kolmogorov-gdz-10- №1-325 (991260), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

 2  36 21, x > 0;г) f(x)=  0, x = 0; f(-1,7)=-1; f(- 2 )=-1; f(0) = 0; f(3,8) = 1.− 1, x < 0.в) f(x)= 52.а)∆ MBN ~ ∆ ABC и коэффициент подобияравенx, т.е.nS ABCx2bh x 2 bx 2= 2 ; S MNB = ∗ 2 =;S MNB n2 h2hS MNC = S ABC − S MNB =bhx2(1− 2 ),2hпричем x ∈[0;h] .xR 2;2в) P(α ) = 2r +l = r (α + 2);б) S(x) =CBг) |AC| =|BD| = a 2 ;Pa 2 S ACD 2a 2 a 2==;;|РD| =2 x S MND 4 x 2 2 x 2OAт.е. S MND = x 2 ;S MABCN = S ABCD − S MND =a 2 − x 2 , причем x∈[0;MNDa 2].253.а) y =3x −22 3 x − 2 ≥ 0;⇒ D( y ) =[ ;2)U(2;+ ∞);; D(y):  220;−−≠xx3x − x −2б) y =2x 2 − 3x − 416 − x 2; x 2 − 3 x − 4 ≥ 0;D( y ) : ⇒ D ( y ) = (−∞;−4) U (−4;−1] U (4;+∞);2 16 − x ≠ 0;в) y=33x+2 x + 2 ≥ 0;⇒ D ( y ) = [−2; ) U ( ;+∞).; D( y ) : 223 − 2x3 − 2 x ≠ 0;27г) y =24 − x2; D ( y ) :4 − x ≥ 0; ⇒ D( y ) = [ −2;0,5) U (0,5;2].1 − 2x1 − 2 x ≠ 0;54.а) y=1+sin2x; D(y)=R; E(y)=[1;2];б) y =x −11; D( y ) = R / {0}; E ( y ) = R / {1}, т.к.

≠ 0.xxв) y = x 2 + 4 ; D(y) = R; E(y)= [2;+∞);г) y=1,5-0,5cos2x; D(y)=R; E(y)= [1;1,5).55.а)б)в)28г)56.a)б)29в)г)4. Четные и нечетные функции.Периодичность тригонометрических функций57.а) f(x)=3x2-x4; f(-x)=3(-x)2-(-x)4 = f(x);x2x2б) f(x) = x5 ⋅ sin ; f ( − x) = − x5 ⋅ ( − sin ) = f ( x);в) f ( x) = x 2 cos x; f (− x) = (− x 2 ) cos(− x) = x 2 cos x = f ( x);г) f ( x) = 4 x 6 − x 2 ; f (− x) = 4( − x)6 − (− x) 2 = 4 x6 − x 2 = f ( x).И для всех f(x) (из пунктов а) б) в) г)) D(f)=R.58.а) f ( x) =cos 5 x + 1;xD(f) = R/{0} – симметрична относительно (0;0);f(-x)=cos( −5 x ) + 1 cos 5 x + 1== f ( x );−xxб) f ( x) =sin 2 x;x2 − 1D(f)=R/{ ± 1} – симметрична относительно (0;0);sin 2 (− x) sin 2 xf (− x) === f ( x );(− x)2 − 1 x 2 − 1302 sinв) f ( x) =x3x2;D(f)=R/{0} – симметрична относительно (0;0);xx2 sin( − ) 2 sin22== f ( x);f (− x) =x3( − x )3г) f(x)=cos x3;4 − x2D(f)=R/{ ± 2} – симметрична относительно (0;0);cos(− x3 ) cos x3f (− x) === f ( x).4 − (− x)2 4 − x 259.а) f(x)= x3sin x2; f(-x)= -x3 sin(-x)2 = -f(x);б) f(x)=x2(2x-x3); f(-x) = x2(-2x+x3)= -f(x);в) f(x)=x5cos3x; f(-x)=-x5cos(-3x)=-f(x);г)f(x)=x(5-x2); f(-x)=-x(5-(-x)2)=-f(x).И для всех f(x) (из пунктов а) б) в) г)) D(f)=R.60.а) f ( x) =x4 + 12 x3;D(f)=R/{0} – симметрична относительно точки (0;0);f (− x) =(− x)4 + 1− 2 x3=−x4 + 12 x3= − f ( x );cos x3б) f(x)=;x(25 − x 2 )D(f)=R/{0; ± 5} – симметрична относительно точки (0;0);cos( − x3 )f (− x) == − f ( x);− x (25 − x 2 )в) f ( x) =г) f(x)=3x6x +2; D ( f ) = R; f (− x) =−3 x6(− x) + 2=−3x6x +2= − f ( x );x 2 sin x;x2 − 9D(f)=R/{ ± 3} – симметрична относительно точки (0;0);31f ( − x) =( − x ) 2 sin( − x )2( − x) − 9=−x 2 sin xx2 − 9= − f ( x).Поэтому, функции f(x) (из пунктов а) б) в) г)) являютсянечетными.61.1) f-четная:a)в)2)f – нечетная:a)в)32б)г)б)г)62.x2а) f ( x + T ) = f ( x + 4π) = sin( + 2π) = sinx= f ( x );2π)=2tg(3x+ π )=2 tg3x= f(x);3πв) f(x+T)=f(x+ ) = 3 cos(4 x + 2π) = 3 cos 4 x = f ( x);2xxг) f(x+T)= f ( x + 3π) = ctg ( + π) = ctg .33б) f(x+T)=f(x+Поэтому, число Т является периодом функции f(x).63.Функции f(x) (из пунктов а) б) в) г)) есть линейные комбинацииэлементарных тригонометрических функций (sin х, cos х, tg х, ctg х),которые являются периодическими.

