Учебник_Погорелов_1995 (991113), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Объемы и поверхности тея вращения Рис. 490 265. ОБЩАЯ ФОРМУЛА ДЛЯ ОБЬЕМОВ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ Телом вуаибеикя в простейшем случае называется такое тело, которое плоскостями, перпендикулярными некоторой прямой (оси вращения), пересекается по кругам с центрами на этой прямой. Круговой цилиндр, конус, шар являются примерами тел вращения. Найдем формулу для вычисления объема тела вращения. Проведем плоскость через ось тела и введем в этой плоскости декартовм координаты х, у, приняв ось тела за ось х (рис.
49Ц. Плоскость ху пересекает поверхность тела по линии, для которой ось х является осью симметрии. Пусть у= ~ (х)— уравнение той части этой линии, которая расположена над осью х. Проведем через точку (х,. 0) плоскость, перпендикулярную оси х, н обозначим через 1'(х) объем части тела, лежащей слева от этой плоскости; Ъ' (х) является функцией от х. Разность Г (х + Ь) — 1" (х) представляет собой объем слоя тела толщиной Ь, заключенного между двумя плоскостями, которые перпендикулярны осн х и проходят через точки с абсциссами х н х+ Ь.
Пусть М вЂ” наибольшее, а т— наименьшее значение функции ~ (х) на отрезке (х, х+ Ь). Тогда рассматриваемый слой тела содержит Рис. 491 356 21 класс цилиндр с радиусом т и высотой Ь и содержится в цилиндре с радиусом М и той же высотой Ь (см. рис. 491). Поэтому л т И ~~ ): (х.+ Ь) — с" (х) - лМ Ь. 2 с (х+ И) с (х) ))лс При стремлении высоты Ь к нулю левая и правая части последнего неравенства стремятся к одной и той же величине л1~(х). Средняя же часть этого неравенства при стремлении Ь к О стремится к производной 1"'(х) функции с'(х). Значит, у2 ( По известной формуле анализа с Ъ'(Ь) — с (а)=~ с" (х) с(х=~ л(а(х)дх, а~Ь.
и с Эта формула и дает объем части тела, заключенной между параллельными плоскостями х=а и х= Ь. 206. ОБЪЕМ ШАРА Применим полученную формулу для объема тел вращения к вычислению объема шара. Введем декартовы координаты, приняв центр шара за начало координат (рис. 492).
Плоскость ху пересекает поверхность шара радиуса В по окружности, которая, как известно, задается уравнением х'+ у~ =В'. Полуокружность, расположенная над осью х, задается уравнением у=~(х)=+-~(Вч — х~, — В(х<В. Поэтому объем шара определяется по формуле 1с... л ~ (Вс — хс) с(х =— к =л(Вах — ) ~ = — лВ'. Итак, объем шара равен — лВ'. з ркс.
4эе Е 22. Обвеееы и наверяноети тея вращения зат 207. ОБТеЕМ ШАРОВОГО СЕГМЕНТА И СЕКТОРА Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него плоскостью. Формулу для объема шарового сегмента получаем аналогично формуле объема шара (рис. 493): ~'=л ~ яе — хе)гех=л(ееех — — ) ~ где Н вЂ” радиус шара, а Н вЂ” высота шарового сегмента. Шаровым сектором называется тело, которое получается из шарового сегмента н конуса следующим образом. Если шаровой сегмент меньше полушара, то шаровой сегмент дополняется конусом, у которого вершина в центре шара, а основанием является основание сегмента. Если же сегмент больше полушара, то указанный конус из него удаляется (рис. 494).
