Учебник_Погорелов_1995 (991113), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Конус называется прямым, если прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости основания. В дальнейшем мы будем рассматривать только примой конус, называя его для краткости просто конусом. Наглядно прямой круговой конус можно представлять себе как тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг его катета как оси (рис. 443). Высотой конуса называетса перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания. У прямого конуса основание высоты совпадает с центром основания.
Осью прямого кругового конуса называется прямаи, содержащая его высоту. 333 у 20. Тела враиЕеиил Рис. 442 Рис. 443 1Я5. СЕЧЕНИЯ КОНУСА ПЛОСКОСТЯМИ. Сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину, представляет собой равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны являются образующими конуса (рис. 444). В частности, равнобедренным треугольником является осевое сечение конуса. Это сечение, которое проходит через ось конуса (рис. 44б).
Рис. 444 Рис. 443 324 11 класс Рис. 447 Рис. 446 Т е о р е м а 20.2. Плоскость„параллельная плоскости основания конуса, пересекает конус по крусу, а боковую поверхность — по окруясностк с с)внтрож нв оси конуса. Доказательство. Пусть р — плоскость, параллельная плоскости основания конуса и пересекающая конус (рис. 446). Преобразование гомотетии относительно вершины конуса, совмещающее плоскость р с плоскостью основания, совмещает сечение конуса плоскостью () с основанием конуса. Следовательно, сечение конуса плоскостью есть круг, а сечение боковой поверхности — окружность с центром на оси конуса. Теорема доказана.
Зада ча (15). Конус пересечен плоскостью, параллельной основанию, на расстоянии д от вершины. Найдите площадь сечения, если радиус основания конуса В, а высота Н. Р е ш е н и е. Сечение конуса .получается из основания конуса преобразованием гомотетии относительно вершины в конуса с козффициентом гомотетии Й= — .
Позтому ра- Н в диус круга в сечении г= —. Следовательно, площадь Н сечения Я=лй —. 2 а Н' Плоскость, параллельная основанию конуса и пересекаюшдя конус, отсекает от него меньший конус. Оставшаяся часть называется усеченным конусом (рис. 447). у 30. Тела вращения 1бб. ВПИСАННАЯ И ОПИСАННАЯ ПИРАМИДЫ Пирамидой, вписанной в конус, называется такая пирамида, основание которой есть многоугольник, вписанный в окружность основания конуса, а вершиной является вершина конуса (рис.
'448). Боковые ребра пирамиды, вписанной в конус, являются образующими конуса, Х Гне. 44З Гне. 44З 3 а д а ч а (25) У пирамиды все боковые ребра равны. Докажите, что она является вписанной в некоторый конус. Решение. Опустим перпендикуляр ЗО из вершины пирамиды на плоскость основания (рис. 449) и обозначим длину боковых ребер пирамиды через К Вершины основания удалены от точки О на одно и то же расстояние К =.ф~ — О8~. Отсюда следует, что наша пирамида вписана в конус, у которого вершиной является вершина пирамиды, а основанием — круг с центром О и радиусом ее. Касательной плоскостью к конусу называется плоскость, проходящая через образующую конуса и перпендикулярная плоскости осевого сечения, содержащей зту образующую (рис. 450). Пирамидой.
описанной около конуса, называется пирамида, у которой основанием служит многоугольник, описанный около 326 11 класс Рис. 4З1 Рис. 450 основания конуса, а вершина совпадает с вершиной конуса (рис. 451). Плоскости боковых граней описанной пирамиды являются касательными плоскостями конуса.
1В7. ШАР Шаром называется тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не большем данного, от данной точки. Эта точка называется центром шара, а данное расстояние радиусом шара. Граница шара называется шаровой поверхностью, или сферой. Таким образом, точками сферы являются все точки шара, которые удалены от центра на расстояние. равное радиусу. Любой отрезок, соединяющий центр шара с точкой шаровой поверхности, также называется радиусом.
Рис. 452 ззт г" го. Тела вращения Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящий через центр шара, называется диаметром. Концы любого диаметра называются диаметрально противоположными точками шара. Шар, так же как цилиндр и конус, является телом.вращения. Он получается при вращении полукруга вокруг его диаметра как оси (рис. 452). 488. СЕЧЕНИЕ ШАРА ПЛОСКОСТЬЮ Т е о р е м а 20.3. Всякое сечение ивара плоскостью есть круг. 44ентр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного иг е)витра шара на секуи4ую плоскость.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть а — секущая плоскость и О— центр шара (рис. 453). Опустим перпендикуляр из центра шара на плоскость а и обозначим через О' основание этого перпендикуляра. Рис. 453 Рис. 454 Пусть Х вЂ” произвольная точка шара, принадлежащая плоскости и. По теореме Пифагора ОХе=ОО'е+О'Хе. Так как ОХ не больше радиуса В шара, то О'Х~.~ — ОО', т.
е. ( — à — --.Л любая точка сечения шара плоскостью и находится от точки О' на расстоянии, не большем ТВе — ОО'-, следовательно, Р она принадлежит кругу с центром О и радиусом -~ — ОО . Обратно: любая точка Х этого круга принадлежит шару. А это значит, что сечение шара плоскостью и есть круг с центром в точке О'. Теорема доказана. Плоскость, проходящая через центр шара, называется диаметральной плоскостью. Сечение шара диаметральной плоскостью называется большим кругом (рис.