Поэтому и функции f(x)являются периодическими.64.а) y1 =x1sin ;24Наименьший положительный период функции y=sin x есть 2π ,поэтому наименьший положительный период функции y1(x) равен2π= 8π;1/ 43xπ2πб) y1 = 3tg ; T =;=23/ 2 32πв) y1=4 cos 2x; T == π;2πxг) y1 = 5tg ; T == 3π.1/ 33T=65.а) y = sin x cos x =sin 2 x2π; T== π;22б) y=sin x sin 4x - cos x cos 4x=-cos 5x; T =в) y= sin2x-cos2x=-cos 2x; T =2π 2= π;5 52π= π;2г) y=sin 3x cos x + cos 3x sin x=sin 4x; T =2π π= ;42где Т – наименьший положительный период функции y(x).3366.а)б)в)г)67.а) y= sin 2x; T =x3б) y = cos ; T =342π= π;22π= 6π ;1/ 3x2в) y= tg ; T =π= 2π ;1/ 2г) y=sin 1,5x; T =2π 4= π;1,5 3где Т — наименьший положительный период функции у(х).68.а) не прав, т.к.

Т должно удовлетворять равенству f ( x + t ) = f ( x)для ∀x ∈ D( f ) ;б) не прав; в) не прав; г) не прав.69.а) y=sin x + ctg x - x; D(y) =R \ { πn,n ∈ z };y(-x)= -sin x - ctgx + x = -y(x) — функция нечетная;б) y =xsin x cos xу(-х)=-2xsin 2 x=2⋅ xsin 2 xπ2; D(у)=R\  n,n ∈ z  ;= − y ( x) — функция нечетная;π2в) у=х4+tg2x+xsinx; D(у)=R\  + πk,k ∈ z у(-х)=(-х)4+tg2(-х)+(-х)sin(-х)=у(х) — функция четная;г) y =tgx − ctgx πn; D(у)=R\  ,n ∈ z  ;x235у(-х)=−tg + ctgx= − y (x ) функция нечетная.−x70.а) y =sin x;x3 − 1D(у)=R\ {1} — несимметричная относительно нуля, поэтомуу(х) — функция общего вида;x + sin x; D(у)=R\ {0} ;x − sin x− x − sin xу(-х)==у(х) — функция является четной;− x + sin xб) y =21 − x2; D(у): 1 − x ≥ 0 ⇒ D(у)=[-1;1) – не симметрична1− x1 − x ≠ 0в) y =относительно нуля, т.е у(х) – функция общего вида.г) y =x + tgx π; D(у)=R\ 0; + πn \ n ∈ z  .2x cos xy (− x) =− x − tgxx + tgx=у(х) — функция является четной.=− x ⋅ cos x x cos x71.а) из графика видим, чтофункциясимметричнаотносительноосиОХ,поэтому функция являетсячетной.36б) Из графика видим, чтофункциясимметричнаотносительно точки (0;0),поэтому функция являетсянечетной.72.а) h(x)=f(x)g2(x), где f - четная и g - нечетная функции;h(-x)=f(-x)⋅g2(x)= f(x)⋅g2(x)=h(x).т.е.

h(x) – четная функция;б) h(x)=f(x)=g(x), где f и g четные функции,h(-x)=f(-x)-g(x)=f(x)-g(x)=h(x),т.е. h(x) – четная функция;в) h(x)= f(x)+g(x), где f и g нечетные функции;h(-x)=f(-x)+g(-x)=-(f(x)+g(x))=-h(x).т.е. h(x)нечетная функция;г) h(x)=f(x)g(x), где f и g нечетные функции;h(-x)=f(-x)g(-x)=(-f(x)(-g(x))=f(x)g(x)=h(x),т.е.