Объем шарового сектора получается сложением или вычитанием объемов соответствующих сегмента и конуса. Для объема шарового сектора получается следующая формула." 2 Не з где Н вЂ” радиус шара, а Н вЂ” высота соответствующего шарового сегмента. гие. 493 358 11 хаасс 200. ПЛОЩАДЬ БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЦИЛИНДРА Риа 495 209. ПЛОЩАДЬ БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ КОНУСА Впишем в конус правильную и-угольную пирамиду (рис. 496). Площадь ее боковой поверхности В„= — Р„1„, 2 где Р. — периметр основания пирамиды, а 1, — апофема. При неограниченном увеличении п периметр основания Р„неограниченно приближается к длине С окружности основания конуса, а апофема к длине 1 образующей.
Соответственно боковая поверхность пирамиды неог- 1 раниченно приближается к С вЂ”. В 2 связи с этим величина С вЂ” при- 2 нимается за площадь боковой поверхности конуса. Рис. 496 Впишем в цилиндр правильную л-угольную призму (рис. 490). Площадь боковой поверхности этой призмы Б„='Р.Н, где Р, — периметр основания призмы, а Н вЂ” ее высота. Как мы знаем, при неограниченном увеличении и периметр Р„неограниченно приближается к длине С окружности основания цилиндра.
Следовательно,площадь боковой поверхности призмы неограниченно приближается к СН. Поэтому величина СН принимается за площадь боковой поверхности цилиндра. Таким образом, площадь боковой новерхности цилиндра вычисляется но формуле Б = СН = 2иКН, где Н вЂ” радиус цилиндра, а Н вЂ” его высота. Е за Объемы и поверхности тея вращения Итак, площадь боковой поверхности конуса вычиеляетея по формуле з еде  — радиус основания конуса, а ( — длила образующей. Аналогично для площади боковой поверхности усеченного конуса с радиусами оснований В„В. и образующей 1 получается формула Я=л(В~+В ) Ь 210 ПЛОЩАДЬ СФЕРЫ Опишем около сферы выпуклый многогранник с малыми гранями (рис.
497). Пусть Я' — площадь поверхности многогранника, т. е. сумма площадей его граней. Найдем приближенное значение площади поверхности многогранника, предполагая, что линейные размеры граней, т. е. расстояние между любыми двумя точками любой граки, меньше'з. Объем многогранника равен сумме объемов пирамид, имеющих своими основаниями грани многогранника, а вершиной— центр сферы (рис. 498).
Так как все пирамиды имеют одну и ту же высоту, равную радиусу В сферы, то объем много- гранника (х = — Я'В. Объем многогранника больше объема шара, ограниченного сферой, но меньше объема шара с тем же центром и с радиусом В+с. Таким образом, — пВ < — Я'В< — л(В+е) . 4 х 1, 4 .е 4пВ' < Я' < 4л (Й+ е)' (( + л) . Отсюда Рпс. 497 Рне. 4ВЗ Зео 77 класс Мы видим, что площадь поверхности описанного многогранника при неограниченном уменьшении размеров его граней, т. е.
при неограниченном уменьшении с, стремится к 4лВ . Поэтому величина 4лйз принимается за площадь сферы. Итак, илов)адь сферы радиуса В вычисляется ио формуле В =4пЯ . Аналогично определяется площадь сферической части поверхности шарового сектора, т. е. площадь сферического сегмента, для нее получается формула где Н вЂ” высота сегмента.
9 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Выведите формулу для объема цилиндра. 2. Выведите формулу для объема конуса. 3. Выведите формулу для объема тел вращения. 4. Выведите формулу для объема шара. 5. Что такое шаровой сегмент7 Выведите формулу для объе- ма шарового сегмента. 6. Что такое шаровой сектор? По какой формуле вычисляется объем шарового сектора? 7. По какой формуле вычисляется площадь боковой по- верхности цилиндра? 8. По какой формуле находится площадь боковой поверхно- сти конуса (боковой поверхности усеченного конуса)? В. По какой формуле вычисляется площадь сферы? ЗАДАЧИ 202 1.
