Учебник_Погорелов_1995 (991113), страница 29
Текст из файла (страница 29)
289 Рие. 288 Рассмотрим сначала угол ~5~ ж42'. По нему находим третий угол 7~ =180" — о — р 108' и по теореме синусов третью сторону с = т -6- -6. -' — ж11 4. а аш, а1п 108' 0,981 аы 80" 0,500 Аналогично по углу ))а ж 138' находим уа 12' и са — 2,49. 3 а м е ч а н и е. Мы видим, что эта задача в отличие от предыдущих имеет два решения (рис.
269). При других численных данных, например при о,~~90', задача может иметь лишь одно решение или вовсе не иметь решений. Задача (29). 1) Даны три стороны треугольника: а=2, 8=3, с=4. Найдите его углы. Решение. Углы находятся по теореме косинусов: Ье+еа-- ' соза= ' =-7-=0,875, откуда г«=29'. 2Ьс 8 Аналогично находится соз 6 = 0,688, откуда 6 ж 47' и 7 180' — 47' — 29' = 104'. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 9 и 1. Докажите теорему косинусов. 2. Докажите, что квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов других двух сторон « ~ а удвоенное произведение одной из этих сторон на проекцию другой.
От чего зависит знак «+» илн « — а? 3. Докажите теорему синусов. 4. Докажите, что в любом треугольнике против большей стороны лежит больший угол и против большего угла лежит большая сторона. 198 З класс ЗАДАЧИ 1. Стороны треугольника 5 м, 6 м. 7 м. Найдите коси- И нусы углов треугольника. 2. У треугольника две стороны равны 5 м и 6 м, а синус угла между ними равен 0,6. Найдите третью сторону. 3. Стороны треугольника равны а, Ь, с. Докажите, что если а +Ьа)с~, то угол, противолежащий стороне с, острый. Если па+ Ьск сс, то угол, противолежащий стороне с, тупой.
4. Даны диагонали параллелограмма с и д и угол между ними к. Найдите стороны параллелограмма. 5. Даны стороны параллелограмма а и Ь и один из углов я. Найдите диагонали параллелограмма. 6. Стороны треугольника 4 м, 5 м и 6 м. Найдите проекции сторон 4 м и 5 м на прямую, содержащую сторону 6 и. 7. Даны стороны треугольника а, Ь, с.
Найдите высоту треугольника, опущенную на сторону с. 8. Найдите высоты треугольника в задаче 1. 9. Найдите медианы треугольника в задаче 1. 10». Найдите биссектрисы треугольника в задаче 1. 11*. Как изменяется сторона АВ треугольника АВС, если угол С возрастает, а длины сторон АС и ВС остаются без изменений (рис. 270)? П 12. У треугольника АВС АВ=15 см, АС=-10 см. Мо- 110 жет ли зш () = — ? 4 13. Докажите, что в теореме синусов каждое из трех отноше- а Ь с ний —, —, — равно 2В„где  — радиус окруж- 88па »ШЬ 8811 ности, описанной около треугольника.
14. Как найти радиус окружности, описанной около треугольника, зная его стороны? Найдите радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами 5 и, 6 и, 7 и. 15. Объясните, как найти расстояние от точки А до недоступ- ной точки В (рис. 271), зная расстояние АС и углы сс и р.
16. Объясните, как найти высоту х здания (рис. 272) по углам а и р и расстоянию а. П 17. Докажите, что если в треугольнике есть тупой угол, то противолежащая ему сторона наибольшая. 18. В треугольнике АВС а' А=40,,~ В=60",,с' С=80'. Какая из сторон треугольника наибольшая, какая — наименьшая? 19. У треугольника АВС стороны АВ=5,1 и, ВС=6,2 м, АС=7,3 и. Какой из углов треугольника наибольший, какой — наименьший? У 12. Решеиие треугслъиииое Рис. 270 Рис. 271 Рис.
272 20. 'Что больше — основание или боковая сторона равнобедренного треугольника, если прилежащий к основанию угол больше 60'? 21. У треугольника АВС угол С тупой. Докажите, что если точка Х лежит на стороне АС, то ВХ(АВ. 22. У треугольника АВС угол С тупой. Докажите, что если точка Х лежит на стороне АС, а точка У вЂ” на стороне ВС, то ХУ<АВ. 23.