h(x) – четная функция.73.1 − cos 2 x2π=π.;T=22 πkб). y=tgx⋅ctgx=1, причем D(у)=R\  ,k ∈ Z  ;2а). y = sin 2 x =Очевидно, что T =π;2в) y=sin4x-cos4x=sin2x-cos2x=-cos2x; T =г) y =  sin2π=π;22xx2π+ cos  = 1 + sin x ; T == 2π ;221где Т – наименьший положительный период функции у(х).3774.a)б)в)г)75.Допустим, функция у=f(x) имеет период Т, т.е у(х±Т)=у(х), тогдадля функции у1=аf(x)+b:38у1(х±Т)=a(у(х±Т))+b=ау(х)+b=аf(х)+b=у1(х). Причем D(у1)=D(у).Поэтому у1(х) является периодической.76.а) у=х2-3; при х=1 (∈D(у)):у(х+2)=у(3)=6≠1=у(2).Т.е. Т=2 не период функции у(х);б). y=cosx; При х=π (∈D(у)):у(х+2)=cos(π+2)=- cos2≠-1=cos(π)=y(π).Т.е.

Т=2 - не период функции у(х);в) у=3х+5 есть функция не периодическая, т.е. Т=2 не периодфункции у(х)г) у=х есть функция не периодическая, т.е. Т=2 — не периодфункции у(х).5. Возрастание и убывание функций. Экстремумы.77.а) x ∈[ −7;−5] ∪ [1;5] — промежуток возрастания ;x ∈ [− 5; 1] ∪ [5 ; 7] — промежуток убывания;хmax1=–5; ymax1 =5; хmax2=5; ymax2 =3; хmin1=1; уmin1=–3;б) x ∈ [ − 6;−4] ∪ [ − 2;4] — промежуток возрастания;x ∈[ − 4;−2] ∪ [4;5] — промежуток убывания;хmax1=–4; ymax1 =3; хmax2=4; ymax2 =5; хmin1=–2; уmin1=–2;в) x ∈[ − 3;3] — промежуток возрастания;x ∈ [− ∞ ; 3] ∪ [3; + ∞ ) — промежуток убывания;хmax1=3; ymax1 =2; хmin=–3; уmin=–2;г) х∈[-4;-2]∪[0;2] ∪[4;6] – промежуток возрастания;х∈[-6;-4]∪[-2;0] ∪[2;4] — промежуток убывания;хmax1=–2; ymax1 =3; хmax2=2; ymax2 =3; хmin1=–4; уmin1=–2; хmin2=0;уmin2=0; хmin3=4; уmin3=–2;78.а)39б)в)г)79.а)40б)в)г)4180.а)б)в)г)4281.Пусть х2>x1, тогда y(x2)-y(x1)= kx2+b-kx1-b=k(x2-x1).a) k>0, то y(x2)-y(x1)>0, т.е.

функция возрастает на R;б) k>0, то y(x2)-y(x1)<0, т.е функция убывает на R.(т.к. x1, х2 любые точки на R).82.а) y=-х2+6х-8=1-(х-3)2.Очевидно, хmax=3, ymax=1.Если х∈(-∞; 3], то функция возрастает;Если х∈[3;+∞), то функция убывает.б) у=(х+2)4+1.Очевидно, ymin=1 и x min=-2.При х∈(-∞;-2], функция убывает ипри х∈[-2;+∞) функция возрастает.в) у=х2-4х=(х-2)2-4.Очевидно, что xmin =2; уmin=-4При х∈(-∞;2] функция убывает;при х∈[2;+∞) функция возрастает.г) у=(х-3)4;Очевидно, что ymin=0; хmin=3При х∈(-∞;0] функция убывает;при х∈[0;+∞) функция возрастает.83.а) y =3; D(у)=R\ {2} ;x−2При х1<x2<2: у(х2)-у(х1)=3( x1 − x 2 )< 0 , т.е. на (-∞;2) функция( x 2 − 2)( x1 − 2)убывает; аналогично на (2;+∞) функция убывает.y=3убывает на каждом из промежутков D(у), следовательно,x−2она не имеет точек минимума и максимума;б).

