Учебник_Погорелов_1995 (991113), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Теорема доказана. Вписанная и описанная окружности правильного многоугольника имеют ф один и тот же центр. Его называют сг я1 г центром многоугольника. Угол, под ког торым видна сторона правильного многоугольника из его центра, называется центральным углом многоугольника. г 13. Многоугольники 116. ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАДИУСОВ ВПИСАННЫХ И ОПИСАННЫХ ОКРУЖНОСТЕЙ ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ Найдем радиус В описанной окружности и радиус г вписанной окружности для правильного многоугольника со стороной а и числом сторон и (рис.
261). Имеем: 180" 1)= —, л В=ОВ= — = ьы5, 180" 2 81п— и т=ОС= — = сн 130 18о 2 13— п Рис. 281 Для правильного (равностороннего) треугольника а=3, = — = 60', 180" а и а а В=, „= — г= 2ЗМ60" ф 21360' 2 (3 Для правильного четырехугольника (квадрата) и =4, а а а а В= .= —, г= 2 Мь 45',(2 ' 2 13 45' 2 Для правильного шестиугольника п=6, (1= — = — 30", 180 8 д а а~/3 2в1п30' ' 21330' 2 3 а д а ч а (16). Найдите выражения для стороны а„ правильного и-угольника черее радиус В описанной около него окружности и радиус г вписанной окружности. Вычислите а„при п=З, 4, 6. Решение.
Поскольку В= — " .. то отсюда сле- 180' ' 2ып— дуег: а„= — 2В 81п —. 180 В частности, аз=В 1/3, а, =В 1.'2, а„=В. Юз 9 класс а„ Поскольку г= " „, то отсюда следует: 2са— П ас=2г28 —. 180' и В частности, а2=2г-~~3, а4=2г, а,=— 2г 23 1ФУ. ПОСТРОЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ Для построения правильного многоугольника, вписанного в окружность, достаточно построить его центральный угол. У правильного шестиугольника такой угол равен — =80'. 360' 6 Поэтому для построения правильного шестиугольника одну вершину (А~) на окружности берем произвольно.
Из нее как из центра радиусом, равным радиусу окружности, делаем засечку и получаем вершину Ас (рис. 282). Затем аналогично строим остальные вершины Аь Аь Аи Ас и соединяем их отрезками. Для построения правильного вписанного треугольника достаточно соединить через одну вершины правильного вписанного шестиугольника (рис. 288). Рис. 282 Рис.
283 Для построения правильного вписанного четырехугольника (квадрата) достаточно провести через центр окружности перпендикулярные прямые. Они пересекут окружность в вершинах квадрата (рис. 284). г гЗ. Многоугольники Рис. 284 Рис. 285 Для построения правильного описанного многоугольника достаточно провести касательные к окружности в вершинах правильного вписанного многоугольника.
Касательные, проходящие через вершины правильного вписанного многоугольника, пересекаются в вершинах правильного описанного многоугольника (рис. 285). Если в окружность вписан правильный н-угольник, то легко построить правильный вписанный 2п-угольник. На рисунке 286 показано построение правильного восьмиугольника. Рис.
286 118. ПОДОВИЕ ПРАВИЛЬНЫХ ВЫПУКЛЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ Т е о р е м а 13.4. Правкльныв выпуклые и-узольнккк подобны. В частности, если у ннх стороны одинаковы, го они ровны. Д о каза тел ь от в о. Докажем сначала второе утверждение теоремы. Итак, пусть Р,: А ~Аь..А., Ргс В1Вг-..В, — правильные выпуклые и-угольники с одинаковыми сторонами ~рис.
287). Докажем, что они равны, т. е. совмещаются движением. Треугольники А~АгАг и В~ВгВз равны по первому признаку. У них А1Аг=В~Вг, АгАг =ВгВ» и .г А|АгАг= ~В1ВгВь 208 9 класс В1 Рис. 287 Подвергнем многоугольник Р~ движению, при котором его вершины Ао Аы А» переходят в вершины Вь Вь Вэ соответственно. Как мы знаем, такое движение существует.
При этом вершина А» перейдет в некоторую точку С. Точки В» и С лежат по одну сторону с точкой В~ относительно прямой В1В». Так как движение сохраняет углы и расстояния, то .~ В1В»С= л'. »»» и В»С=»» А значит, точка С совпадает с точкой В». Итак, прн нашем движении вершина А» переходит в вершину В». Далее таким же способом заключаем, что вершина А» переходит в вершину В» и т. д. То есть многоугольник Р, переводится движением в многоугольник Р»ь а значит, они равны Чтобы доказать первое утверждение теоремы, подвергнем сначала многоугольник Р1 преобразованию подобия, например гомотетин, с коэффициентом подобия я = — — .
