Учебник_Погорелов_1995 (991113), страница 26
Текст из файла (страница 26)
3 а д а ч а [4). На рисунке 236 изображен план усадьбы з масштабе 1:1000. Определите размеры усадьбы (длину и ширину). 175 Р е ш е н и е. Длина и ширина усадьбы на плане равны 4 см и 2,7 см. Так как план выполнен в масштабе 1: 1000, то размеры усадьбы равны соответственно 2,7 Х 1000 см = =27 м, 4Х1000 ем=40 м.
101. СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПОДОБИЯ Так же как и для движения, доказывается, что при преобразовании подобия три точки А, В, С, лежащие на одной прямой, переходят в три точки А „Во Сь также лежащие на одной прямой. Причем если точка В лежит между точками А и С, то точка В~ лежит между точками А~ и Сь Отсюда следует, что преобразование подобия переводит прямые в прямые, полу- прямые в полупрямые, отрезки в отрезки. Докажем, что преобразование подобия сохраняет узлы между полуирямъ«ми. С С, Действительно, пусть угол АВС преобразованием подобия с коаффицнентом л переводится в угол А~В~С~ (рис. 237). Подвергнем угол АВС преобразованию гомотетии относительно его вершины В с козффициентом гомотетии л.
При етом точки А и С перейдут в точки А«н Сь Треугольники А«ВС» и .А ~В~С~ равны по третьему признаку. Из равенства треугольников следует равенство углов А«ВС«и А~В~Со Значит, углы АВС и А~В~С~ равны, что и требовалось доказать. 102. ПОДОБИЕ ФИГУР Две фигуры называются подобными, если они переводятся друг в друга преобразованием подобия.
Для обозначения подобия фигур используется специальный значок: со. Запись Р«~Р' читается так: «Фигура Р подобна фигуре Р'». 176 9 класс Докажем, что если фигура Р| подобна фигуре Рп а фигура Рг подобна фигуре Ри то фигуры Р~ и Рг подобны. Пусть Х~ и У1 — две произвольные точки фигуры Ръ Преобразование подобия, переводящее фигуру Р, в Ри переводит эти точки в точки Хъ Уп для которых ХгУг=Й~Х~Уь Преобразование подобия, переводящее фигуру Рг в Рг, переводит точки Хп Уг в точки Хи Уг, для которых ХгУ,= = ЙгХгУь Из равенств ХгУг = Й)Х(У(~ ХгУг — ЙгХгУ2 следует, что Х,Уг=Й,Й,Х~Уэ А это значит, что пРеобРазование фигуры р, в ри получающееся при последовательном выполнении двух преобразований подобия, есть подобие.
Следовательно, фигуры Р~ и Рг подобны, что и требовалось доказать. В записи подобия треугольников: ~'~ АВСсо с~ А ~В ~С ~— предполагается, что вершины, совмещаемые преобразованием подобия, стоят на соответствующих местах, т. е. А переходит вАъ — вВ~ иС вЂ” вСо Из свойств преобразования подобия следует, что у подобных фигур соответствующие углы равны, а соответствующие отрезки пропорциональны. В частности, у подобных треугольников АВС и А~В~С~ АА=-~Аъ .Г В=.Г Вэ / С=./ С~,' АВ ВС АС ? А,В1 В~С! А~С~ 103. ПРИЗНАК ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ ПО ДВУМ УГЛАМ Т е о р е м а 1 1.2. Если два угла одкого треуголънико равны двух углам другого трс угольника, то такие треугольники подобны. Доказательство.
Пусть у треугольников АВС н А1В1С~ с' А = с Аъ с.В= с Вь Докажем, что с.',АВСсю сс ~А~В~Со Пусть Й= —. Подвергнем треугольник А~В~С1 преобра- АВ А,В зованию подобия с ковффициентом подобия Й, например гомотетии (рис. 233). При этом получим некоторый треугольник АгВгСп равный треугольнику АВС. Действительно, так как преобразование подобия сохраняет углы, то .~ Аг = с Аь с Вг=.~ Въ А значит, у треугольников АВС и АгВрСг .~ А= = с.Ап с.В= с Въ Далее, АгВг=ЙА|В1 =АВ. Следовательно, треугольники АВС и АгВгСг равны по второму признаку (по стороне и прилежащим к ней углам).
