Учебник_Погорелов_1995 (991113), страница 36
Текст из файла (страница 36)
334 Рис. 333 а и Ь вЂ” пересекающие их параллельные прямые, Аь А. и В„  — точки пересечения прямых с плоскостями (рис. 33б). Проведем через прямые а и Ь плоскость. Она пересекает плоскости п1 и ат по параллельным прямым А ~В~ и А В . Четырехугольник А ~В~В2А — параллелограмм, так как у него противолежащие стороны параллельны. А у параллелограмма противолежащие стороны равны. Значит, А~Ат.=-В~Вь что и требовалось доказать. 142. ИЗОБРАЖЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФИГУР НА ПЛОСКОСТИ Для изображения пространственных фигур на плоскости обычно пользуются параллельным проектированием.
Этот способ изображения фигуры состоит в следующем. Берем произвольную прямую Ь, пересекающую плоскость чертежа сс, проводим через произвольную точку А фигуры прямую, параллельную Ь. Точка А1 пересечения этой прямой с плоскостью чертежа будет изображением точки А (рис. 336). Построив таким образом изображение каждой точки фигуры, получим изображение самой фигу- Л ры. Такой способ изображения пространственной фигуры на плоскости соответствует зрительному восприятию фигуры при рассмат- г ривании ее издали. Отметим некоторые свойства изображения фигуры ка плос- 04 кости, вытекающие из описанного ее построения. Рис.
336 тйз 10 класс Е Прямолинейные отрезки фигу- ры изображаются на плоскости Н чертежа отрезками (рис. 337). Действительно, все прямые, проектирующие точки отрезка АС, лежат в одной плоскости, пересекающей плоскость чертежа а по прямой АСи Произвольная точка В отрезка АС изображается точкой В~ отрезка А|Со У Замечание. В только что до- казанном свойстве и далее пред- О( полагается, конечно, что проектируыеые отрезки не параллельны Рис. ЗЗТ направлению проектирования. Параллельные отрезки фигуры изображаются на плоскости чертежа параллельными отрез- (р .
333). Действительно, пусть АС и А'С' — параллельные отрезки фигуры. Прямые А~С~ и А(С1( параллельны, так как они получаются при пересечении параллельных плоскостей с плоскостью а. Первая из этих плоскостей проходит через прямые АС и ААь а вторая — через прямые А'С' и.А'А;. Отношение отрезков одной прямой или параялеяъных прямых сохраняется при параллеяъном проектировании.
Покажем, например, что (рис. 339) АВ А~В~ ВС ВС, Проведем через точку В прямую АсСи параллельную А,Сь Треугольники ВААс и ВССг подобны. Из подобия треугольников и равенств А ~В~ =АсВ и В~С| = ВСс следует пропорция (с). Я Я Рис. 339 Рис. 333 ф 16.
Параллельность поллсих и плоскостей 3 а д а ч а (3?). Дана параллельная проекция треугольника, Как построить проекции медиан этого треугольника? Р е ш е н и е. При параллельном проектировании сохраняется отношение отрезков прямой. Поэтому середина стороны треугольника проектируется в середину проекции этой стороны. Следовательно, проекции медиан треугольника будут медианами его проекции. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Какие прямые в пространстве называются параллель- ными? 2. Какие прямые называются скрещивающимися? 3.
Докажите, что через точку вне данной прямой можно провести прямую, параллельную этой прямой, и притом только одну. 4. Докажите признак параллельности прямых. 5. Что значит; прямая и плоскость параллельны? 6. Докажите признак параллельности прямой и плоскости. 7. Какие плоскости называются параллельными? 8.
Докажите признак параллельности плоскостей. 9. Докажите, что через точку вне данной плоскости можно , провести плоскость, параллельную данной, и притом толь- ко одну. 10. Докажите, что если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны.' 11. Докажите, что отрезки параллельных прямых, заключен- ные между двумя параллельными плоскостями, равны. 12. Перечислите свойства параллельного проектирования. ЗАДАЧИ 1. Докажите, что если прямые АВ и СВ скрещиваю- П щиеся,то прямые АС и ВП тоже скрещиваются. 2.
Можно ли через точку С, не принадлежащую скрещивающимся прямым а и Ь, провести две различные прямые, каждая из которых пересекает прямые а и Ь? Объясните ответ. 3. Докажите, что все прямые, пересекающие две данные па- раллельные прямые, лежат в одной плоскости. 4. Прямые а и Ь пересекаются. Докажите, что все прямые, параллельные прямой Ь и пересекающие прямую а, лежат в одной плоскости. В4З 10 класс Рис. 340 Рис. З41 5.
Через концы отрезка АВ и его середину М проведены параллельные прямые, пересекающие некоторую плоскость в точках Аь В~ и Мь Найдите длину отрезка ММь если отрезок АВ не пересекает плоскость (рис. 340) и если: 1) АА~ =5 м, ВВ,=7 м; 2) АА~=3 6 дм, ВВ~ =4 8 дм; 3) АА~ =8,3 см, ВВ~ =4,1 см; 4) АА~ =а, ВВ~ =Ь. 6*.Решите задачу 5, если АВ пересекает плоскость. 7. Через конец А отрезка АВ проведена плоскость. Через конец В и точку С зтого отрезка проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость в точках В~ и С ь Найдите длину отрезка ВВ, если: 1) СС~=15 см, АС:ВС=2:3; 2) СС~ — — 8,1 см„АВ:АС=11:9; 3) АВ=6 см, АС:СС~ = =2:5: 4) АС=а, ВС=Ь, СС~ =с.