При этом в,в, А |А» получим правильный и-угольник Р' с такими же сторонами, какиурь По доказанному многоугольник Р' переводится движением в многоугольник Р„ а значит, многоугольник Р» переводится в многоугольник Р» преобразованием подобия н движением. А это есть снова преобразование подобия. Теорема доказана. У подобных фигур коэффициент подобия равен отнош соответствующих линейных размеров.
У правильных и-угольников такими линейными размерами являются длины сторон, радиусы вписанных и описанных окружностей. Отсюда следует, что у правильных и-угольников отношения сторон, радиусов вписанных и радиусов описанных окружностей равны. А так как периметры и-угольников тоже относятся как стороны, то у правильных и-угольников отношения периметров, радиусов вписанных и радиусов описанных окружностей равны.
1 ТЗ. Многоуголонини 119. ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ Наглядное представление о длине окружности получается следующим образом. Представим себе нить в форме окружности. Разрежем ее н растянем за концы. Длина полученного отрезка и есть длина окружности. Как найти длину окружности, зная ее радиус? Ясно, что при неограниченном увеличении числа сторон вписанного в окружность правильного многоугольника его периметр неограниченно приближается к длине окружности (рис. 288). Исходя нз этого, докажем некоторые свойства длины окружности.
Теорема 13.5. Отношение длины окружности и ее диаметру не зависит от отсружности, т, е. одно и то же дли любых двух окружностей. До к аз а те льет в о. Возьмем две произвольные окружности. Пусть В~ и Вг — их радиусы, а г1 и гг — их длины. Допустим„что утверждение теоремы неверно и 2В~ 2Вг ' например: (*) Впишем в наши окружности правильные выпуклые многоугольники с большим числом сторон и. Жсли и очень велико, то длины наших окружностей будут очень мало отличаться от периметров р~ и рг вписанных многоугольников. Поэтому неравенство (о) не нарушится, если в нем заменить (~ на рь а (г на рг.' 2гг (он) Но. как мы знаем, периметры правильных выпуклых и-угольников относятся как радиусы описанных окружностей: и и, ггг Вг Отсюда — = —.
А это противоречит неравенству (**). Теорема ггг Гг В, В доказана. Отношение длины окружности к диаметру принято обозначать греческой буквой л (читается гпиг)г — = л. 2В 21О Р Число л иррациональное. Приближенное значение л 3,1416. Приближенное значение числа л было известно уже древним грекам.
Очень простое приближенное значение я нашел 22 Архимед: †. Оно отличается от точного значения л меньше чем на 0,002. Так как — =л, то длина окружности 2Н вычисляется по формуле Архимед — древнегречееиий ученый (111 в. де н. э.) 120. РАДИАННАЯ МЕРА УГЛА Найдем длину дуги окружности, отвечающей центральному углу в н' (рис. 289). Развернутому углу соответствует длина полуокружности лВ.
Следовательно, углу в 1' соответствует хн дуга длины —, а углу в и соответствует дуга длины 180 ' 1= — - л. лл 180 Радианной лерой угла называется отношение длины соответствующей дуги к радиусу окружности. Из формулы для длины дуги окружности следует, что 1 л — = —.и, и 180 Рие. 290 Рис. 289 211 1 13. Мнолоугольники т.
е. радианная мера угла лолучается из градусной умножением на — „. В частности, радианная мера угла 180' равна л, радиан- 180" ная мера прямого угла равна — . 2 Единицей радианной меры углов является радиан. Угол в один радиан — это угол, у которого длина дуги равна радиусу 180' (рис. 290). Градусная мера угла в один радиан равна — ж 57'.
3 а д а ч а (50) Найдите радианную меру углов треугольника .АВС, если г'. А=60', ./ В=45'. Р е ш ение. Радианная мера угла А равна 60 — ". = — ". 180' 3 Радианная мера угла В равна 45 .— "„= — "' . По теореме 180" 4 л л зл о сумме углов треугольника .~ С=л — — — — = —. 3 4 12 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 9 1. Что такое ломаная, длина ломаной? 2. Докажите, что длина ломаной не меньше длины отрезка, соединяющего ее концы. 8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