На стороне АВ треугольника АВС отмечена точка Ю. Докажите, что отрезок СВ меньше по крайней мере одной из сторон: АС или ВС. 200 З класс 24*. Дан треугольник АВС. СР— медиана, проведенная к стороне АВ. Докажите, что если АС. ВС, то угол АСР меньше угла ВСР. 25*. Докажите, что биссектриса треугольника не меньше высоты и не больше медианы, проведенных из этой же вершины. И 26. Даны сторона и два угла треугольника. Найдите третий угол и остальные две стороны, если: 1) а=5, 5=30, 7=4б; 2) а=20, а=75=, 3=60; 3) а=35, 3=40, 7=120', 4) 5=12, а=36', 3=25; 5) с=14, а=64', ))=48'. 27. Даны две стороны и угол между ними. Найдите остальные два угла и третью сторону, если: 1) а=12, Ь=8, 7=60', 2) а=7, Ь=23, 7=130'; 3) Ь=9, с=17, а=95', 4) Ь=14, с=10, а=145"; 5) 0=32, с=23, 6=152", 6) а=24, с=18, ))=15'.
28. В треугольнике заданы две стороны и угол, противолежащий одной из сторон. Найдите остальные углы и сторону треугольника, если: 1) и=12. Ь=б. а=120; 2) а=27, Ь=9, а=138", 3) а=34, Ь=12, а=164", 4) а=2, Ь=4, а=60', 5) а=б, Ь=8, а=30". 29. Даны три стороны треугольника. Найдите его углы, если: 1) а=2, Ь=б, с=4; 2) 0=7, Ь=2.
с=8; 3) а=4, Ь=б, с=7; 4) о=15, Ь 24, с=18; 5) а=23, Ь=17, с=39; 6) а=б5, Ь=21, с=38. $13. МНОГОУГОЛЬНИКИ 113. ЛОМАНАЯ Ломаной А|А;А ~ ... А„называется фигура, которая состоит из точек Ан Аи -' А„и соединяющих их отрезков А,Аз, А,Аз, ..., А„.,А„. Точки Ао Аь ..., Ал называются вершинами ломаной, а отрезки А,Ас, АсАз, ..., А„~А, — звеньями ло- з 13. Миигауюлииики Риа 273 меной. Ломаная называется простой, если она не имеет самопересечений. На рисунке 273, а показана простая ломаная, а на рисунке 273, б — ломаная с самопересечением (в точке В).
Длиной ломакой называется сумма длин ее звеньев. Т е о р е и а 13.1. Длина лозшкой ие меньше длины отрезка, соединяющего ее кошфы. Д о к а а а т е л ь с т в о. Пусть А ~А >Аз-. ...А, — данная ломаная (рис. 274). Заменим звенья А~А и АзАз одним звеном А,Аь Получим ломаную А~АзА~ .— ...А„. Так как по неравенству треуголь- ника Рис. 274 А Аз~А~А7+А7Аз. з 3 а д а ч а (1). Даны две окружности с радиусами В~ и В* и расстоянием между центрами д)В~+Во Чему равны наибольшее и наименьшее расстояния между точкамн Х и У этих окружностей? то ломаная А~АзА~ -. А„имеет длину, не большую, чем исходная ломаная. Заменяя таким же образом звенья А~Аз и АзА1 звеном А~Ао переходим к ломаной А~А~Аз ...
А„, которая также имеет длину, не большую, чем исходная ломаная. И т. д. В итоге мы придем к отрезку А~А„соединяющему концы ломаной. Отсюда следует, что исходная ломаная имела длину, не меньшую длины отрезка А~А . Теорема доказана. 202 Я изссс Рис.
