Учебник_Погорелов_1995 (991113), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Разность двух соответствующих сторон равна 1 м. Найдите зти стороны. П 39. Подобны ли два прямоугольных треугольника, если у одного из них есть угол 40', а у другого — угол, равный; 1) 50'; 2) 60'? 40. Основание высоты прямоугольного треугольника, опущенной на гипотенузу, делит ее на отрезки 9 см и 16 см. Найдите стороны треугольника.
41. Гипотенузе прямоугольного треугольника равна 25 см, а один из катетов равен 10 см. Найдите проекцию другого катета на гипотенуау. 42. Докажите, что соответствующие высоты подобных тре- угольников относятся как соответствующие стороны. 43. Катеты прямоугольного треугольника относятся как т: и. Как относятся проекции катетов на гипотенузу7 44. Длина тени Фабричной трубы равна 35,8 м; в это же время вертикально воткнутый в землю кол высотой 1,9 м дает тень длиной 1,62 м (рис.
257). Найдите высоту трубы. 45. Б треугольник АВС вписан ромб АЗЕР так, что угол А у них общий, а вершина Е находится на стороне ВС (рис. 258). Найдите сторону ромба, если АВ = с и АС= Ь. 46'". Биссектриса внешнего угла треугольника АВС при вершине С пересекает прямую АВ в точке В (рис. 259). Докажите, что АВ:ВЭ=АС:ВС. Рис. 288 Рис. 287 190 З кисее 47*. Докажите, что геометрическое место точек, отношение расстояний от которых до двух данных точек постоянно (не равно единице), есть окружность. П 48. Найдите дополнительные плоские углы, зная, что: 1) один из них в 5 раз больше другого; 2) один из них на 100' больше другого; 3) разность их равна 20'.
49. Точки А, В, С лежат на окружности. Чему равна хорда АС, если угол АВС равен 30, а диаметр окружности 10 см? 50. Точки А, В. С лежат на окружности. Чему равен угол АВС, если хорда АС равна радиусу окружности? (Два случая.) 51. Докажите, что центром окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является середина гипотенузы. 52. Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, разбивает его на два равнобедренных треугольника. 58. Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и высоте, опущенной из вершины прямого угла на гипотенузу. 54.
На окружности отмечены четыре точки А, В, С, Р. Чему равен угол АРС, если угол АВС равен а? (Два случая.) 55, Хорды окружности АХ) и ВС пересекаются. Угол АВС равен 50', угол АСР равен 80'. Найдите угол САР. 56*. Докажите, что у четырехугольника, вписанного в окруж- ность, сумма противолежащих углов равна 180'. 57.
Докажите, что геометрическое место вершин прямых углов, стороны которых проходят через две данные точки, есть окружность. 58. Докажите, что геометрическое место вершин углов с заданной градусной мерой, стороны которых проходят через две данные точки, а вершины лежат по одну сторону Рис. 2ЗЗ Рис.
260 1 12. Решение треугольников 191 от прямой, соединяющей зти точки, есть дуга окружности с концами в зтих точках (рис. 260). 69. Докажите, что острый угол между хордой окружности и касательной к окружности в конце хорды равен половине угла между радиусами, проведенными к концам хорды (рис. 261). 60. Постройте треугольник по стороне, противолежащему ей углу и высоте, проведенной из вершины етого угла. 61. Из точки С окружности проведен перпендикуляр СР к диаметру АВ. Докажите, что Сге'=АВ.ВВ. 62. Докажите, что произведение отрезков секущей окружности равно квадрату отрезка касательной, проведенной из той же точки: АС ВС=СФ (рис.
262). С Рис. 2б1 Рис. 2Б2 63. Как далеко видно из самолета, летящего на высоте 4 км над Землей, если радиус Земли 6370 км7 64. Вычислите радиус горизонта, видимого с вершины теле- башни в Останкине, высота которой 537 м. $72. РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ 10Р. ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ Т е о р е м а 12. 1 (теорема косинусов). Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного нроизведенил зтих сторон на косинус уава мехеду ними. 1В2 В 4 Р Доказательство.
Пусть АВС вЂ” данный треугольник (рис. 263). Докажем, что ВС«=АВ~+АС' — 2АВ.АС совА. Имеем векторное равенство ВС=АС вЂ” АВ. Воэводя ето равенство скалярно в квадрат, получим: ВС'=АВ'+АС' — 2АВ АС, или ВС« = АЗ«+АС~ — 2АВ. АС - сое А. Теорема докааана Заметим, что АС сов А равно по абсолютной величине проекции АП стороны АС на сторону АВ (рис. 263, а) или ее продолжение (рис. 263, б). Знак АС сов А вависит от угла А: «+», если угол А острый, « — », если угол А тупой, Отсюда получается следствие: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двук другик сторон «-+» удвоенное нроигведение одной иг ник ка проекцию другой.
Знак «+» мадо брать, когда иротиволвжащий угол тупой, а гнак» вЂ” », к«ида угол остр««й. « Задача (7). Даны стороны треугольника а, Ь, с. Найдите высоту треугольника, опущенную на сторону с. Решение. Имеем а«=Ь'+с«~2с АР (рис. 264). Отсюда АР= ч-в ' .
