Учебник_Погорелов_1995 (991113), страница 40
Текст из файла (страница 40)
57. Иэ 'вершин А и В острых углов прямоугольного треугольника АВС восставлены перпендикуляры АА~ и ВВ~ к плоскости треугольника. Найдите расстояние от вершины С до середины отрезка А ~Вь если А ~С = 4 м, А ~А =-. =3 м„В1С=6 м, В|В=-2 м и отрезок А|В| не пересекает плоскость треугольника. 58*. Докажите, что если прямая, лежащая в одной из двух перпендикулярных плоскостей, перпендикулярна линии нх пересечения, то она перпендикулярна и другой плоскости.
59. Из точек А и В, лежащих в двух перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры АС и ВР на прямую пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка АВ, если: 1) АС=6 м, ВР=7 м, СР=6 м; 2) АС=З м, ВР=4 м, СР=12 м; 3) АР= 4 и, ВС= 7 м, СР=1 м; 4) АР=ВС=5 м, СР=1 м; 5) АС=а, ВР=Ь, СР=с; 6) АР = а, ВС = Ь, СР = с. 60. Точка находится на расстояниях а и Ь от двух перпендикулярных плоскостей. Найдите расстояние от этой точки до прямой пересечения плоскостей (рис. 376). 61. Плоскости се и б перпендикулярны. В плоскости и взята точка А, расстояние от которой до прямой с (линии пересечения плоскостей) равно 0,5 м.
В плоскости б проведена прямая Ь, параллельная прямой с и отстоящая на 1,2 и от нее. Найдите расстояние от точки А до прямой Ь. 270 70 класс Рис. 377 Рис. 376 62. Перпендикулярные плоскости а и (7 пересекаются по прямой с. В плоскости и проведена прямая а!~с, в плоскости 8 — прямая Ь|!с. Найдите расстояние между прямыми а и Ь, если расстояние между прямыми а и с равно 1,б м, а между прямыми Ь и с — 0.8 м (рис.
377). $1В. ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ И ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ ТИ. ВВЕДЕНИЕ ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТ В ПРОСТРАНСТВЕ Возьмем три взаимно перпендикулярные прямые х, у, г, пересекающиеся в одной точке О (рис. 378). Проведем через каждую пару зтих прямых плоскость.
Плоскость, проходящая через прямые х и у„называется плоскостью ху. Две другие плоскости называются соответственно хг и уг. Прямые х, у, г называются координатными осами (или осями координат), точка их пересечения Π— начилом координат, а плоскости ху, рг и хг — координатными плоскостями.
Точка О разбивает каждую из осей координат на две полупрямые — полуоси, которые мы условимся называть положительной и отрицательной. Возьмем теперь произвольную точку А и проведем через нее плоскость, параллельную плоскости уг (рис. 379). Она пересекает ось х в некоторой точке А . Координатой х точки А будем называть число„равное по абсолютной величине длине отрезка ОА„: положительное, если точка А„лежит на положительной полуоси х, и отрицательное. если она лежит на отрицательной полуоси. Если точка А„совпадает с точкой О, то по- 1 18. Декартовы когагзккаты и векторы в аростракстве лагаем х= О. Аналогично определяются координаты у и г точки А. Координаты точки будем записывать в скобках рядом с буквенным обозначением точки: А (х; у; г).
Иногда будем обозначать точку просто ее координатами (х; у; г). Рис. 379 Рис. 378 г Задача (2). Даны точки А(1; 2; 3), В(0; 1; 2), С(0; 0; 3), )е(1; 2; 0). Какие из этих точек лежат: 1) в плоскости ху; 2) на оси г; 3) в плоскости угт Р е ш е н и е. У точек плоскости ху координата г равна нулю. Поэтому только точка 11 лежит в плоскости ху. У точек плоскости уг координата х равна нулю. Следовательно„точки В и С лежат в плоскости уг.
У точек на оси г две координаты (х и у) равны нулю. Поэтому только точка С лежит на оси г. Фар. РАСС7ОЯНИЕ МЕ)гЩУ 1ОЧКАМИ Выразим расстояние между дву- мя точками А ~ (хп уп г1) и Аг (хг' уг; гг) через координаты этих точек. Рассмотрим сначала случай, когда прямая А~Аг не параллельна оси г (рис. 330). Проведем через точки А~ и Аг прямые, параллельные оси г.
Они пересекут плоскость ху в точках А; и Аг. Эти 1( точки имеют те же координаты х, у, Рис. 380 что и точки А ь Аг, а координата г у них равна нулю. Проведем теперь плоскость через точку Аи параллельную плоскости ху. Она пересечет прямую А,А( в некоторой точке С. По теореме Пифагора А~А)=А~С +САгь Отрезки САр и А(А( равны, а А(АР ( ))+( г Длина отрезка А~С равна (г, — гт(.
Поатому А~А~3=(хг — х~)~-+(уд — у~)~+(г~ — г~)~. Если отрезок А~Ар параллелен оси г, то А1Аг=(г1 — гг(. Тот же результат дает и полученная формула, так как в этом случае х~ =хи у|=уз. Таким образом, расстояние между точками А~ и Аг вычисляется ио формуле А~Аг=-Дх2 — х~) +(ур — у|) +(г2 — г~)'. 3 а д а ч а (5). В плоскости ху найти точку Ю (х; у; 0), равноудаленную от трех точек: А (О; 1; — 1), В ( — 1; 0; 1), С(0; — 1; О). Решение. Имеем: А11' =(х — О)~+(у — 1)г+ (О+ 1)', ВО~=(х+ 1)'+(у — 0)т+(Π— 1)~, СЭ'=(х — О) +(у+1)~+(Π— 0)~. Приравнивая первые два расстояния третьему„получим два уравнения для определения х и у: — 4у+1=0, 2х — 2у+1=0.
