Учебник_Погорелов_1995 (991113), страница 34
Текст из файла (страница 34)
1Х. На плоскости через данную точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной. Для удобства изложения напомним аксиому 1. 1. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей. Через любые две точки можно провести прямую, и только одну. 1 13. Аксиомы стереометрии и ик простейшие сзействив 131. СУЩЕСТВОВАНИЕ ПЛОСКОСТИ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ДАННУЮ ПРЯМУЮ И ДАННУЮ ТОЧКУ Т е о р е м а 15.1. Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну.
Дока з а тельство. Пусть А — данная прямая и С— не лежащая на ней точка (рис. 312), Проведем через точки А и С прямую (аксиома 1). Прямые АВ и АС различны, так как точка С не лежит на прямой АВ. Проведем через прямые АВ и АС плоскость а (аксиома С~). Она проходит через прямую АВ и точку С. Докажем, что плоскость а, проходящая через прямую АВ и точку С, единственна. Допустим, существует другая плоскость а', проходящая через прямую АВ и точку С. По аксиоме Сз плоскости а и а' пересекаются по прямой. Эта прямая должна содержать точки А, В, С.
Но они не лежат на одной прямой. Мы пришли к прот тиворечию. Теорема доказана. Рис. 313 Рвс. 312 3 а д з ч а (7). Докажите, что через прямую можно провести две различные плоскости. Ре ш ение. Пусть а — данная прямая (рис. 313). По аксиоме 1 существует точка А, не лежащая на прямой а. По теореме 15.1 через прямую а и точку А можно провести плоскость, обозначим ее аь По аксиоме С~ существует точка В, не лежащая в плоскости ссп Проведем через прямую а н точку В плоскость ат. Плоскости а~ и ат различны, так как точка В плоскости ат не лежит на плоскости аь 334 10 нласс 132. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ С ПЛОСКОСТЬЮ Те о р е ма 15.2.
Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости. Доказательство. Пусть а — данная прямая и а — данная плоскость (рис. 314). По аксиоме 1 существует точка А, не лежащая Рис. 314 на прямой а. Проведем через пря- мую а и точку А плоскость а'. Если плоскость я' совпадает с а, то плоскость а содержит прямую а, что и утверждается теоремой. Если плоскость а' отлична от а, то зти плоскости пересекаются по прямой а', содержащей две точки прямой а.
По аксиоме 1 прямая а' совпадает с а, и, следовательно, прямая а лежит в плоскости сс. Теорема доказана. Из теоремы 15.2 следует, что плоскость и не лежащая на ней прямая либо не пересекаются, либо пересекаются в одной точке 1рнс. 315). а) Рис. 313 3 а д а ч а 19). Даны две различные прямые, пересекающиеся в точке А. Докажите, что все прямые, пересекающие обе данные прямые и не проходящие через точку А, лежат в одной плоскости. Рис.
313 З ЗБ. Аисиомш стереоиетрии и их простейшие следствии Решение. Проведем через данные прямые а и Ь плоскость и (рис. 316). Это можно сделать по аксиоме Си Прямая с, пересекающая данные прямые, имеет с плоскостью и две общие точки )т1 и Ф (точки пересечения с данными прямыми). По теореме 15.2 эта прямая должна лежать в плоскости и. (33. СУЩЕСТВОВАНИЕ ПЛОСКОСТИ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ТРИ ДАННЫЕ ТОЧКИ Т е о р е м а 15.3.
Через три точки, нс лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну. Д о к аз а тел ь ство. Пусть А, В, С вЂ” три данные точки, не лежащие на одной прямой (рис. 317). Проведем прямые АВ и АС; они различны, так как точки А, В, С не лежат на одной прямой. По аксиоме Сз через прямые АВ и АС можно провести плоскость п. Эта плоскость содержит точки А, В, С. Докажем, что плоскость а, проходящая через точки А, В, С, единственна. Действительно, плоскость, проходящая через точки А, В, С, по теореме 15.2 содержит прямые АВ и АС.
А по аксиоме Сз такая плоскость единственна. Рис. 317 Э а д а ч а (13). Можно ли провести плоскость через три точки, если они лежат на одной прямой? Объясните ответ. Решение. Пусть А, В, С вЂ” три точки, лежащие на прямой а. Возьмем точку 11, не лежащую на прямой а (аксиома 1). Через точки А, „Рможно провести плоскость (теорема 15.3). Эта плоскость содержит две точки прямой а — точки А и В, а значит, содержит и точку С этой прямой (теорема 15.2).
Следовательно, через три точки, лежащие на одной прямой, всегда можно провести плоскость. 236 л 0 класс 134. ЗАМЕЧАНИЕ К АКСИОМЕ 1 Аксиома 1 в списке аксиом стереометрии приобретает новый смысл по сравнению с тем, который она имела в планиметрии. В планиметрии эта аксиома утверждает существование точек вне данной прямой на плоскости, в которой лежит прямая. Именно в таком смысле зта аксиома применялась нами при построении геометрии на плоскости. Теперь эта аксиома утверждает вообще существование точек, не лежащих на данной прямой. Из нее непосредственно не следует, что существуют точки вне данной прямой на плоскости, в которой лежит прямая.