По теореме Пифагора 2с 4 12. Решение треугоеьнинов С 1( И Рвс. 264 110. ТЕОРЕМА СИНУСОВ Т е о р е м а 12.2 (теорема синусов). Сгороиав треугольника пропорциональны синусам прогкволелеащик углов. Д о к а за тель ство. Пусть АВС вЂ” треугольник со сторонами о, Ь, с и противолежащими углами а, 1), у (рис, 265). Докажем, что а Ь с ввп и в1п 6 в1п 7 Опустим из вершины С высоту СР. Из прямоугольного треугольника АСР, если угол а острый, получаем: СР=Ь в(п а (рис. 265, а).
Если угол а тупой, то СР = Ь 6(п (180 — а) = Ь в(п а (рис. 265, 6). Аналогично из треугольника ВСР получаем СР=а вш )3. С Я ф Рвс. 266 7 т ометов», т- и мл. 194 9 апаса Итак, а яп р = Ь яп а. Отсюда Ь а в$п 6 впа Аналогично доказывается равенство Ь с в1п р мп у Для доказательства надо провести высоту треугольника из вершины А. Теорема доказана. Рпс. 666 3 а д а ч а (13).
Докажите, что в теореме синусов каж- а Ь с дое из трех отношений —, —, — — равно 2В, где в$п а ' в1п 6 ' в~п у  — радиус окружности, описанной около треугольника, Р е ш е н и е. Проведем диаметр ВР (рис. 266). По свойству углов, вписанных в окружность, угол при вершине Р прямоугольного треугольника ВСР равен либо сс, если точки А н Р лежат по одну сторону от прямой ВС (рис.
266, а), либо 180" — св, если онн лежат по разные стороны от прямой ВС (рис. 266, б), В первом случае ВС=ВР яп а. во втором ВС=ВР з(п (180' — сс). Так как з(п(180 — а)=91п а, то в любом случае а=2В яп а. Следовательно, — =2В, вга а что и требовалось доказать. ф 12. Решение тререиаьнинов 33(. СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ УГЛАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА И ПРОТИВОЛЕЖАЩИМИ СТОРОНАМИ В треугольнике против большего угла лежит ббльшая сторона, протие большей стороны лежит больший угол.
Пусть а и Ь вЂ” две стороны треугольника и а, (3 — противолежащие им углы. Докажем, что если а) 6, то а - Ь. И обратно: если а» Ь, то а)(3. Если углы а н (3 острые (рис. 267, а), то при а) (3 будет зл а)а(п (3. А так как спи вггг и Ь то а =» Ь. Если угол а тупой (оба угла не могут быть тупыми), то угол 180 — а острый (рис. 267, б). Причем угол 180' — а больше угла (3 как внешний угол треугольника, не смежный с углом (3. Поэтому з1п а=э(п(180' — а))зш 6. И мы снова заключаем, что а) Ь. Докажем обратное утверждение.
Пусть а Ь. Надо доказать, что а= 6. Допустим, что а (3. Если а=(3, то треугольник равнобедренный и а=Ь. Если а(~3„то по доказанному а(Ь. В обоих случаях получается противоречие, так как по предположению а) Ь, значит,а'-» 6, что и требовалось доказать. Задача (17). Докажите, что если в треугольнике есть тупой угол, то противолеЖащая ему сторона наибольшая. Р е ш е н и е. В треугольнике может быть только один тупой угол.
Поэтому он больше любого из остальных углов. А значит, противолежащая ему сторона больше любой из двух других сторон треугольника. 196 0 класс 112. РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ Решение треугольников состоит в нахождении неизвестных сторон и углов треугольника по известным его углам и сторонам. Будем обозначать стороны треугольника через а, Ь, с, а противолежащие им углы через а, 6, Т (рис. 268).
3 а д а ч а (26). 1) В треугольнике даны сторона а = б и два угла р = 30', 7 = 45'. Найдите третий угол и остальные две стороны. Р е ш е н и е. Тзк как сумма углов треугольника равна 180, то третий угол а выражается через заданные углы: а=180' — (з — 7=180" — 30' — 45 =105'. Зная сторону и все три угла. по теореме синусов находим две остальные стороны: с=-а. жб — ' 3 66. ам 7 0,707 Мп а 0,066 Зада ча (27). 1) В треугольнике даны две стороны а=12, Ь=8 и угол между ними 7=60". Найдите остальные два угла и третью сторону. Р е ш е н и е. Третью сторону находим по теореме косинусов: =-~144+64 — 2.12 8 0,500 = = ~Т12 ж10,6. Теперь, имея три стороны, по теореме косинусов находим косинусы двух неизвестных углов и сами углы: соз а= — 0,189, откуда аж79', Ь'=180' — сс — Тж Ь'+ сс — а' зьс 41 с 3 а д а ч а (28).
5) В треугольнике даны две стороны а=6, Ь=8 и противолежащий стороне а угол а=30 . Найдите остальные два угла и третью сторону. Р еще ни е. По теореме синусов находим значение з)п Ь' зш р= — з)п а= — е)п 30 ж0,667. с . З с б Этому значению синуса соответствуют два угла: )) ~ -42' и бс 138'. а 12. Решеиие та«у«о«амико« Рие.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
