x3=-3x(x-2)(x+2);D(f′)=R;02Критические точки x= ± 2;0, где x=-2 и x=2 – точки максимума,x=0 – точка минимума.в) f(x)=2x3+3x2-4;D(f)=R;f’(x)=6x2+6x=6x(x+1);D(f′)=R;–++x0Критические точки x=-1;0, где x=-1 – точка максимума, x=0 – точка минимума.1г) f(x)= x4-x2;2D(f)=R;f’(x)=2x3-2x=2x(x-1)(x+1);D(f′)=R;-1––1+–+01xКритические точки x= ± 1;0, где x= ± 1 – точки минимума,x=0 – точка максимума.291.а) f(x)= x ;D(f)=[0;+ ∞ );E(f)=R+;f′(x)=-12 x,D(f′)=(0;+ ∞ ).Т.к.

f’(x) ≠ 0, то функция f(x) не имеет критических точек.157б) f(x)=tgx;πD(f)=R\  + πk2k ∈ Z ;E(f)=R;f’(x)=1,cos 2 xD(f′)=D(f).Т.к. f′(x) ≠ 0, то функция f(x) не имеет критических точек.в) f(x)=3x-7;D(f)=R;E(f)=R;f′(x)=3>0 для любого x ∈ R,D(f′)=R.Т.к. f′(x)>0 для x ∈ R, то функция f(x) не имеет критических точек.г) f(x)=3x5+2x;D(f)=R;E(f)=R;f’(x)=15x4+2>0 для любого x ∈ R,D(f′)=R.Т.к. f’(x)>0, то функция f(x) не имеет критических точек.292.а) f(x)=sin2x-cosx;D(f)=R;12f’(x)=2sinx cosx+sinx=2sinx  cos x +  ,D(f′)=R;f′(x)=0 если x= πk , k ∈ Z и x= ±2π+ 2πn , n ∈ Z – это критические3точки функции.2π2πТочки x=+ 2πn и x=+ 2πn , n ∈ Z – точки максимума, точки33x= πk , k ∈ Z – точки минимума функции.8б) f(x)=2x+D(f)=R/ {0};f’(x)=2-16,x2x3D(f’)=R/ {0};158;++–x20Единственной критической точкой для f(x) является x=2,т.к.

f′(2)=0;в) f(x)=10cosx+sin2x-6x;D(f)=R;f′(x)=-10sinx+2cos2x-6,D(f′)=R;f’(x)=0: f′(x)=2(1-2sin2x)-10sinx-6=0; 2sin2x+5sinx+2=0.π1x=(-1)k+1 + πk , k ∈ Z.sinx=- ;26πКритическая точка: x=(-1)k+1 + πk , k ∈ Z.6г) f(x)=x3-4x+8;D(f)=R; E(f)=R;2 3  2 3 x+f’(x)=3x2-4=3  x −;3 3 f’(x)=0 или x= ±2 32 3. Критические точки: x= ±.33293.а) f(x)=(x-2)3;D(f)=R; E(f)=R;f′(x)=3(x-2)2, D(f′)=R;f′(x)=0 при x=2 – критическая точка;− x − 2, x ≤ −1,− 1 < x < 1,б) f(x)=  x,2 − x, x ≥ 1;D(f)=R;− 1,f’(x)= 1,− 1,x < −1,− 1 < x < 1,x > 1;Т.к.

в точке x=-1 и x=1 f’(x) не существует, то x= ± 1 – критическиеточки f(x);x 3+ ;3 xD(f)=R/ {0};в) f(x)=15913f′(x)= −3,x2D(f′)=R/ {0};1 3f’(x)=0: − 2 =0,x= ± 3 – критические точки;3 x x + 6, x < −2,г) f(x)=  x 2 ,− 2 ≤ x ≤ 2, D ( f ) = R;6 − x, x > 2;x < −2,1,f′(x)= 2 x, − 2 < x < 2,− 1, x > 2;f′(x)=0, при x=0 - критическая точка.Т.к. в точках x=-2 и x=2 f′(x) не существует, то x= ± 2 – критические точки.294.а)б)в)160г)295.а) f(x)=1 4 2x -8x ;2D(f)=R;E(f)=[-32;+ ∞ );f′(x)=2x3-16x=2x(x-2 2 )(x+2 2 );D(f’)=R;–-2 2+–+02 2xФункция убывает на (- ∞ ;-2 2 ] U [0;2 2 ]; функция возрастает на[-2 2 ;0] U [2 2 ;+ ∞ ).Точки x=-2 2 и x=2 2 - точки минимума, x=0 – точка максимума;f(0)=0; f(x)=f(-x) – функция является четной;f(x)=0:1 2x (x-4)(x+4)=0, x=0, x= ±4 - точки пересечения функции2с осью x;161б) f(x)=D(f)=R;3x1 + x2; 3 33(1 − x )(1 + x )E(f)= − ;  ;2 2f′(x)=(1 + x 2 ) 2,D(f’)=R;––+-11xФункция убывает на (- ∞ ;-1] U [1;+ ∞ ), функция возрастаетна [-1;1].