Это требует специального доказательства. Дадим такое доказательство. Пусть я — плоскость и а — прямая в этой плоскости (рис. 818). Докажем существование точек в плоскости я, не лежащих на прямой а. Отметим точку А на прямой и У и точку А' вне плоскости я. Про- ведем плоскость я' череа пряй мую а и точку А'. Возьмем точку В вне плоскости я' и проведем через прямую АА' и точку В плоскость 8. / Плоскости я и б пересекаются по прямой Ь, проходящей через точку А и отличной от прямой а. П Ы Точки этой прямой, отличные от А, лежат в плоскости я вне прямой а, Рис.
318 что и требовалось доказать. 135. РАЗБИЕНИЕ ПРОСТРАНСТВА ПЛОСКОСТЬЮ НА ДВА ПОЛУПРОСТРАНСТВА Т е о р е м а 15.4. Плоскость разбивает пространство на два полупространства. Если точки Х и У принадлежат одному полупространству, то отрезок ХУ не пересекает плоскость. Если же точки Х и У принадлежат разным полупространствам, то отрезок ХУ пересекает плоскость. Доказательство (не для запоминания). Пусть с.— данная плоскость. Отметим точку А, не лежащую в плоскости я.
Такая точка существует по аксиоме Сь Разобьем все точки пространства, не лежащие в плоскости а, на два полупространства следующим образом. Точку Х отнесем к первому полу- пространству, если отрезок АХ не пересекает плоскость я, и ко второму полупространству, если отрезок АХ пересекает плоскость я. Покажем, что это разбиение пространства обладает свойствами, указанными в теореме. я 15. Япсиомы ссереометрии и ия пРостейшие сяедствия Пусть точки Х и У принадлежат первому полупространству. Проведем через точки А, Х и У плоскость и'.
Если плоскость сс' не пересекает плоскость а, то отрезок ХУ тоже не пересекает эту плоскость. Допустим, что плоскость а' пересекает плоскость а. (рис. 319). Так как плоскости различны, то их пересечение происходит по некоторой прямой а. Прямая а разбивает плоскость а' на две полуплоскости. 'Гочки Х и У принадлежат одной полуплоскости, именно той, в которой лежит точка А. Поэтому отрезок ХУ не пересекает прямую а, а значит, и плоскость а. Если точки Х и У принадлежат второму полупространству, то плоскость а' заведомо пересекает плоскость а, так как отрезок АХ пересекает плоскость а.. Точки Х и 1' принадлежат одной полуплоскости разбиения плоскости а' прямой а. Следовательно, отрезок ХУ не пересекает прямую а, а значит, и плоскость а.
Если, наконец, точка Х принадлежит одному полупространству, а точка У вЂ” другому, то плоскость а' пересекает плоскость а, а точки Х и У лежат в разных полуплоскостях плоскости а' относительно прямой а. Поэтому отрезок ХУ пересекает прямую а, а значит, и плоскость а. 'Георема доказана. 9 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1, Что такое стереометрия7 2. Сформулируйте аксиомы группы С. 3.
Докажите, что через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну. 4. Докажите, что если две точки прямой принадлежат плос- кости, то вся прямая принадлежит плоскости. б. Докажите, что через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.
ЗАДАЧИ П 1. 'Гочки А, В, С и В не лежат в одной плоскости. До- кажите, что прямые АВ и СВ не пересекаются. 2. Можно ли через точку пересечения двух данных прямых провести третью прямую, не лежащую с ними в одной плоскости? Объясните ответ. 3. Точки А, В, С лежат в каждой из двух различных плос- костей. Докажите, что эти точки лежат на одной прямой. 333 10 исасс Рис. 320 Рис.
321 4. Даны три различные попарно пересекающиеся плоскости. Докажите, что если две из прямых пересечения этих плоскостей пересекаются, то третья прямая проходит через точку их пересечения (рнс. 320). 5. Даны две плоскости, пересекающиеся по прямой а, н прямая Ь, которая лежит в одной из этих плоскостей и пересекает другую. Докажите, что прямые а и Ь пересекаются.
И 6. Четыре точки не лежат з одной плоскости. Могут ли какие-нибудь три из них лежать на одной прямой? Объясните ответ. 7. Докажите, что через прямую можно провести две различ- ные плоскости. 8с. Даны две непересекающиеся плоскости, Докажите, что прямая, пересекающая одну из этих плоскостей, пересекает и другую (рис. 321). П* 9. Даны две различные прямые, пересекающиеся в точ- ке А. Докажите, что все прямые, пересекающие обе данные прямые и не проходящие через точку А, лежат в одной плоскости. 10. Докажите, что все прямые, пересекающие данную прямую и проходящие через данную точку вне прямой, лежат в одной плоскости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