275 Реш ение. Для ломаной О~ХУО7 по теореме 13.1 0~02~0~Х+ХУ+УОг (рис. 275). Значит, с((В~+ХУ+ +Вг. Отсюда ХУэс( — В,— Вг. Так как АС=Ы вЂ” В,— Вг, то наименьшее расстояние между точками окружностей равно с( — В~ — Вг. Для ломаной ХО107У по той же теореме ХУ ~В ~ + д+ +Вг. Так как В17=с(+В~+Вг, то наибольшее расстояние между точками окружностей равно с(+В1+Вг. 114. ВЫПУКЛЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ Ломаная называется замкнутой, если у нее концы совпадают. Простая замкнутая ломаная нааывается многоугольником, если ее соседние звенья не лежат на одной прямой (рис.
276). Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а звенья ломаной — сторонами многоугольника. Отрезки, соединяющие не соседние вершины многоугольника, называются диагоналями. Многоугольник с и вершинами, а значит, и с и сторонами называется п-угольником. Плоским многоугольником или многоугольной областью называется конечная часть плоскости, ограниченная многоугольником (рис. 277). 42 лс 4я А, Рис.
276 Рис. 277 г 18, Многоугольники Многоугольник называется выпуклым, если он лежит в одной полуплоскости относительно любой прямой, содержащей его сторону. При этом сама прямая считается принадлежащей полуплоскости. На рисунке 278, а изображен выпуклый многоугольник, а на рисунке 278, б — невыпуклый. Углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, образованный его сторонами, сходящимися в этой вершине. а) Рис. 279 Рис. 278 Те о р е м а 13.2. Сумма углов вмнуклвгв и-угвльника равна 180'.
(н — 21. Дока з а тельство. В случае н=3 теорема справедлива. Пусть А~Аг,. А„— данный выпуклый многоугольник и н)3 (рис. 279). Проведем п — 3 диагонали: А~Аз, А~Ае ... ..., А ~А„о Так как многоугольник выпуклый, то эти диагонали разбивают его на и — 2 треугольника: а,А,АгАг, ЛА,АгАе ... ЬА~А„~А,. Сумма углов многоугольника А~Аг...А„совпадает с суммой углов всех этих треугольников. Сумма углов каждого треугольника равна 180', а число этих треугольников есть и — 2. Поэтому сумма углов выпуклого н-угольника А ~Аь.. ...А.
равна 180'-(п — 2). Теорема доказана. Внешним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу многоугольника при этой вершине. 3 а д а ч а (9). Чему равна сумма внешних углов выпуклого н-угольника, взятых по одному при каждой вершине? Р е ш е н и е. Сумма внутреннего угла многоугольника и смежного с ним внешнего равна 180'. Поэтому сумма всех внутренних и внешних углов равна 180' н. Но сумма всех внутренних углов равна 180' (и — 2).
Значит, сумма внешних углов, взятых по одному при каждой вершине, равна 180" н — 180' (п — 2)=360'. 204 з класс 115. ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все стороны равны и все углы равны. Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на некоторой окружности.
Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются некоторой окружности. Т е о р е м а 13.3. Правильньсй выпуклый многоугольник является вписанных в окружность и описанным около окружности До к а за те л ь ст в о. Пусть А и  — две соседние вершины правильного многоугольника (рис. 280). Проведем биссектрисы углов многоугольника из вершин А и В. Пусть О— точка их пересечения. Треугольник АОВ равнобедренный с основанием АВ и углами при основании, равными —, где а— угол многоугольника. Соединим точку О с вершиной С, соседней с В.
Треугольники АВО и СВО равны по первому признаку равенства треугольников. У них сторона ОВ общая, стороны АВ и ВС равны как стороны многоугольника, а углы при вершине В равны —. Из равенства треугольников следует, что треугольник ОВС равнобедренный с углом при вершине С, равным —, т. е.
СО есть биссектриса угла С. Теперь соединяем точку О с вершиной Х), соседней с С, и доказываем, что треугольник СОХ) равнобедренный и Х)О— биссектриса угла Хл многоугольника. И т. д. В итоге получается„что каждый треугольник, у которого одна сторона есть сторона многоугольника, а противолежащая вершина — точка О. является равнобедренным. Все эти треугольники имеют равные боковые стороны и равные высоты, опущенные на их основания. Отсюда следует, что все вершины многоугольника находятся на окружности с центром О и радиусом, равным боковым сторонам треугольников, а все стороны многоугольника касаются окружности с центром О и радиусом, равным высотам треугольников, опущенным из вершины О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