у 11. Подобие фигур Рис. 233 Так как треугольники А~В~С~ и АгВгСг гомотетичны и, значит, подобны, а треугольники А2В2Сг и АВС равны и позтому тоже подобны. то треугольники А~В~С~ и АВС подобны. Теорема доказана. 3 а д а ч а (15). Прямая, параллельная стороне АВ треугольника АВС, пересекает его сторону АС в точке А„а сторону ВС в точке В~ Докажите, что ~"~АВСо~ ~'~А~В,С. Р е ш е н и е (рис. 239). У треугольников АВС н А,В~С угол при вершине С общий, а углы СА~В, и САВ равны как соответствующие углы параллельных АВ и А,В~ с секущей АС. Следовательно, 1',АВСоо аА,В~С по двум углам. 104.
ПРИЗНАК ПОДОЕИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ ПО ДВУМ СТОРОНАМ И УГЛУ МЕЖДУ НИМИ Теорема 11.3. Если две стороны одного треуголъника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то треугольники подобны. 1те э Д о к а з а т е л ь с т в о (аналогично доказательству теоремы 11.2). Пусть у треугольников АВС и А~В~С, ~С=,~ С~ и АС=ИА~Сь ВС=йВ,СР Докажем, что ААВС еЛА~ВСь Подвергнем треугольник А~В~С~ преобразованию подобия с коэффициентом подобия Ф, например гомотетни (рис. 240).
Рие. 240 При этом получим некоторый треугольник АеВ1Сь равный треугольнику АВС. Дейетвительно, так как преобразование подобия сохраняет углы, то ~ Се= ЕСь А значит, у треугольников АВС и АеВ1Сд,~ С= е,Сь Далее, АеСе=йА~С~=АС, В1Сг=ИВ~С~.=ВС. Следовательно, треугольники АВС и АеВгС2 равны по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними). Так как треугольники А~В~С~ и АеВеСе гомотетичны и, значит, подобны, а треугольники АаВаС1 и АВС равны и поэтому тоже подобны, то треугольники А ~В,С~ и АВС подобны. Теорема доказана.
Рис. 241 5 11. Педебие фиггг 3 а д а ч а (31). В треугольнике АВС с острым углом С проведены высоты АЕ и ВР (рис. 24Ц. Докажите„что ~АВСсо Е,ЕРС. Решение. У треугольников АВС и ЕРС угол при вершине С общий. Докажем пропорциональносп сторон треугольников, прилежащих к атому углу. Имеем ЕС= =АС сов у, РС=-ВС сову. То есть стороны, прилежащие к углу С, у треугольников пропорциональны. Значит, ~АВСсэ ~ЕРС по двум сторонам и углу между ними.
105. ПРИЗНАК ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ ПО ТРЕМ СТОРОНАМ Теорема 11.4. Если сторонм одного треугольника пропорциональны сторонам другого треуголъника, то такие треуголъники надобны. Доказательство (аналогично доказательству теоремы 11.2). Пусть у треугольников АВС и А,В~С, АВ=)1А~Во АС=ВА Сь ВС=ЬВ~Со Докажем, что ЛАВСс 1',А~В~Со Подвергнем треугольник А~В~С~ преобразованию подобия с коаффициентом подобия й, например гомотетии (рис. 242). При атом получим некоторый треугольник АгВрСн равный треугольнику АВС. Действительно, у треугольников соответствующие стороны равны: А~В~=МА,В~=АВ, АгСг=ИА~С~=АС, ВрСг=йВ~С~=ВС.