Точка х=-1 – точка минимума;x=1 – точка максимума f(x);f(x)=-f(-x) – функция является нечетной;(0;0) – точка функции;16216в) f(x)=2x- x3;D(f)=R;E(f)=R;f′(x)=-1(x-2)(x+2);2D(f′)=R;––+-2x2Функция убывает на (- ∞ ;-2] U [2;+ ∞ ), функция возрастаетна [-2;2]. Точка х=-2 – точка минимума;x=2 – точка максимума.16f(x)=0: - x(x-2 3 )(x+2 3 )=0;x=0, x= ± 2 3 - точка пересечения с осью x;x2 − 2x + 2;x −1D(f)=R\ {}1 ;г) f(x)=E(f)=R/(-2;2);f′(x)=2( x − 1)( x − 1) − ( x 2 − 2 x + 2)( x − 1)2=x 2 − 2x( x − 1)2=x ( x − 2)( x − 1) 2;D(f′)=D(f);163––+01+x2Функция возрастает на (- ∞ ;0] U [2;+ ∞ ), функция убывает на[0;1) U (1;2]. x=0 – точка максимума;f(0)=-2.24.

Примеры применения производнойк исследованию функций296.а) f(x)=x2-2x+8;D(f)=R;E(f)=[7;+ ∞ );f(x) является функцией общего вида.x2-2x+8=0 – не имеет решений;f(0)=8;f′(x)=2(x-1),D(f′)=R;xf(x)164(- ∞ ;1)17min(1;+ ∞ )б) f(x)= −2x 22+x+ ;33D(f)=R;E(f)= − ∞;25 ;24 f(x) - функция общего вида;2x 22+ x + =0;332f(0)= ;3434xf′(x)= −+1= −  x −  ;343−D(f’)=R;343 − ∞; 4x1f(x)3 ;+∞ 4124maxв) f(x)=-x2+5x+4;D(f)=R;E(f)=  − ∞;41 ;4 f(x) - функция общего вида.-x2+5x+4=0;x=5 − 415 + 41; x=; f(0)=4;22f’(x)=-2x+5=-2(x-2,5);D(f’)=R;165(- ∞ ;2,5)xf(x)г) f(x)=2,510,25max(2,5;+ ∞ )x2x 1++ ;4 16 4D(f)=R; 63;+∞  ; 256E(f)= f(x) - функция общего вида.x2x 1++ =0 – нет решений;4 16 41f(0)= ;41x 1 1f′(x)= += x +  .82 16 2 xf(x)1 − ∞; 8-1863256min166 1 − ;+∞  8297.а) f(x)=-x3+3x-2;D(f)=R;E(f)=R;f(x) – функция общего вида.(x-1)(x2+x-2)=0; x=1, x=-2;f′(x)=-3x2+3 =-3(x-1)(x+1);xf’(x)f(x)(- ∞ ;-1)--10-4minf(0)=-2;(-1;1)+100max(1;+ ∞ )-б) f(x)=x4-2x2-3;D(f)=R;E(f)=[-4;+ ∞ );f(-x)=f(x) – функция четная.(x2-3)(x2+1)=0, x= ± 3 ; f(0)=-3;f′(x)=4x3-4x=4x(x-1)(x+1);xf’(x)f(x)(- ∞;−1 )--10-4min(-1;0)+00-3max(0;1)-10-4min(1;+ ∞ )+167в) f(x)=x3+3x+2;D(f)=R;E(f)=R;f(x) — функция общего вида.f(0)=0; f’(x)=3x2+3 =3(x2+1)>0 – функция возрастает на R;г) f(x)=3x2-x3;D(f)=R;E(f)=R;f(x) – функция общего вида;x2(3-x)=0; x=0, x=3;f′(x)=6x-3x2=3x(2-x);xf’(x)f(x)168(- ∞ ;0)-000min(0;2)+204max(2;+ ∞ )-298.