Учебник_Погорелов_1995 (991113), страница 46
Текст из файла (страница 46)
// класс 26. Сколько плоскостей симметрии у прямоугольного параллелепипеда? 27. Что такое пирамида (основание пирамиды, боковые грани, ребра, высота)? 28. Что представляют собой сечения пирамиды плоскостями, проходящими через ее вершину? 29. Что такое диагональное сечение пирамиды? 30. Как построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через данную прямую в плоскости основания пирамиды и заданную точку на одной из боковых граней? 31. Докажите, что плоскость, пересекающая пирамиду и параллельная ее основанию, отсекает подобную пирамиду.
32. Объясните, что такое усеченная пирамида. 33. Какая пирамида называется правильной? Что такое ось правильной пирамиды? 34. Что такое апофема правильной пирамиды? 35. Докажите, что боковая поверхность правильной пирамиды равна произведению полупериметра основания на апофему, 36. Какой многогранник называется правильным? 37. Перечислите пять типов правильных многогранников и опишите их. ЗАДАЧИ П 1. Нз точек А и В, лежащих в гранях двугранного угла, опущены перпендикуляры АА ~ и ВВ~ на ребро угла.
Найдите: 1) отрезок АВ, если АА~ =а„ВВ~ — — Ь, А~В~=с и двугранный угол равен и; 2) двугранный угол а, если АА~ =3. ВВ| = 4, А В| =6, АВ=?. П 2. У трехгранного угла (аЬс) двугранный угол при ребре 167 с прямой, двугранный угол при ребре Ь равен ср, а плоский угол (Ьс) равен? ~~„?( — . Найдите два дру- 2 / гих плоских угла: сс= Л.(аЬ), р= а.(ас). 3. У трехгранного угла один плоский угол равен?, а прилежащие к нему двугранные углы равны ~( ср ~ — '1 . Найди- 2/ те два других плоских угла а и угол р, который образует плоскость угла ? с противолежащим ребром. 4*.
У трехгранного угла два плоских угла острые и равны а, а третий угол равен у. Найдите двугранные углы ср, противолежащие плоским углам я, и угол () между плоскостью? и противолежащим ребром. П 5. Докажите, что сечение призмы, параллельное основаниям, равно основаниям. 6.
Сколько диагоналей имеет л-угольная призма? з1з 1 29. Многогранники 70 7. Постройте сечение четырехугольной призмы плоско- П стью, проходящей через сторону основания и одну из вершин другого основания. 8. Постройте сечение четырехугольной призмы плоскостью, проходящей через три точки на боковых ребрах призмы. И' 9. У призмы одно боковое ребро перпендикулярно плос- кости основания. Докажите, что остальные боковые ребра тоже перпендикулярны плоскости основания.
10. В прямой треугольной призме стороны основания равны 10 см, 17 см и 21 см, а высота призмы 18 см. Найдите площадь сечения, проведенного через боковое ребро и меньшую высоту основания. 11. Боковое ребро наклонной призмы равно 15 см и наклонено к'плоскости основания под углом 30'. Найдите высоту призмы. 12*. В наклонной треугольной призме расстояния между боковыми ребрами равны 37 см, 13 см и 40 см.
Найдите расстояние между большей боковой гранью и противолежащим боковым ребром. 13. Основанием призмы является правильный шестиугольник со стороной а, боковые грани — квадраты. Найдите диагонали призмы и площади ее диагональных сечений. 14и. В правильной шестиугольной призме, у которой боковые грани — квадраты, проведите плоскость через сторону нижнего основания и противолежащую ей сторону верхнего основания. Сторона основания равна а. Найдите площадь построенного сечения (рис.
427). 15. Через сторону нижнего основания правильной треугольной призмы проведена плоскость, пересекающая боковые грани по отрезкам, угол между которыми ее. Найдите угол наклона втой плоскости к основанию призмы (рис. 428). 16. В правильной четырехугольной призме через середины двух смежных сторон основания проведеиа плоскость„ пересекающая три боковых ребра и наклоненная к плоско- Ег А л Рне. 427 Рне. 428 314 11 класс сти основания под углом а. Сторона основания равна а. Найдите площадь полученного сечения.
17. В правильной четырехугольной призме площадь основания 144 ем~, а высота 14 см. Найдите диагональ призмы. 18. В правильной четырехугольной призме площадь боковой грани равна Я. Найдите площадь диагонального сечения. 19*. Сторона основания правильной четырехугольной призмы равна 15, высота равна 20. Найдите кратчайшее расстояние от стороны основания до не пересекающей ее диагонали призмы (рис. 429). 20. В прямой треугольной призме все ребра равны. Боковая поверхность равна 12 м~.