Отсюда у = —, х= — †. Искомая точка О( — —; —; О) 1 1 1. 1 4 ' 4 4 4 154. КООРДИНАТЫ СЕРЕДИНЫ ОЧРЕЬКя Пусть А, (хп у,; г~) и Аг(хи ум гг) — две произвольные точки. Выразим координаты х, у, г середины С отрезка А~Аг через координаты его концов А ~ и Ар (рис. 381). Для этого проведем через точки Аь А2 и С прямые, параллельные оси г. Они пересекут плоскость ху в точках А( (х~, уп 0), А1 (х,; у,; 0) и С' (х; у," О). По теореме Фалеса точка С' является серединой отрезка А;АЕ, А мы знаем, что на плоскости ху координаты сере- У 18.
Декартовы координаты и векторы в преп ракетке дины отрезка выражаются через координаты его концов по формулам х~+х х = — '-' 2 Для того чтобы найти выражение для х, достаточно вместо плоскости ху взять плоскость хг или уг. При атом для з получается аналогичная формула: 3='— '+".
р„,. зш 2 1 1 3 а д а ч а (9). Докажите, что четырехугольник АВС11 с вершинами в точках А(1; 3; 2), В(0; 2; 4), С(1; 1; 4), Э (2; 2; 2) является параллелограммом. Р е ш е н и е. Как мы знаем, четырехугольник. у которого диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, есть параллелограмм. Воспользуемся этим для решения задачи, Координатами середины отрезка АС будут 2+1 2+4 у= — =2, г= — =3. 2 2 х= 1+1 =1, 2 Координатами середины отрезка ВВ будут х= =1, у= — =2, г= — =3.
О+2 2+2 4+2 2 ' 2 ' 2 Мы видим, что координаты середин отрезков АС и ВР одинаковы. Значит, эти отрезки пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, четырех- угольник АВС — параллелограмм. 155. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СИММЕТРИИ В ПРОСТРАНСТВЕ Понятие преобразования для фигур в пространстве определяется так же, как и на плоскости. Так же, как и на плоскости, определяются преобразования симметрии относительно точки и прямой. 274 20 класс х Кроме симметрий относительно точки и прямой в пространстве, рассматривают преобразование симметрии относительно плоскости. Зто преобразование состоит в следующем (рис.
382). Пусть а— произвольная фиксированная плоскость. Из точки Х фигуры опускаем перпендикуляр ХА на плоскость а и на его продолжении за точку А откладываем отрезок АХ', равный ХА. Точка Х' называется симмстРис. 382 ричной точке Х относительно плос- кости а, а преобразование, которое переводит точку Х в симметричную ей точку Х', называется преобразованием симметрии отпноситпельно плоскости и. Если точка Х лежит в плоскости а, то считается, что точка Х переходит в себя. Если преобразование симметрии относительно плоскости а переводит фигуру в себя, то фигура называется симметричной относительно плоскости а, а плоскость а называется плоскостью симметрии этой фигуры.
Задача (17). Даны точки (1; 2; 3), (О; — 1: 2), (1; О; — 3). Найдите точки, симметричные данным относительно координатных плоскостей. Решение. Точка, симметричная точке (1; 2; 3) относительно плоскости ху, лежит на прямой, перпендикулярной плоскости ху. Поэтому у нее те же координаты х и у: х= 1, у =-2. Симметричная точка находится на том же расстоянии от плоскости ху, но по другую сторону от нее, Поэтому координата г у нее отличается только знаком, т. е. г'= — 3. Итак, точкой, симметричной точке (1; 2; 3) относительно плоскости ху, будет (1, "2; — 3). Для других точек и других координатных плоскостей решение аналогично.
156. СИММЕТРИЯ В ПРИРОДЕ И НА ПРАКТИКЕ Симметрия широко распространена в природе. Ее можно наблюдать в форме листьев и цветов растений, в расположении различных органов животных, в форме кристаллических тел (рис. 383). Симметрия широко используется на практике, в строительстве и технике (рис. 384).
У 18. Декартовы координаты и векторы в пространстве Рис Е 18. Декартовы координаты и векторы в ароетракетве 15У. ДВИЖЕНИЕ В ПРОСТРАНСТВЕ Движение в пространстве определяется так же, как и на плоскости. А именно: движением называется преобразование, при котором сохраняются расстояния между точками. Дословно так же, как и для движения на плоскости, доказывается, что при движении в пространстве прямые переходят в прямые, полупрямые — в полупрямые, отрезки — в отрезки и сохраняются углы между полупрямыми. Новым свойством движения в пространстве является то, что движение переводит плоскости в плоскости. Докажем зто свойство. Пусть а — произвольная плоскость (рис. 385).
Отметим на ней любые три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой. При движении они перейдут в три точки А', В', С', также не лежащие на одной прямой. Проведем через них плоскость а'. Докажем. что при рассматриваемом движении плоскость а переходит в плоскость а'. Рие. 385 Пусть Х вЂ” произвольная точка плоскости а. Проведем через нее какую-нибудь прямую а в плоскости а, пересекающую треугольник АВС в двух точках у и Я. Прямая а перейдет при движении в некоторую прямую а'. Точки У и В прямой а перейдут в точки У' и Л", принадлежащие треугольнику А'В'С'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
