Учебник_Погорелов_1995 (991113), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Говорят также, что угол А опирается на хорду ВС. Прямая ВС разбивает окружность на две дуги. Центральный угол, соответствующий той из этих дуг, которая не содержит точку А, называется центральным углом, соответствуюигим данному вписанному углу. Теорема 11.5, Угол, вписанный в опруягность, равен половине соотвгтствуюи)его центрального угла. Доказательство. Рассмотрим сначала частный случай, когда одна из сторон угла проходит через центр окружности (рис. 249, а). Треугольник АОВ равнобедренный, так как у него стороны ОА и ОВ равны как радиусы. Позтому углы А и В треугольника равны. Л так как их сумма равна внешнему углу треугольника при вершине О, то угол В треугольника равен половине угла АОС, что и требовалось доказать. Рис. 249 Общий случай сводится к рассмотренному частному случаю проведением вспомогательного диаметра ВР (рис.
249,6, в). В случае, представленном на рисунке 249, б, ~ АВС=- ~ СВР+ ~.АВР= — ~ СОР+ — КАОР= — ~АОС. В случае, представленном на рисунке 249, в, е.. АВС = ~ СВР— ~ А ВР = — Е СОР— — е'. АОР = — г А ОС. 2 2 2 164 9 класс Теорема доказана полностью. Из теоремы 11.б следует„что еписаннме углы, стороны котормх проходят чере» точки А и В окружности, а еершинъс лежат ~о одну сторону от прягюй АВ„расим (рис. 25О). В частности, углм, опираюи)неся на диаметр, пряные. 208. ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ ОТРЕЗКОВ ХОРД И СЕКУЩИХ ОКРУЖНОСТИ Рис.
250 Если хорды АВ и СВ окружности пересекаются е точке Б, то АБ - ВБ = СБ . РБ. Докажем сначала, что треугольники АБР и СБВ подобны (рис. 251). Вписанные углы РСВ и РАВ равны по следствию из теоремы 11 б. Углы АБР и ВБС равны как вертикальные. Из равенства указанных углов следует, что треугольники АБР и СБВ подобны.
Из подобия треугольников следует пропорция 1Я АЯ вз сз ' АБ ВБ=СБ.РБ, Отсюда что и требовалось доказать. Рис. 252 Рис. 251 185 Г?т. Псосвис фи~тР Если из точки Р к окружности проведены две секуи)ие, иересекаюи)ие окружность в точняк А, В и С, Э соответственно, то АР- ВР= СР. ВР. Пусть точки А и С вЂ” ближайшие к точке Р точки пересечения секущих с окружностью (рис. 262). Треугольники РАР и РСВ подобны. У них угол при вершине Р общий, а углы при вершинах В и Р равны по свойству углов, вписанных в окружность, Из подобия треугольников следует пропорция РА РП РС РВ Отсюда РА.РВ=РС РВ, что и требовалось доказать.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 9 1. Что такое преобразование подобия? 2. Что такое гомотетия (центр гомотетии, коэффициент гомотетии)? 3. Докажите, что гомотетия есть преобразование подобия. 4. Какие свойства преобразования подобия вы знаете? Докажите, что преобразование подобия сохраняет углы между полупрямыми. б. Какие фигуры называются подобными? 6. Каким знаком обозначается подобие фигур? Как записывается подобие треугольников? 7. Сформулируйте и докажите признак подобия треугольников по двум углам. 3. Сформулируйте и докажите признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними. 9.
Сформулируйте и докажите прианак подобия треугольников по трем сторонам. 10. Докажите, что катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу. 11. Докажите, что высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу.
12. Докажите, что биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам. 13. Что такое плоский угол? 14. Что такое центральный угол? 186 9 класс 15. Какой угол называется вписанным в окружность? 16. Докажите, что вписанный в окружность угол равен половине соответствующего центрального угла. 17. Докажите свойства отрезков пересекающихся хорд и свойства отрезков секущих.
ЗАДАЧИ П 1. При гомотетии точка Х переходит в точку Х', а точка У вЂ” в точку У'. Как найти центр гомотетии, если точки Х, Х', У, У' не лежат на одной прямой? 2. При гомотетии точка Х переходит в точку Х'. Постройте центр гомотетии, если коэффициент гомотетии равен 2. 3. Начертите треугольник. Постройте гомотетичный ему треугольник, приняв за центр гомотетии одну из его вершин и коэффициент гомотетии равным 2.
4. На рисунке 236 изображен нлан усадьбы в масштабе 1:1000. Определите размеры усадьбы (длину и ширину). П 5. Что представляет собой фигура, подобная треугольнику? 6. У подобных треугольников АВС и А~В~С~ ~А=30, АВ=1 м, ВС=2 м, В~С~=3 м. Чему равны угол А~ и сторона А~В~? 7. Докажите, что фигура, подобная окружности, есть окружность. 8~.Даны угол и внутри его точка А. Постройте окружность, касающуюся сторон угла и проходящую через точку А. 9*. Впишите в данный треугольник квадрат, у которого две вершины лежат на одной стороне, а две другие вершины — на двух других сторонах. И 10. Докажите подобие равнобедренных треугольников с равными углами при вершинах, противолежащих основаниям.
