Учебник_Погорелов_1995 (991113), страница 41
Текст из файла (страница 41)
а значит, плоскости а'. Итак, прямая а' лежит в плоскости а'. Точка Х при движении переходит в точку Х' прямой а', а значит, и плоскости а ° что и требовалось доказать. В пространстве, так же как и на плоскости, две фигуры на- зываются равными, если они совмещаются движением. 278 то класс (58. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС В ПРОСТРАНСТВЕ Параллельным переносом в пространстве называется такое преобразование, при котором произвольная точка (х; у; г) фигуры переходит в точку (х+а; у+ Ь; г+с), где числа а, Ь, с одни и те же для всех точек (х; у; г). Параллельный перенос в пространстве задается формулами х'=х+а, у'=у+Ь, г'=г+с, выражающими координаты х', у', г' точки, в которую переходит точка (х; у; г) при параллельном переносе.
Так же как и на плоскости, доказываются следующие свойства параллельного переноса: 1. Параллельный перенос есть движение. 2. При параллельном переносе точки смещаются по параллельным (или совпадающим) прямым на одно и то же расстояние. 3. При параллельном переносе каждая прямая переходит в параллельную ей прямую (или в себя). 4. Каковы бы ни были точки А и А', существует единственный параллельный перенос, при котором точка А переходит в точку А'. Задача (23). Найдите значения а, Ь, с в формулах параллельного переноса х'= х+а, у'=у+ Ь, г' =г+ с, если при етом параллельном переносе точка А (1; 0; 2) переходит в точку А' (2; 1; 0).
Р е ш е н и е. Подставляя в формулы параллельного переноса координаты точек А и А', т. е. х=1, у=О, г=2, х'= 2, у'= 1, г'= О, получим уравнения, из которых определяются а, Ь, с; 2=1+а, 1=0+Ь, 0=2+с. Отсюда а=1, Ь=1, с= — 2. Новым для параллельного переноса в пространстве является следующее свойство: б. При параллельном переносе в пространстве каждая плоскость переходит либо в себя, либо в параллельную ей плоскость. Рис. Ззз у 18. декартовы координаты и векторы в оростронстве Действительно, пусть а — произвольная плоскость (рис.
386). Проведем в этой плоскости две пересекающиеся прямые а и Ь. При параллельном переносе прямые а и Ь переходят либо в себя, либо в параллельные прямые а' и Ь'. Плоскость и переходит в некоторую плоскость а', проходящую через прямые а' и Ь'. Если плоскость а' не совпадает с а, то по теореме 16с4 она параллельна а, что и требовалось доказать. 15Р. ПОДОБИЕ ПРОСТРАНС1ВЕННЫХ ФИГУР Преобразование подобия в пространстве определяется так же, как и на плоскости.
А именно: преобразование фигуры Р называется преобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояния между точками изменяются в одно н то же число раз, т. е. 'для любых двух точек Х и Ъ фигуры Р и точек Х', 1" фигуры Р', в которые они переходят. Х'е'=Й-ХУ. Так же как и на плоскости, преобразование подобия в пространстве переводит прямые в прямые, полупрямые в полу- прямые, отрезки в отрезки и сохраняет углы между полупрямыми. Такими же рассуждениями, как в п. 167, доказывается, что преобразование подобия переводит плоскости в плоскости. Так же как и на плоскости, две фигуры называются подобными. если они переводятся одна в другую преобразованием подобия.
Простейшим преобразованием подобия в пространстве является гомотетия. Так же как и на плоскости, гомогегия относительно центра О с коэффициентом гомотетии Й вЂ” это преобразование, которое переводит произвольную точку Х в точку Х' луча ОХ, такую, что ОХ'=Й.ОХ. Преобразование горютгтии в пространстве переводит любую плоскость, не проходящую через центр гомотетии, в параллельную плоскость Гила в себя при Й= 1). Действительно, пусть Π— центр гомотетии и а — любая плоскость, не проходящая через точку О 0 (рис.
387). Возьмем любую прямую АВ в плоскости а. Преобразование гомотетии переводит точку А в точку А' на луче ОА, а точку В в точку В' на луче ОВ, причем ОА' ОВ' — =Й, — =Й, где Й вЂ” коэффи- ОА 'ОВ циент гомотетии. Отсюда следует подобие треугольников АОВ и А'ОВ'. Из подобия треугольников следует равенство соответственных углов ОАВ и ОА'В', а значит, параллельность прямых АВ и А'В'. Рнс. Зэт 280 10 класс Возьмем теперь другую прямую АС в плоскости а.
Она при гомотетии перейдет в параллельную прямую А'С'. При рассматриваемой гомотетии плоскость а перейдет в плоскость а", проходящую через прямые А'В', А'С'. Так как А'В'9АВ и А'С'1~АС, то по теореме 16А плоскости а и а' параллельны, что и требовалось доказать. 460. УГОЛ МЕЖДУ СКРЕЩИВАЮЩИМИСЯ ПРЯМЫМИ Две пересекающиеся прямые образуют смежные и вертикальные углы. Вертикальные углы равны, а смежные углы дополняют друг друга до 180'. Угловая мера меньшего из них называется углом между прямьсми.