П 8*. Даны параллелограмм АВС1) и не пересекающая его плоскость. Через вершины параллелограмма проведены параллельные прямые, пересекающие данную плоскость в точках А ь Во Сь О~ (рис. 341). Найдите длину отрезка ВВь если: Ц АА1=2 м, ВВ~ — — 3 м, СС~=8 м; 2) АА,=4 м, ВВ,=З м, СС,=1 м; 3) АА,=а, ВВ,=Ь, СС = . 9. Прямые а н Ь не лежат в одной плоскости. Можно ли провести прямую с, параллельную прямым а и Ь. ? 10. 'Уочки А, В, С, .0 не лежат в одной плоскости. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков АВ и ВС, параллельна прямой, проходящей через середины отрезков АВ и С1).
11. Докажите, что серйдины сторон пространственного четыре хугольника являются вершинами параллелограмма (ве шины пространственного четырехугольника не лежат верши в одной плоскости). 12а. Даны четыре точки А, В, С, лл, не лежащие в одной плос- кости. Докажите, что прямые, соединяющие середины от- 1 16.
Параллельнасеь арамыл и алосисстеа резкое АВ и СР. АС н ВР, АР и ВС, пересекаются в одной точке. 13. Дан треугольник АВС. Плоскость, параллельная прямой АВ, пересекает сторону АС этого треугольника в точке Аы а сторону ВС вЂ” в точке Вы Найдите длину отрезка А Вы если: 1) АВ=15 см. АА|.'АС=2:3; 2) АВ=-8 см, АА|.А~С=5:3; 3) В;С=10 см, АВ:ВС=-4:5; 4) АА~=а, АВ=5, А~С=с. 14.
Через данную точку проведите прямую, параллельную каждой из двух данных пересекающихся плоскостей. П 15. Докажите, что плоскость, пересекающая одну из двух параллельных прямых, пересекает и другую. 16. Докажите, что через любую из двух скрещивающихся прямых можно провести плоскость, параллельную другой прямой. 17. Докажите, что если две плоскости, пересекающиеся по прямой а, пересекают плоскость а по параллельным прямым, то прямая а параллельна плоскости я (рис.
342). П 18. Докажите, что прямая, пересекающая одну из двух параллельных плоскостей, пересекает и другую. 19. Докажите, что через две скрещивающиеся прямые можно провести параллельные плоскости. 20. Через данную точку пространства проведите прямую, пересекающую каждую из двух скрещивающихся прямых (рис. 343). Всегда ли это возмозкно? 21а.
Докажите, что геометрическое место середин отрезков с концами на двух скрещивающихся прямых есть плоскость, параллельная этим прямым (рис. 344). 22. Даны четыре точки А, В, С и Р, не лежащие в одной плоскости. Докажите, что любая плоскость, параллельная прямым .АВ и СР, пересекает прямые АС, АР, ВР и ВС в . вершинах параллелограмма (рис.
345). Рис. 343 350 тд класс Рис. 344 Рис. 343 23. Плоскости сс и 6 параллельны плоскости у. Могут ли Н 140 плоскости а и р пересекаться' ? 24. Плоскости и и р пересекаются. Докажите, что любая плоскость у пересекает хотя бы одну из плоскостей и, ~). 25. Докажите, что все прямые, проходящие через данную точку параллельно данной плоскости, лежат в одной плос'кости. 26, Через данную точку проведите плоскость, параллельную каждой из двух пересекающихся прямых.
Всегда ли это возможно? П 27. Параллелограммы АВСВ и АВС~Й~ лежат в разных 14 ' плоскостях. Докажите, что четырехугольник С?)й,С, тоже параллелограмм (рис. 346). 28. Через вершины параллелограмма АВС)), лежащего в од- Рис. 347 Рис. 346 й 16. Параллельность Прлмын и плоскостей ной из двух параллельных плоскостей, проведены параллельные прямые, пересекающие вторую плоскость в точках Аы Вы Сы Вы Докажите, что четырехугольник А ~В1С~В~ тоже параллелограмм. Через вершины треугольника АВС, лежащего в одной из двух параллельных плоскостей. проведены параллельные прямые, пересекающие вторую плоскость в точках А,, Вь Сы Докажите равенство треугольников АВС и А,В,С,. Три прямые, проходящие через одну точку, пересекают данную плоскость в точках А, В, С, а параллельную ей плоскость в точках А.
Вь Сы Докажите подобие треугольников АВС и А~В~С~ (рис. 347). Докажите, что если четыре прямые, проходящие через точку А, пересекают плоскость и в вершинах параллелограмма, то они пересекают любую плоскость, параллельную к и не проходящую через точку А, тоже в вершинах параллелограмма (рис. 348). 30. 31. Рис. 348 Рис.
349 Даны две параллельные плоскости. Через точки А и В одной из плоскостей проведены параллельные прямые, пересекающие вторую плоскость в точках А ~ и Вы Чему равен отрезок А~Вы если АВ=а'? 32 лежащая ни в одной из этих плоскостей. Через точку А проведена произвольная прямая. Пусть Х~ и Х вЂ” точки пересечения ее с плоскостями м~ и к . Докажите, что отношение длин отрезков АХ1 .'АХ. не зависит от взятой прямой.
34". Точка А лежит вне плоскости к, Х вЂ” произвольная точ ка плоскости к, Х' — точка отрезка АХ, делящая его в от- ношении и:л. Докажите, что геометрическое место то- чек Х' есть плоскость, параллельная плоскости к. 35", Даны три параллельные плоскости пы и, по Пусть Х, Х, Х, — точки пересечения этих плоскостей с произвольной прямой. Докажите, что отношение длин отрезков 33". Даны две параллельные плоскости к1 и я и точка А, не 252 40 класс Х|Хс'. ХтХз не зависит от прямой, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