11. У двух равнобедренных треугольников углы между боковыми сторонами равны. Боковая сторона и основание одного треугольника равны 17 см и 10 см, основание другого равно 8 см. Найдите его боковую сторону. 12. У треугольников АВС и А~В~С~ ЕА= ~Аь .~В= ~Во АВ=5 м, ВС=7 м, А~В~=10 м, А~С~=8 м. Найдите остальные стороны треугольников; 13. Решите задачу 12 при условии, что АВ=16 см, ВС= =20 см, А~В~ =12 см, АС вЂ” А~С~ =6 см. 14.
Докажите, что высота прямоугольного треугольника, опущенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобные исходному. 15. Прямая, параллельная стороне АВ треугольника АВС, 1 11. ПРР РР Ф УР 187 пересекает его сторону АС в точке А„а сторону ВС в точке Во Докажите, что Е АВСоэ ЛА ~В~С. В треугольник с основанием а и высотой 5 вписан квадрат так, что две его вершины лежат на основании треуголь- ника, а другие две — на боковых сторонах (рис. 2бЗ). Вы- числите сторону квадрата. Прямая, параллельная стороне АВ треугольника АВС, делит его сторону АС в отношении т:л, считая от вер- шины С.
В каком отношении она делит сторону ВС? 16 17 В треугольнике АВС проведен отрезок РЕ, параллель- ный стороне АС (конец Р отрезка лежит на стороне АВ, а Š— на стороне ВС). Найдите АР, если АВ=16 см, АС= 20 см и РЕ=15 см. В задаче 18 найдите отношение АР:ВР, если известно, что АС:РЕ=55:28. 19 Найдите длину отрезка .РЕ в задаче 18, если: 1) АС= 20 =20 см, АВ=17 см и ВР=11,9 см; 2) АС=18 дм, АВ=15 дм н АР=10 дм. 21. Диагонали трапеции АВСР пересекаются в точке Е (рис.
254). Докажите подобие треугольников ВСЕ и РАЕ. Рис. 283 Рис. 254 22. Найдите отношение отрезков диагонали трапеции, на которые она разбивается другой диагональю, если основания трапеции относятся как т: и. 28. Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции, делит одно основание в отношении т:и. В каком отношении она делит другое основание? 24. В трапеции АВСР с диагональю АС углы А.ВС и АСР равны. Найдите диагональ АС, если основания ВС и АР соответственно равны 12 м и 27 м. 25. Линия, параллельная основаниям трапеции, делит одну боковую сторону в отношении т:л.
В каком отношении делит она другую боковую сторону? 26. Продолжения боковых сторон АВ и СР трапеции АВСР пересекаются в точке Е. Найдите стороны треугольника АЕР, если АВ = 5 см, ВС = 10 см, СР= 6 см, АР= 15 см. 168 з класс 27. Найдите высоту треугольника АЕР из задачи 26, опущенную на сторону АР, если ВС= Т см, АР=21 см и высота трапеции равна 3 см. 28*. Диагонали трапеции пересекаются в точке Е, а продолжения боковых сторон — в точке У. Докажите, что прямая ЕЕ делит основания трапеции пополам (рис.
255). 29'". У равнобедренного треугольника АВС с основанием АС и противолежащим углом 36' проведена биссектриса АР. 1) Докажите подобие треугольников АВС и САР. 2) Найди ге основание треугольника АВС, если его боковая сторона равна а. П 104 30. Углы В и В~ треугольников АВС и А~В~С~ равны. Стороны треугольника АВС, прилежащие к углу В, в 2,5 раза больше сторон треугольника А~В~Со прилежащих к углу В,. Найдите АС и А,Сь если их сумма равна 4,2 м. 31.
В треугольнике АВС с острым углом С проведены высоты АЕ и ВР. Докажите, что 11АВС С~ЕРС. 32'". В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АР, ВЕ, СМ. Найдите углы треугольника РЕЕ, зная углы треугольника АВС (рис. 256). 33*. Докажите, что биссектрисы треугольника РЕУ в задаче 32 лежат на высотах треугольника АВС, П 34. Подобны ли два равносторонних треугольника? 35. Подобны ли треугольники АВС и А~В~Со если: 1) АВ=1 м, АС=1,5 м, ВС=2 м; А,В,=10 см, А~С,=15 см, В~С~=20 см.„ 2) АВ=1 м, АС=2 и, ВС=1,5 м; А,В,=8 дм, А ~С~ = 16 дм, В~С~ = 12 дм; 3) АВ=1 м, АС=2 м, ВС=1,25 м; А~В~=10 см, А~С~=-20 см, В~С~=13 см? Е Рис.
2бб Рис. 2бб 811. Псасаи Филд 36. Докажите, что у подобных треугольников периметры от- носятся как соответствующие стороны. 37. Стороны треугольника равны 0,8 м, 1,6 м н 2 м. Найдите стороны подобного ему треугольника, периметр которого равен 5,5 м. 38. Периметр одного треугольника составляет — периметра по- 11 18 добного ему треугольника.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