25 м медной проволоки имеют массу 100,7 г. НайЕЖ дите диаметр проволоки (плотность меди 8,94 г/см ). 2. Насос, подающий воду в паровой котел, имеет два водяных цилиндра. Диаметры цилиндров 80 мм, а ход поршня 150 мм. Чему равна часовая производительность насоса, если каждый поршень делает 50 рабочих ходов в минуту? 3. Во сколько раз надо увеличить высоту цилиндра, не меняя его основание, чтобы объем увеличился в п раз? Во сколько раз надо увеличить радиус основания цилиндра, не меняя высоту, чтобы объем увеличился в п раз7 4. В цилиндр вписана правильная треугольная призма, а в призму вписан цилиндр.
Найдите отношение объемов цилиндров. б 22 Обвемы и поверхности тея враиеения 361 5. Найдите объем цилиндра, вписанного в правильную шестиугольную призму, у которой каждое ребро равно а. 6. Свинцовая труба (плотность свинца 11,4 г/см') с толщиной стенок 4 мм имеет внутренний диаметр 13 мм. Какова масса 25 м этой трубы? П З)3 '7. Куча щебня имеет коническую форму, радиус осно- вания которой 2 м, а образующая 2,5 м.
Найдите объем кучи щебня. 8. Осевым сечением конуса является равнобедренный прямоугольный треугольник, площадь которого 9 м . Найдите объем конуса. 9. Длина образующей конуса равна е, а длина окруж- ности основания с. Найдите объем конуса. 10. Образующая конуса е составляет с плоскостью основания угол а. Найдите объем конуса. 11.
Стог сена имеет форму цилиндра с коническим верхом. Радиус его основания 2,5 м, высота 4 м, причем цилиндрическая часть стога имеет высоту 2,2 м. Плотность сена 0,03 г/см". Определите массу стога сена. 12. Жидкость, налитая в конический сосуд высотой 0,18 м и диаметром основания 0,24 м, переливается в цилиндрический сосуд, диаметр основания которого 0,1 м. Как высоко будет стоять уровень жидкости в сосуде? 13. Равносторонний треугольник вращается вокруг своей сто- роны а.
Найдите. объем полученного тела вращения. 14. Прямоугольный треугольник с катетами а и Ь вращается около гипотенузы. Найдите объем полученного тела (рис. 4ЯЯ). П 15в. Найдите объем усеченного конуса, у которого ра- диусы оснований В~ и Ве (Ве(В~), а высота Ь. 16. Сосновое бревно длиной 15,5 м имеет диаметры концов 42 см и 25 см.
Какую ошибку (в процентах) совершают„ когда вычисляют объем бревна, умножая его длину на площадь поперечного сечения в сере- дине бревна? 17. Радиусы оснований усеченного конуса В и г, образующая наклонена к плоскости основания под углом 45'. Найдите объем. 18. Площадь осевого сечения усеченного конуса равна разности площадей оснований, а радиусы оснований В и г. Найдите объем этого конуса. 19. Усеченный конус, у которого радиусы оснований 4 см и 22 см, и равковеликий цилиндр имеют одну и ту же высоту. Чему равен радиус основания Рнс. 49е этого цилиндра? 20. По данным радиусам оснований )7 и г определите отношение объемов усеченного конуса и полного конуса.
П 21. Чугунный шар регулятора имеет массу 10 кг. Найдите диаметр шара (плотность чугуна 7,2 г/ем~). 22. 'Гребуется переплавить в один шар два чугунных шара с диаметрами 25 см и 35 см. Найдите диаметр нового шара. 23. Имеется кусок свинца массой 1 кг. Сколько шариков диаметром 1 см можно отлить из куска (плотность свинца 11,4 г/смз)? 24. Из деревянного цилиндра, высота которого равна диаметру основания, выточен наибольший шар. Сколько процентов материала сточено? 25. Внешний диаметр полого шара 18 см. Толщина стенок 3 см. Найдите объем материала, из которого изготовлен шар. 26.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