Следовательно, треугольники равны по третьему признаку (по трем сторонам). Так как треугольники А~В,С~ и АгВ~Сг гомотетичны и, значит, подобны, а треугольники АгВ~Сг и АВС равны и поэтому тоже подобны, то треугольники А,В~С~ и АВС подобны. Теорема доказана. Риа 242 180 9 класс 3 а д а ч а (36). Докажите, что у подобных треугольников периметры относятся как соответствующие стороны.
Решение. Пусть АВС и А~В1С~ — подобные треугольники. Тогда стороны треугольника А~В~С1 пропорциональны сторонам треугольника АВС, т. е. А~В~= =)вАВ, В~С~ = лВС, А~С| =ВАС. Складывая зти равенства почленно, получим: А ~В| + В~С~ +А~С~ = й (АВ+ВС+АС). Отсюда А,В~+В~С,+А~С~ А~В, А,С, В~С, АВ+ ВС+АС АВ АС ВС т.
е. периметры треугольников относятся как соответствующие стороны. 106. ПОДОБИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ У прямоугольного треугольника один угол прямой. Позтому по теореме 11.2 для подобия двух прямоугольных треугольников достаточно, чтобы у них было по равному острому углу. С помощью етого признака подобия прямоугольных треугольников докажем некоторые соотношении в треугольниках. Пусть АВС вЂ” прямоугольный треугольник с прямым углом С Проведем высоту СР из вершины прямого угла (рис. 243).
Треугольники АВС и СВР имеют общий угол при вершине В. Следовательно, они подобны: ~АВСс йСВР. Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон: — — ВС= ~Аз ВР. АВ ВС ВС ВВ ' Это соотношение обычно формулируют так: катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией зтово катета на гипотекузу, Прямоугольные треугольники АСР и СВР также подобны. У них равны острые углы при вершинах А и С. Из подобия этих треугольников следует пропорциональность их сторон: — = —, илв СР=-~~АР.ВР.
АВ СВ СВ ВВ ' Это соотношение обычно формулируют так: высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу. 1В1 1 11. Псеобег Фигур Рсс. 244 Рис. 243 Докажем следующее свойство биссектрисы треугольника: биссектриса треуеолъника делит нротиеолежаи)ую сторону на отрезки, нронорционалъные деуз4 друеим сторонам. Пусть С — биссектриса треугольника АВС (рис, 244).
Если треугольник АВС равнобедренный с основанием АВ„то указанное свойство биссектрисы очевидно, так как в атом случае биссектриса СВ является и медианой Рассмотрим общий случай, когда АС~ВС. Опустим перпендикуляры АР и ВЕ из вершин А и В на прямую СР. Прямоугольные треугольники АСР и ВСЕ подобны, так как у них равны острые углы при вершине С. Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон: АС АЕ ВС ВЕ Прямоугольные треугольники АВК и ВВЕ тоже подобны.
У них углы при вершине В равны как вертикальные. Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон: АК АВ ВЕ ВВ Сравнивая зто равенство с предыдущим, получим: АС АВ АС ВС вЂ” = — или — = —, ВС ВВ АВ ЕВ ' т. е. отрезки АР и ВО пропорциональны сторонам АС и ВС, что и требовалось доказать. 107. УГЛЫ, ВПИСАННЫЕ В ОКРУЖНОСТЬ Угол разбивает плоскость на две части.
Каждая из частей называется плоским углом. На рисунке 246 заштрихован один из плоских углов со сторонами а и Ь. Плоские углы с общими сторонами называются дополнител ьными. Если плоский угол является частью полуплоскости, то его градусной мерой называется градусная мера обычного угла с теми же сторонами. Если плоский угол содержит полуплоскость, то его градусная мера принимается равной 360' — а, где а — градусная мера дополнительного плоского угла (рис, 246). Рис. 245 Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре. Часть окружности, расположенная внутри плоского угла, называется дугой округкноети, соответствующей атому центральному углу (рис. 247).
Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего центрального угла. Рис. 247 Рис. 242 4 11. Подобие фигур Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным в окружность. Угол ВАС на рисунке 248 вписан в окружность. Его вершина А лежит на окружности, а стороны пересекают окружность в точках В и С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