Угол между перпендикулярными прямыми равен 90' по определению. Угол между параллельными прямыми считаем равным нулю. Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, которые параллельны данным скрещивающимся прямым. Этот угол не зависит от того, какие взяты пересекающиеся прямые. Докажем зто. Пусть а~ и Ь1 — пересекающиеся в точке А прямые, параллельные данным скрещивающимся прямым а и Ь (рис. 388). Пусть аг и Ьг — другие прямые, параллельные данным и пересекающиеся в точке В. По теореме 16.2 прямые а~ и аг параллельны (или совпадают) и прямые Ь| и Ьс параллельны (или совпадают). Выполним параллельный перенос, при котором точка А переходит в точку В.
Так как при параллельном переносе каждая прямая переходит либо в себя, либо в параллельную прямую, то указанный параллельный перенос переводит прямую а~ Рис. 389 Рис. 388 281 Г гз. Декартовы вооодиноты и вентогы в иооотоавотвв в прямую аг, а прямую Ь| в прямую Ьь Так как параллельный перенос сохраняет величину угла, то угол между прямыми а~ и Ь| равен углу между прямыми аг и Ь . А зто и требовалось доказать. По данному ранее определению перпендикулярными называются прямые, пересекающиеся под прямым углом. Однако иногда скрещивающиеся прямые тоже называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90'. 3 а д а ч з (33). Докажите„что любая прямая на плоскости, перпендикулярная проекции наклонной на эту плоскость,перпендикулярнаи наклонной.И обратно: если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.
Р е ш е н и е. Пусть А — перпендикуляр к плоскости а, АС вЂ” наклонная и с — прямая в плоскости а, перпендикулярная ВС (рис. 389). Проведем через основание С наклонной прямую с~ 'гс. По теореме о трех перпендикулярах с~ перпендикулярна наклонной АС. А так как угол между прямой с н наклонной АС равен углу между прямыми АС и сы то прямая с тоже перпендикулярна наклонной АС.
Обратно: если прямая с перпендикулярна наклонной АС, то прямая с| тоже перпендикулярна ей, а значит, по теореме о трех перпендикулярах и ее проекции ВС. Так как с)!сы то с (.ВС. 161. УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ Определим понятие угла между прямой и плоскостью. Пусть а — плоскость и а — пересекающая ее прямая, не перпендикулярная плоскости а (рис. 390). Основания перпендикуляров, опущенных из точек прямой а на плоскость а, лежат на прямой а'.
Эта прямая называется проекцией прямой а на плоскость а. Углом между прямой и плоскостью называется угол между этой прямой и ее проекцией на плоскость. Если прямая перпендикулярна плоскости, то угол считается равным 90". Если параллельна. то 0'. Так как прямая а, ее проекция а' на плоскость а и перпендикуляр к плоскости а в точке ее пересечения с прямой а лежат в одной плоскости, то угол между прямой и плоскостью дополняет до 90' угол между этой прямой и перпендикулярам к плоскости. Рис. 390 282 10 класс 1 3 а д а ч а (35).
Ч'очка А отстоит от плоскости на расстояние Ь. Найдите длины накйонных, проведенных из этой точки под следующими углами к плоскости: 1) 30; 2) 45'; 3) 60". Р е ш е н и е. Опустим перпендикуляр АА' на плоскость (рис. 391). 'Греугольник АА'В прямоугольный с прямым углом при вершине А'. Острый угол этого треугольника, противолежащий катету АА', равен 30' (соответственно 45'. 60'). Поэтому в первом случае наклонная АВ= —,= 2Ь, Во вто- АА' а1п ЗО' ром случае АВ=Ь ~Г2, в третьем АВ = —. 2а ,!з Рис.
391 162. УГОЛ МЕЖДУ ПЛОСКОСТЯМИ Определим понятие угла между плоскостями. Угол между параллельными плоскостями считается равным нулю. Пусть данные плоскости пересекаются. Проведем плоскость, перпендикулярную прямой их пересечения. Она пересекает данные плоскости по двум прямым. Угол между этими прямыми называется углом между дивными плоскостями (рис. 392). Определяемый так угол между плоскостями не зависит от выбора секущей плоскости. Докажем это. Пусть а и )1 — данные плоскости, пересекающиеся по прямой с.
Проведем плоскость у, перпендикулярную прямой с. Она пересечет плоскости и и 6 по прямым а и Ь. Угол между плоскостями а и () равен углу между прямыми а и Ь. Возьмем другую секущую плоскость у', перпендикулярную прямой с. Пусть а' и Ь' — прямые пересечения этой плоскости с плоскостями а и 6. Выполним параллельный перенос, при котором точка пересечения плоскости у с прямой с переходит в точку пересечения плоскости у' с прямой с. При этом по свойству параллельного переноса прямая о переходит в прямую а', а прямая Ь вЂ” в прямую Ь'. Это значит, что углы между прямыми а и Ь, а' и Ь' равны, что и требовалось доказать. В !В. Декартовы коороинаты и векторы в пространстве Рис. 393 Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