а) f(x)=1+1,5x-3x2-2,5x3;D(f)=R;E(f)=R;f′(x)=1,5-6x-7,5x2;D(f′)=R=D(f);f′(x)=0 : -1,5(5x2+4x-1)=0;–x=-1,x=0,2;–+-1x0,2Функция убывает на (- ∞ ;-1] U [0,2;+ ∞ ), возрастает на [-1;0,2].б) f(x)=x5 x3-6x+1;−53D(f)=R;E(f)=R;f′(x)=x4-x2-6;D(f′)=R;f′(x)=0 : (x2-3)(x2+2)=0;x= ± 3 ;–++-1x5Функция возрастает на (- ∞ ;- 3 ] U [ 3 ;+ ∞ ),убывает на [ − 3; 3 ].в) f(x)=x4+8x-5;4D(f)=R;f′(x)=x3+8;D(f′)=R=D(f);f′(x)=0 : (x+2)(x2-2x+4)=0;–x=-2;+–2хФункция убывает на (- ∞ ;-2] и возрастает на [-2;+ ∞ ).г) f(x)=x3-6x2-15x-2;D(f)=R;E(f)=R;f′(x)=3x2-12x-15;D(f′)=R=D(f);169f’(x)=0 : 3(x-5)(x+1)=0; x=-1, x=5;–++x5Функция возрастает на (- ∞ ;-1] U [5;+ ∞ ) и убывает на [-1;5].–1299.а) f(x)=2x-cosx;б) f(x)=x5+4x;в) f(x)=sinx+3x;2г) f(x)=2x3+x-5;D(f)=R;D(f)=R;f′(x)=2+sinx>0f′(x)=5x4+4>0;D(f)=R;f′(x)=cosx+D(f)=R;f′(x)=6x2+1>0.3>0;2300.а) f(x)=1 2 1 5x- x;25D(f)=R; E(f)=R;f(x) – функция общего вида;f(x)=0 :1 2x (2,5-x3)=0;5x=0,x= 3 2,5 ≈ 1,4;f’(x)=x-x4=x(x-1)(1+x+x2),D(f′)=R=D(f);xf’(x)f(x)(- ∞ ;0)-000(0;1)+б) f(x)=4x2-x4;D(f)=R;E(f)=(- ∞ ;4];f(-x)=f(x) — функция четная;f(x)=0 : x2(2-x)(2+x)=0, x=0,f’(x)=8x-4x3 =4x( 2 -x)( 2 +x),D(f’)=R;17010310x= ± 2;(1;+ ∞ )-x0(- ∞;− 2 ) - 2 (- 2 ;0)f’(x)+0f(x)4max15(0;00min2)+20-4max( 2 ;+ ∞ )-13в) f(x)= x5-1 x3;D(f)=R;E(f)=R;f(-x)=-f(x) – функция является нечетной;f(x)=0 :1 3  2 20 x  x −  =0;5 3 x=0,x= ±20;3f′(x)=x4-4x2=x2(x-2)(x+2),D(f′)=R=D(f);x(- ∞;−2 ) -2f’(x) +0f(x)6415max(-2;0)-000(0;2)-(2+ ∞ )+20-6415min171г) f(x)=5x3-3x5;D(f)=R;E(f)=R;f(-x)=-f(x) – функция является нечетной;53f(x)=0 : -3x3  x 2 −  =0;x=0,5≈ ± 1,3;3x= ±f′(x)=15x2-15x4=15x2(1-x)(1+x),D(f′)=R=D(f);xf’(x)f(x)(- ∞;−1 )--10-2min(-1;0)+000(0;1)+102max(1+ ∞ )301.а) f(x)=x2 1 + x ;E(f)=R+;D(f)=[-1;+ ∞ );f(x) — функция общего вида;f(x)=0 при x=-1;0;45 x x + 5,f′(x)=2x 1 + x +== 2 1+ x2 1+ x2 1+ xD(f′)=(-1;+ ∞ );x2x4 − 1;− 5f’(x)f(x)+5x2 + 4 x-45 4  − ;0  5 0(0;+ ∞ )0-00+16 5125max172minб) f(x)=6( x − 1)x2 + 3;D(f)=R;E(f)=[-3;1];f(x) – функция общего вида;f(x)=0, если x=1;f(0)=-2;f′(x)=6( x 2 + 3) − 6( x − 1)2 x( x 2 + 3) 2=−6( x + 1)( x − 3)( x 2 + 3) 2;D(f′)=R;xf’(x)f(x)(- ∞ ;-1)--10-3min(-1;3)+301max(3;+ ∞ )-в) f(x)=x 2 − x ;D(f)=(- ∞ ;2];E(f)=(- ∞ ;1];f(x) – функция общего вида;f(x)=0, если x=0;2;f′(x)= 2 − x -x2 2−x=2( 2 − x) − x2 2−x,D(f′)=(- ∞ ;2);173x4 − ∞; 3f’(x)+434  ;2 3 0-4 2≈ 1,13 3f(x)maxг) f(x)=2x1 − x2D(f)=R/ {± 1} ;;E(f)=R;f(-x)=-f(x) – функция является нечетной;f(x)=0, если x=0;f′(x)=2(1 − x 2 ) + 2 x 2 x(1 − x 2 ) 2=2x 2 + 2(1 − x 2 ) 2,D(f′)=(- ∞ ;-1) U (-1;1) U (1;+ ∞ );f′(x)>0, при x ∈ D(f′) – функция возрастает на D(f);174302.а) f(x)=sin2x+sinx;D(f)=R; 1 E(f)= − ;2 ;4f(-x)=-f(x) – функция общего вида;π+2 πk , k ∈ Z,2f(x+2 π )=sin(x+2 π )+sin2(x+2 π )=sinx+sin2x для любого x ∈ D(f) –функция периодическая с T=2 π ;1f′(x)=2sinxcosx+cosx =2cosx  sin x +  ;2D(f′)=R;1f′(x)=0: cosx=0, sinx=- ;2ππx= + πk , k ∈ Z, x=(-1)n+1 + πn , n ∈ Z;26f(x)=0 : sin(sinx+1)=0, x= πk , k ∈ Z и x=-x5π+ 2πn  − π + 2πn;−6f’(x)f(x)-xπ- + 2πn200-5π+ 2πn6π 5π+ 2πn;− + 2πn −2 60+-14minf’(x)f(x)π π − + 2πn;− + 2πn 6 2-maxxπ π - + 2πn; + 2πn 62f’(x)f(x)+172π+ 2πn202max-π+ 2πn6014minπ + 2πn;π + 2πn 2-б) f(x)=2x1 + x2;D(f)=R;f(-x)=-f(x) – функция является нечетной;f(x)=0, при x=0;f’(x)=2(1 + x 2 ) + 2 x 2 x2 2(1 + x )=2(1 − x )(1 + x )(1 + x 2 ) 2,D(f’)=R;Рисунок смотри в предыдущих номерах;в) f(x)=cos2x-cosx;D(f)=R; 1  4 E(f)= − ;2 ;f(-x)=f(x) – функция является четной;πf(x)=0 : cosx(cosx-1)=0,x= + πk , k ∈ Z и x=2 πk , k ∈ Z,2f(0)=0;f(x+2 π )=cos2(x+2 π )-cos(x+2 π )=cos2x–cosx=f(x) – функцияпериодическая с T=2 π ;f’(x)=0: sinx=0,cosx=x= πk , k ∈ Z,x= ±1;2π+ 2πk , k ∈ Z;3173π π - + 2πn; - + 2πn 23f’(x)-xf(x)x2πnf’(x)0f(x)0π+ 2πn3014minπ+ 2πn  2πn;3-- π - + 2πn;2πn 3+maxπ + 2πn;π + 2πn 3xf’(x)f(x)+02maxx;x −1D(f)=R/ {1} ;E(f)R/ {1} ;г) f(x)=f(x)= – функция общего вида;f(x)=0, если x=0;f’(x)=x −1+ x( x − 1) 2D(f’)=R/ {1} ;174=-π + 2πn1( x − 1) 2,ππ+ 2πn3014min3π+ 2πn;+ 2πn 2-f′(x)<0 при x ∈ D(f′),f(x) убывает на (- ∞ ;1) U (1;+ ∞ );Прямая y=1 – горизонтальная асимптома для f(x);x=1 – вертикальная асимптома.303.а) f(x)=tgx-x;π2D(f’)=R\  + πkf’(x)=1cos 2 xk ∈ Z ;-1;π2D(f’)=D(f)=R\  + πn n ∈ Z  ;f’(x)>0:1cos 2 x>1. πСледовательно, на  0;  f’(x)>0,2 πт.е.