у=-(х+3)5; D(у)=R;то для х1<x2: (-x1-3)5<(-х2-х3)5, т.е.у(х1)<у(х2) — функция убывает на R. Следовательно, не имеетточек максимума и минимума;в) y = −1; D(у)=R\ {− 3}x+3x1; х2∈R: x1<x2<-3, то43y ( x 2 ) − y ( x1 ) =− x 2 + x1< 0 функция возрастает на (-∞; -3).( x1 + 3)( x 2 + 3)Аналогично, она возрастает на (-3; +∞), т.к. y = −1возрастаетx+3на D(у), то она не имеет точек максимума и минимума;г) у=(х-4)3; D(у)=R;то для x1<x2 : (х1-4)3<(x2<4)3;у(х1)<у(х2), т.е. функция возрастает на R и не имеет точекмаксимума и минимума.84.а) у=3sinx-1.π3πИмеем дело с синусоидой, поэтому, на  + 2πn; + 2πn , n∈Z22функция убывает;π π+ 2πn; + 2πn  n∈Z функция возрастает;2 2на −x min = −ππ+ 2πn ; уmin=-4, n∈Z; x max = + 2πk ; умах=2, k∈Z;22б)у=-2cosx+1;Функция убывает на [-π+2πn; 2πn] n∈Z;Функция возрастает на [2πn; π+2πn] n∈Z;хmin=2πn, уmin=-1; хмах=π+2πn; умах=3, n∈Zв) у=2cosх+1,Функция убывает на [-π+2πn; 2πn] n∈Z;Функция возрастает на [2πn; π+2πn]; n∈Z;хmin=π+2πn; уmin=-1; хмах=2πn; умах=3, n∈Z;г) у=0,5sinx-1,5;π3πФункция убывает на  + 2πn, + 2πn n∈Z;22π π+ 2πn; + 2πn  ; n∈Z;2 2ππхmin= − + 2πn ; уmin=-2; хмах= + 2πn ; умах=-1, n∈Z;22Функция возрастает на −85.π2а) у=1+tgх; D(у)=R/  + πn / n ∈ z 44Функция возрастает на  −Точек мах и min нетб) у=sinx+1; D(у)=R;ππ+ πn; + πn  , n∈Z;22π π+ 2πn; + 2πn  n∈Z;2 2Функция возрастает на −π3πФункция убывает на  + 2πn; + 2πn n∈Z;22ππ+ 2πn ; y min = 0 ; x max = + 2πn ; умах=2; n∈Z;22πв) у=-tgx; D(y)=R/  + 2πn / n ∈ z  ;2x min = −Функция убывает на  −ππ+ πn; + πn  ; n∈Z;22точек мах и min нет;г) у=cosx-1; D(у)=R;Функция убывает на (2πn; π+2πn]; n∈Z;Функция возрастает на [π+2πn; 2π+2πn]; n∈Z;хmin=π+2πn; уmin=-1; хмах=2π+2πn; умах=0, n∈Z;86.a) Т.к.

0 <2π 3π2π3π,> cos<< π , то cos9797в силу убывания y=cos x на [0; π];π 5π 7 π 3π5π7π<<<> sin, то sin,2 79278 π 3π т.к. у=sinх ↓ на  ;  ;2 2 б) Т.к.π 6π 9π 3π6π9π<<<> tg, то tg, т.к.2 57257 π 3π у=tgх ↑ на  ;  ,2 2 в) Т.к.π 3π 4π π3π4π<<< , то sin> sin,2 89289 π πт.к. у=sinx ↑ на − ;  . 2 2г) Т.к. −4587.π3πи< π − 1,3 < 3,2 < 3,8 <22 π 3π у=sinх ↓ на  ;  ⇒ sin 3,8<sin3,2<sin1,3;2 2 а)б) 0<0,9<1,3<1,9<π и y=cosx ↓ на[0; π] ⇒ сos 1,9<cos1,3<cos0,9;ππ π π− < −0,3 < 0,5 < 1,4 <и tgх ↑ нав) − ;  ⇒ tg(22 2 20,3)<tg0,5<tg1,4;ππ< −1,2 < 0,8 < 1,2 < и у=sinx ↑ на22π π;⇒ sin (-1,2) < sin 0,8 < sin 1,2.2 2 г) −−88.а) y =1( x − 2) 2x1 < x2 < 2, то+ 1 ; D (y) = R \{2}.1( x1 − 2)2<1( x2 − 2) 2⇒ функция возрастает на (-∞;2);Аналогично, функция убывает на (2;+∞);Точек max и min нет.б) y = 4 x − x 2 ;− ( x − 2) 2 + 4, x ≥ 0; 4 x − x 2 , x ≥ 0;y=y⇔=22− 4 x − x , x < 0;− ( x − 2) + 4, x < 0;Т.е.

Характеристики

Список файлов книги