454), а сечение сферы — большой окружностью. 326 11 алвес Рис. 455 3 а д а ч а (30). Через середину радиуса шара проведена перпендикулярная ему плоскость. Как относится площадь полученного сечения к площади большого круга? Р е ш е н и е. Если радиус шара В (рис. 455), то радиус кРУга в сечении бУдет У В вЂ” ( — ) =В-У вЂ”. Отношение (Л)= 74' площади етого круга к площади большого круга равно 469.
СИММЕТРИЯ ШАРА Т е о р е м а 20.4. Любая диаметральная нлоскость шара является его плоскостью симметрии. Центр шара является его центром симметрии. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть а — диаметральная плоскость н Х вЂ” произвольная точка шара (рнс. 456). Построим точку Х', симметричную точке Х относительно плоскости а. Плоскость я перпендикулярна отрезку ХХ' и пересекаег- сз с ним в его середине (в точке А). Х Из равенства прямоугольных треугольников ОЯХ и ОАХ' следует,. что ОХ'=ОХ. Так как ОХ (В, то и ОХ'(В, т. е. точка, симметричная точке Х, принадлежит шару. Первое утверждение теоремы доказано.
Пусть теперь Х" — точка, симметричная точке Х относительно центра шара. Тогда ОХ" =ОХа В. т. е. точка Х" принадлежит шару. Раа 456 Теорема доказана полностью. е 20. Тела вращения 329 190. КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ К ШАРУ Плоскость, проходящая через точку А шаровой поверхности и перпендикулярная радиусу, проведенному в точку А, называется касательно6 плоскостью. Точка А называется точкой касания (рис. 457). Ряс. 487 Рив. 488 Т е о р е м а 20.5. Касательнояилоскость имеет с шароле только одну общую точку — точку касания. Д о к а за те л ь с те о. Пусть а — плоскость, касательная к шару, и А — точка касания (рис. 458).
Возьмем произвольную точку Х плоскости а, отличную от А. Так как ОА— перпендикуляр, а ОХ вЂ” наклонная, то ОХ ~ ОА =В. Следовательно, точка Х не принадлежит шару. Теорема доказана. Прямая в касательной плоскости шара, проходящая через точку касания, называется касательной к шару в этой точке. Так как касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку, то касательная прямая тоже имеет с шаром только одну общую точку — точку касания. Зад а ча (89). Шар радиуса В касается всех сторон правильного треугольника со стороной а. Найдите расстояние от центра шара до плоскости треугольника. Р е ш е н и е. Пусть А, В, С вЂ” точки касания шара со сторонами треугольника (рис.
459). Опустим из центра О шара перпендикуляр ОО1 на плоскость треугольника. Отрезки ОА, ОВ и ОС перпендикулярны сторонам. По теореме о трех перпендикулярах отрезки О~А, О~В и 01С тоже перпендикулярны соответствующим сторонам треугольника. ЗЗО 11 ааааа Из равенства прямоугольных треугольников ОО~А, ОО~В, ОО~С (у них катет общий, а гипотенузы равны радиусу) следует равенство сторон: О~А =О~В=О~С. Следовательно, О~ — центр окружности, вписанной в треугольник. Радиус этой окружности, как мы знаем, равен — . По теореме Пифагора а ~)з в находим искомое расстояние. Оно равно Рис.
459 191. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ДВУХ СЮЕР Т е о р е м а 20.6. Линия пересечения двух сфер есть окружностьь Дока з а тельство. Пусть О~ и Ос — центры сфер и А— нх точка пересечения (рис. 460). Проведем через точку А плоскость а, перпендикулярную прямой О~Он Обозначим через В точку пересечения плоскости и с прямой О~Он По теореме 20.3 плоскость сс пересекает обе сферы по окружности К с центром В, проходящей через точку А. Таким образом, окружность К принадлежит пересечению сфер. Покажем теперь, что сферы не имеют других точек пересечения, кроме точек окружности К. Допустим, точка Х пересечения сфер не лежит на окружности К. Проведем плоскость через точку Х и прямую О~Он Она пересечет сферы по окружностям с центрами О~ и Оа.
Этн окружности пересекаются в двух точках, принадлежащих окружности К, да еще в точке Х. ЕЕо две окружности не могут иметь больше двух точек пересечения. Мы пришли к противоречию. Итак, пересечение наших сфер есть окружность (К). Теорема доказана. 3 ад а ч а (44). Два равных шара радиуса В расположены так, что центр одного лежит на поверхности другого. Найдите длину линии, по которой пересекаются нх поверхности. Решение. Проведем сечение через центры шаров (рнс.
461). Линия, о которой идет речь в задаче, есть окружность (теорема 20.6). Ее радиус равен высоте равностороннего треугольника ОАО, со сторонами, равными В. Высота равна †. Следовательно, длина линии равна нсз ! 2 хВ х3. 1 ло. Уела вращеиил Рис. 461 Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