функция f(x) возрастает на  0;  ;21б) f(x)= x − ;xD(f)=(0;+ ∞ )=R+;11+f′(x)=,2 x x2D(f’)=(0;+ ∞ )=D(f);f’(x)>0, f(x) возрастает на (0;+ ∞ ).Т.к. [1;+ ∞ ) ⊂ (0;+ ∞ ), то f(x) возрастает на [1;+ ∞ );175в) f(x)=x-sinx;D(f)=R;f′(x)=1-cosx,D(f′)=R=D(f);f′(x) ≥ 0, f(x) возрастает на (0;+ ∞ );πг) f(x)=x+ -cosx;2D(f)=R;f’(x)=1+sinx,D(f’)=R; π π;  , f(x) возрастает на 2 2f’(x)>0, для любого x ∈  − π π− 2 ; 2  ;304.f(x)=4x3-3x2-36x-10;D(f)=R;E(f)=R;f′(x)=12x2-6x-36=12(x+1,5)(x-2);(- ∞ ;-1,5)+xf’(x)f(x)-1,5023,75max(-1,5;2)-20-62min(2;+ ∞ )+На (- ∞ ;-1,5) f(x) возрастает от - ∞ до 23,75 – существует точкаx0 ∈ (- ∞ ;-1,5): f(x0)=0;на (-1,5;2)f(x) убывает от 23,15 до –62 – существует точкаx1 ∈ (-1,5;2): f(x1)=0;на (2;+ ∞ )f(x) возрастает от –62 до + ∞ - существует точкаx2 ∈ (2;+ ∞ ): f(x2)=0.Итак, уравнение 4x3-3x2-36x-10=0 имеет 3 корня.б) f(x)=x4x2− x3 −+ 3x ;42D(f)=R;E(f)=R;f′(x)=x3-3x2-x+3=x2(x-3)(x-3)=(x-3)(x-1)(x+1);xf’(x)f(x)(- ∞ ;-1)--10-2,25min(-1;1)+101,75maxИз таблицы видно, что f(x) имеет 4 корня.176(1;3)-3(3;+ ∞ )0+-2,25minв) f(x)=x4-4x3-9;D(f)=R;E(f)=R;f’(x)=x3-12x2=x2(x-3);xf’(x)f(x)(- ∞ ;0)-00-9(0;3)-30-36min(3;+ ∞ )+На (- ∞ ;0)f(x) убывает от - ∞ до -9 – существует точкаx0 ∈ (- ∞ ;0): f(x1)=0;на (0;3)f(x) убывает от -9 до –36 –f(x) не имеет корней;на (3;+ ∞ )f(x) возрастает от –36 до + ∞ - существует точкаx2 ∈ (3;+ ∞ ): f(x2)=0.Итак, уравнение x4-4x3-9=0 имеет 2 корня на R.г) f(x)=x2-x3-1;3D(f)=R;E(f)=R;f′(x)=2x-x2=x(2-x);xf’(x)f(x)(- ∞ ;0)-00-1(0;2)+20(2;+ ∞ )-13minmaxНа (- ∞ ;0)f(x) убывает от - ∞ до -1 – существует точкаx0 ∈ (- ∞ ;0): f(x0)=0;на (0;2)f(x) возрастает от -1 до1– существует точка3x1 ∈ (0;2): f(x1)=0;на (2;+ ∞ )f(x) убывает от1до - ∞ - существует точка3x2 ∈ (2;+ ∞ ): f(x2)=0.Итак, уравнение x2-x3-1=0 имеет 3 корня на R.317725.

Характеристики

Список файлов книги