Найдите высоту. 21. Боковая поверхность правильной четырехугольной призмы 32 м', а полная поверхность 40 м'. Найдите высоту. 22а. В наклонной призме проведено сечение, перпендикулярное боковым ребрам и пересекающее все боковые ребра. Найдите боковую поверхность призмы, если периметр сечения равен р, а боковые ребра равны ). 23. Расстояния между параллельными прямыми, содержащими боковые ребра наклонной треугольной призмы, равны 2 см, 3 см и 4 см, а боковые ребра 5 см. Найдите боковую поверхность призмы.
24. По стороне основания а и боковому ребру 'Ь найдите полную поверхность правильной призмы: 1) треугольной; 2) четырехугольной; 3) шестиугольной. 25. Плоскость, проходящая через сторону основания правильной треугольной призмы и середину противолежащего ребра, образует с основанием угол 45'. Сторона основания й Найдите боковую поверхность призмы. И 26.
У параллелепипеда три грани имеют площади 1 м~, 2-м' и 3 м'. Чему равна полная поверхность параллелепипеда? 27. Известны углы, образуемые ребрами параллелепипеда, сходящимися в одной вершине. Как найти углы между ребрами, сходящимися в любой другой вершине? 26. Докажите, что отрезок, соединяющий центры оснований параллелепипеда, параллелен боковым ребрам. 29. В прямом параллелепипеде стороны основания 6 м и 8 м образуют угол 30', боковое ребро равно 5 м. Найдите полную поверхность этого параллелепипеда.
30. В прямом параллелепипеде стороны основания 3 см и 8 см, угол между ними 60'. Боковая поверхность равна 220 см-. Найдите полную поверхность. 31. В прямом параллелепипеде стороны основания 3 см и 5 см, а одна из диагоналей основания 4 см. Найдите ббльшую диагональ параллелепипеда, зная, что меньшая диагональ образует с плоскостью основания угол 60'. Ф 19. Многограннини 32. Найдите диагонали прямого параллелепипеда, у которого каждое ребро равно а, а угол основания равен 60 . 33*. Боковое ребро прямого параллелепипеда 5 м, стороны основания 6 м и 8 м, а одна из диагоналей основания 12 м. Найдите диагонали параллелепипеда. 34.
В прямом параллелепипеде боковое ребро 1 м, стороны основания 23 дм и 11 дм, а диагонали основания относятоя как 2:3. Найдите площади диагональных сечений. И 174 36. Найдите диагонали прямоугольного параллелепи- педа по трем его измерениям: 1) 1, 2, 2; 2) 2, 3, 6; 31 6, 6, 7. 36*. Ребро куба равно а. Найдите расстояние от вершины куба до его диагонали, соединяющей две другие вершины.
37. В прямоугольном параллелепипеде стороны основания 7 дм и 24 дм, а выеота параллелепипеда 8 дм. Найдите площадь диагонального сечения. 38. Найдите поверхность прямоугольного параллелепипеда по трем его измерениям: 10 см, 22 см, 16 см. 39. Найдите боковую поверхность прямоугольного параллелепипеда, если его высота Ь, площадь основания ге, а площадь диагонального сечения М. 40. Диагонали трех граней прямоугольного параллелепипеда, сходящиеся в одной вершине, равны а, Ь, с. Найдите линейные размеры параллелепипеда (рие. 430). И 41.
Оенование пирамиды — равнобедренный треуголь- ник, у которого основание равно 12 см, а боковая сторона 10 см. Боковые грани образуют с оенованием равные двугранные углы, содержащие по 45'. Найдите высоту пирамиды. Рис. 429 Рис. 430 Зтв п з агг 42. Основание пирамиды — прямоугольник со сторонами 6 см и 8 см. Каждое боковое ребро пирамиды равно 13 см.
Вычислите высоту пирамиды. 43. Основанием пирамиды является правильный треугольник; одна из боковых граней перпендикулярна основанию, а две другие наклонены к нему под углом а, Как наклонены к плоскости основания боковые ребра? 44. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с гипотенузой а. Каждое боковое ребро образует с плоскостью основания угол 3. Найдите ее высоту. 45. Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Все двугранные углы при основании пирамиды равны 60'. Найдите высоту пирамиды.
46. Основание пирамиды — параллелограмм, у которого стороны 3 см и Ч см, а одна нз диагоналей 6 см; высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей, она равна 4 см. Найдите боковое ребро пирамиды. 47*. Основание пирамиды — ромб с диагоналями 6 м и 8 м; высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей ромба и равна 1 м. Найдите боковую поверхность пирамиды. 48. Основание пирамиды — равнобедренный треугольник со сторонами 40 см, 25 см и 25 см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
